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Esercizi - Settimana 9

Esecizio

Si trovi una funzione $p$ tale che $p^{\prime }(t)=e^{-3t}+t$.

Soluzione

$$\int (e^{-3t}+t)dt=\int e^{-3t}dt+\int tdt=-\frac{1}{3}{e}^{-3t}+\frac{t^2}{2}+C$$

quindi una soluzione (fra tante) è

$$p(t)=\boxed{{\displaystyle -\frac{1}{3}{e}^{-3t}+\frac{t^2}{2}}}.$$

Esercizio

Si calcolino i seguenti integrali:

1. $\int (\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})dx$
2. $\int (e^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{x/2})dx$
3. $\int \frac{dx}{2x}$
4. $\int \frac{t-1}{t^2}dt$
5. ${\int }_0^{\pi }(\sin x-\cos x)dx$
6. ${\int }_0^{\pi /2}(y-\sin y)dy$

Soluzione

1. $$\begin{array}{rl}& \int (\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})dx=\int x^{1/2}dx-\int x^{-1/2}dx\\ & =\frac{x^{3/2}}{3/2}-\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=\boxed{{\displaystyle \frac{2}{3}{x}^{3/2}-2x^{1/2}+C}}.\end{array}$$

Nota che si può verificare che questo è la risposta giusta calcolando

$$\frac{d}{dx}[\frac{2}{3}{x}^{3/2}-2x^{1/2}+C]=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}};$$

i altri integrali indefiniti possono essere verificati nello stesso modo.

$$\int (e^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{x/2})dx=\int e^{2x}dx-\frac{1}{2}\int e^{x/2}dx=\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2}{e}^{2x}-e^{x/2}+C}}.$$

$$\int \frac{dx}{2x}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}=\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2}\ln x+C}}$$

$$\int \frac{t-1}{t^2}dt=\int \frac{dt}{t}-\int \frac{dt}{t^2}=\boxed{{\displaystyle \ln t+\frac{1}{t}+C}}.$$

5. Per cominciare, calcoliamo l'integrale indefinito

$$\int (\sin x-\cos x)dx=-\cos x-\sin x+C.$$

Usando questo

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\pi }(\sin x-\cos x)dx=-\cos x-\sin x{|}_{x=0}^{\pi }\\ & =(-\cos \pi -\sin \pi )-(-\cos 0-\sin 0)=(1+0)-(-1+0)=\boxed{{\displaystyle 2}}\end{array}$$

$$\int (y-\sin y)dy=\frac{y^2}{2}+\cos y+C,$$

quindi

$${\int }_0^{\pi /2}(y-\sin y)dy=\frac{y^2}{2}+\cos y{|}_{y=0}^{\pi }=\boxed{{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}-1}}.$$