Analisi Matematica I

Terzo Appello (18-06-2002)

¹

1. Dire quale dei seguenti numeri è il maggiore
   

   210!  ;    1000000200  ;    (1000!)2.

2. Dire per quali q Î \mathbb N si ha che
   

   q+1 q-1 Î \mathbb Z.

3. Mostrare che, per ogni q Î \mathbb N, si ha che
   

   ¥ å n = q+1  1 n! £ 1 q!q ,

   e che, se q > 3, p Î \mathbb N,
   

   ê ê ê p q - q å n = 0  1 n! ê ê ê ³ 1 q! .

   Si usino queste due disuguaglianze per dimostrare che e Ï \mathbb Q.

4. Si studi la convergenza della serie e si calcoli il limite
   

   ¥ å n = 1  æ ç è 1- 1 n ö ÷ ø n2     ;    lim n®¥  n ì í î   ____ Ön2+1   -n ü ý þ .

5. Si determini il dominio e si disegni il grafico della funzione
   

   f(x) =   æ Ö 2-   ____ Ö4-x2     .

6. Sia l₀ = 2 e si definisca, per ogni n ³ 0, l_n+1 = f(l_n) (dove f è la funzione definita nella domanda ). Si dimostri che la successione a_n: = 2ⁿl_n è limitata.