Analisi Matematica I

Primo Appello

¹

1. Si trovino gli x Î \mathbb R tali che
   

   |2x-1|-x < 1.

2. Si disegni l'insieme C = AÇB dove A = {(x,y) Î \mathbb R²  |  x²+y² £ 1} e B = {(x,y) Î \mathbb R²  |  y ³ x}. Dire se il punto (-1/2,0) appartiene o non appartiene a C.
3. Si disegni il grafico della funzione f:\mathbb R®\mathbb R definita da
   

   f(x) = ex+e-x 2 .

   Si trovi il numero dell soluzioni dell'equazione
   

   f(x)-1-x = 0.

4. Sia l₁ il segmento rettilineo che congiunge i punti (0,1) e (x,0), ed l₂ quello congiungente i punti (x,0) e (2,1). Si determinino i valori di x Î [0,2] per cui la somma delle lunghezze di l₁ e l₂ è minima.
5. Si studi il seguente limite
   

   lim n®¥  nsin 1 n -1 n2 .

6. Si scriva una funzione f:\mathbb R®\mathbb R, derivabile in tutti i punti, tale che f(x) = 0 per tutti gli x < 0 e f(x) = x per tutti gli x > 1.