$$$$

Esercizi - Settimana 6

Esercizio

Per la date matrici $A$, trovare gli autovalori di $A$, e per ogni autovalore trovare un autovettore:

1. $A=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& -2\end{array}\right|$
2. $A=\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ -4& 5\end{array}\right|$
3. $A=\left|\begin{array}{ccc}0& 2& 2\\ -1& 1& 0\\ 1& 1& 2\end{array}\right|$

Soluzione

1. Il polinomio caratteristico di $A$ è

$$det(A-\lambda I_2)=det\left|\begin{array}{cc}2-\lambda & 3\\ 4& -2-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda )(-2-\lambda )-12={\lambda }^2-16,$$

che fa zero per $\lambda =\pm 4$.
Per $\lambda =4$ dobbiamo trovare $\overrightarrow{v}$ tale che $A\overrightarrow{v}=4\overrightarrow{v}$, cioè risolvere il sistema

$$\{\begin{array}{ccccc}2x& +& 3y& =& 4x\\ 4x& -& 2y& =& 4y\end{array}\iff 3y=2x$$

e fra le soluzioni c'è $x=3,y=2$.
Procedendo in modo simile nel caso $\lambda =-4$ e riassumendo,

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{r}\text{autovalore }4\text{ con autovettore }\left|\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right|,\\ \text{autovalore }-4\text{ con autovettore }\left|\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right|.\end{array}}}$$

Si noti che non è l'unica risposta possibile, per esempio anche $\left|\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right|$ è un autovettore di $A$ con autovettore $-4$.
b. Procedendo in modo simile,

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{r}\text{autovalore }3\text{ con autovettore }\left|\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right|,\\ \text{autovalore }1\text{ con autovettore }\left|\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right|.\end{array}}}$$

3. Il polinomio caratteristico di $A$ è

$$det(A-\lambda I_3)=-{\lambda }^3+3{\lambda }^2-2\lambda$$

che fa zero per $\lambda =2,1,0$; poi procedendo come prima,

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{r}\text{autovalore }2\text{ con autovettore }\left|\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right|,\\ \text{autovalore }1\text{ con autovettore }\left|\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right|,\\ \text{autovalore }0\text{ con autovettore }\left|\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right|.\end{array}}}$$

Esercizio

Si calcolino i seguenti limiti:

1. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3-x^2}{x+2}$
2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^4-2x+1}{(x-1{)}^2}-x^2]$
3. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{(x+7{)}^2}{2x}-x]$

Soluzione

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3-x^2}{x+2}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3}{x}-x}{1+\frac{2}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{\infty }}}$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^4-2x+1}{(x-1{)}^2}-x^2]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^4-2x+1}{x^2-2x+1}-x^2]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[x^2-x^2]=\boxed{{\displaystyle 0}}$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{(x+7{)}^2}{2x}-x]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^2+14x+49}{2x}-x]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x}{2}-x]=\boxed{{\displaystyle -\mathrm{\infty }}}$$

Esercizio

Si trovi $t>0$ tale che la funzione

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x+t{)}^2,& x\le 2\\ 4x^2{e}^{x-2},& x>2\end{array}$$

è continua.

Soluzione

$f$ è comunque continua dappertutto tranne $x=2$, dove ci vorrebbe

$$(2+t{)}^2=4\cdot 2^2{e}^0\iff t^2+4t+4=16\iff t^2+4t-12=0,$$

che si può risolvere con la formula quadratica,

$$t=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{2}=-2\pm 4,$$

e scegliendo la radice positive abbiamo $\boxed{{\displaystyle t=2}}$.