PROGRAMMA CORSO DI SISTEMI DINAMICI (CMF2) 2008-2009

PROGRAMMA (MOLTO) PROVVISORIO

  • Richiami di teoria delle equazioni differenziali: esistenza ed unicità globale delle soluzioni per campi vettoriali C^1 e limitati (vedi capitolo 8 Hirsch-Smale).
  • Studio del comportamento qualitativo delle soluzioni di una equazione differenziale sul piano attraverso lo studio delle direzioni del campo vettoriale (vedi capitolo 12 Hirsch-Samle).
  • Teorema della scatola del flusso (vedi sezione 2 del capitolo 11 Hirsch-Samle).
  • Persistenza dei punti di equilibrio sotto perturbazioni (concetto di genericità). Vedi anche capito 7 Hirsch-Samle.
  • Stabilità e funzioni di Lyapuov. Teorema di Grobman-Hartmann sulla coniugabilità C^0 del flusso alla sua parte lineare nell'intorno di un punto di equilibrio generico (vedi note).
  • Varietà stabili e instabli: Hadamard-Perron (vedi note).
  • Concetto di genericità per famiglie di campi vettoriali dipendenti da parametri. Elementi di teoria delle biforcazioni: sella-nodo, Hopf. Sezioni di Poincarè e sistemi dinamici discreti. (Vedi note relative).
  • Cenni al problema della stabilità dei centri: teorema di Siegel (vedi nota).
  • Classificazione degli insiemi invarianti: Teorema di Poincarè-Bendixon (vedi Hirsch-Samle capitolo 11).
  • Comportamento globale non banale, un esempio: pendolo forzato e moti caotici (Melnikov e i ferri di cavallo, vedi note).
  • Comportamento per tempi lunghi, instabilità rispetto alle condizioni iniziali e sistemi dinamici misurabili (definizioni ed esempi elementari, esistenza delle misure invarianti: Krylov-Bogoliuvov, metodo di coniugazione--dinamica simbolica, mappa logistca; vedi note).
  • Mappe lisce espansive del cerchio e loro proprietà statistiche (un esempio meno elementare--vedi note).
  • Cenni di teoria ergodica (teoremi di Birkhoff, Von Neumann, Poincarè, ergodictà, mescolamento, ...--vedi note).
  • Cenni ai sistemi iperbolici (gatto di Arnold)
  • Caos e proprietà statistiche (chiacchere).

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