Analisi Matematica I

Quarto Appello (09-09-2002)

¹

1. Dire quale dei seguenti numeri è il maggiore
   

   log3 9  ;    2  ;    log2 5.

2. Si trovino i divisori comuni di q = 1757 e p = 4819.

3. Si consideri la funzione
   

   f(x): = 1 2 x+ 1 4 sinx.

   Si verifichi che f([0,1]) Ì [0,1] e che sup_{x Î [0,1]}|f¢(x)| £ [3/4].
   Usando tali fatti si dimostri che
   

   lim n®¥  fn(0.5) = 0.

4. Si consideri la funzione
   

   f(x): = ln(|x-1|+x).

   Se ne determini il dominio e si disegni il grafico. Si trovi il numero delle soluzioni dell'equazione f(x) = 3.
5. Si studi la convergenza della serie
   

   ¥ å n = 2  ln æ ç ç ç è   æ  ú Ö n3+n n3-1   ö ÷ ÷ ÷ ø .

6. Si consideri una circonferenza di raggio 1. Tra tutti i triangoli inscritti e con un lato di lunghezza 2, si caratterizzino quelli di area massima.