Esercizi - Settimana 4

Esercizio

Si consideri l'equazione $A \vec{v} = \vec{b}$ , con

A = | \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & - 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} |, \vec{v} = | \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} |, \vec{b} = | \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} |;

Si scriva un sistema equivalente di equazioni lineari nei incogniti $x, y, z$
Si verifichi che $A^{- 1} = \frac{1}{33} | \begin{matrix} 6 & 5 & - 2 \\ - 3 & 3 & 12 \\ 9 & - 9 & - 3 \end{matrix} |$
Usare questo per trovare una soluzione del sistema ottenuto in parte a.

Soluzione

${\begin{matrix} 3 x & + & y & + & 2 z & = & 3 \\ 3 x & + & - & 2 z & = & 1 \\ 3 y & + & z & = & 0 \end{matrix}$
$\frac{1}{33} | \begin{matrix} 6 & 5 & - 2 \\ - 3 & 3 & 12 \\ 9 & - 9 & - 3 \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & - 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} | = \frac{1}{33} | \begin{matrix} 33 & 0 & 0 \\ 0 & 33 & 0 \\ 0 & 0 & 33 \end{matrix} | = I_{3}$
Una soluzione (infatti l'unica soluzione) è data per

\vec{v} = A^{- 1} \vec{b} = | \begin{matrix} 6 & 5 & - 2 \\ - 3 & 3 & 12 \\ 9 & - 9 & - 3 \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} | = \frac{1}{33} | \begin{matrix} 18 + 5 + 0 \\ - 9 + 3 + 0 \\ 27 - 9 + 0 \end{matrix} | = \frac{1}{33} | \begin{matrix} 23 \\ - 6 \\ 18 \end{matrix} |,

cioè $x = \frac{23}{33}, y = - \frac{2}{11}, z = \frac{6}{11}$

Si risolvino le seguenti sistemi di equazioni lineari:

${\begin{matrix} x & + & y & + & z & = & 1 \\ 3 x & + & 2 y & + & z & = & - 1 \\ x & + & y & - & z & = & 0 \end{matrix}$
${\begin{matrix} x & + & y & + & z & = & 1 \\ 3 x & + & 2 y & + & z & = & - 1 \\ x & - & z & = & - 3 \end{matrix}$
${\begin{matrix} x & + & y & + & z & = & 1 \\ 3 x & + & 2 y & + & z & = & - 1 \\ x & - & z & = & 0 \end{matrix}$

Soluzione

Si trovi l'inversa della matrice $A = | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} |$

Consiglio

Riscrive

| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} |

come un sistema di equazioni lineari, e risoverlo.

Si calcolino i determinanti delle matrici seguenti:

Soluzione

$det | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 5 & - 2 \end{matrix} | = 1 \cdot (- 2) - 3 \cdot 5 = - 2 - 15 = - 17$
$det | \begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 4 \end{matrix} | = 4 - (- 2) (- 2) = 4 - 4 = 0$
$det | \begin{matrix} - 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & - 1 \end{matrix} | = (- 3) \cdot 1 \cdot (- 1) + 1 \cdot 2 \cdot 4 + 0 - (- 3) \cdot 2 \cdot 1 - 0 - 0 = 3 + 8 + 6 = 17$

Per ognuno di questi tripli di vettori, si scriva $\vec{u}$ come combinazione lineare di $\vec{v}$ e $\vec{w}$ (o dire che è impossibile).

$\vec{u} = | \begin{matrix} 2 \\ - 2 \end{matrix} |, \vec{v} = | \begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix} |, \vec{w} = | \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} |$
$\vec{u} = | \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} |, \vec{v} = | \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} |, \vec{w} = | \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix} |$
$\vec{u} = | \begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} |, \vec{v} = | \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} |, \vec{w} = | \begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix} |$

Soluzione

In altre parole, vogliamo trovare $μ, λ$ tali che $\vec{u} = μ \vec{v} + λ \vec{w}$ . Questo è la stessa cosa di risolvere il sistema

{\begin{matrix} μ & + & 3 λ & = & 2 \\ 4 μ & + & 2 λ & = & - 2. \end{matrix}

Risolvendo la prima equazione per $μ$ e sostituendo il risultato nel secondo, questo diventa

{\begin{matrix} μ & = & 2 - 3 λ \\ 8 - 10 λ & = & - 2 \end{matrix}

e poi risolvendo la seconda per $λ$ e sostituendo dà $μ = - 1, λ = 1$ . Quindi,

\vec{u} = - \vec{v} + \vec{w} .