Analisi Matematica I

Correzione Quarto Appello

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1. log₃ 9 = 2, log₂5 ³ log₂ 4 = 2.

2. Si applichi l'algoritmo euclideo. Poiche l'ultimo divisore è uno i due numeri sono primi tra loro.

3. f(x) ³ 1/2 x-1/4 x ³ 0, f(x) £ 3/4, la stima sulla derivata è banale. Ora sia x_n = fⁿ(0.5), poiche f(0) = 0 si ha (Lagrange)
   

   |xn+1| = |f(xn)-f(0)| £ 3 4 |xn|.

   Iterando tale disuguaglianza si ottiene x_n £ ([3/4])ⁿ.

4. Basta dividere nel caso x £ 1 per cui f(x) = ln(1) = 0 e il caso x > 1 per cui f(x) = ln(2x-1). Il resto è la solita roba.
5. Usando Lagrange ripetutamente si ha
   

   ln æ ç ç ç è   æ  ú Ö n3+n n3+1   ö ÷ ÷ ÷ ø = 1 n2 +O( 1 n3 ).

   Da cui segue la convergenza della serie.
6. Sol. informale: Ovviamente si tratta dei triangoli isosceli. Visto che l'area è area per altezza diviso due, il massimo si ottiene per l'altezza massima (cioè uguale ad uno).
   Sol. formale: Sia x l'altezza del triangolo, chiaramente x Î [0,1]. Allora l'area è data da [1/2] 2 x = x. Chiaramente ilk massimo si ha per x = 1.