Fisica Matematica II

1. Si consideri il seguente problema di Cauchy
   

   (1-y2)uy+ux = u

   
   

   u(x,0) = x.

   Discutere esistenza, unicità e dominio delle soluzioni.
2. Si classifichino tutte le funzioni armoniche su \mathbb R² della forma f(x)g(y).

3. Si consideri il seguente problema di Dirichlet sul dominio W = {(x,y) Î \mathbb R²  |  1 < 4x²+y² < 4}.
   

   uxx+4uyy = 0

   
   

   u(x,y) = f(x)   per 4x2+y2 = 1

   
   

   u(x,y) = g(y)   per 4x2+y2 = 4.

   Si discuta l'esitenza e l'unicità. Si calcoli
   

   ó õ W  ux,

   in funzione di f, g. Infine, si trovi la soluzione per f(x) = 0, g(y) = 1.
4. Si consideri il cambio di variabili Y:\mathbb Rⁿ®\mathbb Rⁿ definito da Y(x) = Ax+b. Si calssifichino tutti gli A, b per cui Y manda funzioni armoniche in funzioni armoniche.