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Esercizi - Settimana 5

Esercizio

Studiare in funzione del parametro $t$ l'esistenza di soluzioni dei seguenti sistemi (cioè, dire per quali valori di $t$ c'è un'unica soluzione, per quali nessuna soluzione, e così via), e calcolarle nei casi in cui sono infinite:

1. $\{\begin{array}{ccccc}x& +& 2y& =& 2\\ 2x& +& (t-1{)}^{2}y& =& t+1\end{array}$
2. $\{\begin{array}{ccccc}(t-2{)}^{2}x& -& 2y& =& 4\\ 2x& -& y& =& t-2\end{array}$

Soluzione

1. La matrice di coefficienti è $A=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& (t-1{)}^2\end{array}\right|$, per cui

$$detA=(t-1{)}^2-4=t^2-2t-3,$$

che fa zero per

$$t=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}=3,-1;$$

per i altri valori ha rango 2, il massimo possibile (o in altre parole $A$ è invertibile), e quindi c'è un'$\boxed{{\displaystyle \text{unica soluzione per }t\ne 3,-1}}$.

I altri casi sono più delicati. Per $t=-1$ il sistema diventa

$$\{\begin{array}{ccccc}x& +& 2y& =& 2\\ 2x& +& 4y& =& 0,\end{array}$$

che non ha soluzioni, che si vede perchè (per esempio) $\left|\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right|$ non è una combinazione lineare delle colonne $\left|\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right|,\left|\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right|$; $\boxed{{\displaystyle \text{per }t=-1\text{ nessuna soluzione}}}$.
Invece per $t=3$

$$\{\begin{array}{ccccc}x& +& 2y& =& 2\\ 2x& +& 4y& =& 4\end{array}\iff x+2y=2$$

e quindi $\boxed{{\displaystyle \text{per }t=3\text{ infinite soluzioni}}}$ date per

$$\left|\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}2-2s\\ s\end{array}\right|,\mathrm{\forall }s\in \mathbb{R}$$

2. Procedendo in modo simile,

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{r}\text{unica soluzione per }t\ne 0,4\\ \text{nessuna soluzione per }t=4\\ \text{per }t=4,\text{ infinite soluzioni},\end{array}}}$$

e per $t=4$ le soluzioni sono

$$\boxed{{\displaystyle \left|\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}s\\ 2s-2\end{array}\right|,\mathrm{\forall }s\in \mathbb{R}}}.$$