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Esercizi - Settimana 2

Esercizio

Siano $f(x)=2x^2+1$, $g(x)=3x-5$. Si trovino le seguenti:

1. $f(g(2))$
2. $f(g(x))$
3. $g(f(x))$
4. $(g\circ g)(x)$
5. $(f\circ f)(2)$

Soluzione

1. $g(2)=6-5=1$, quindi $f(g(2))=f(1)=2+1=\boxed{{\displaystyle 3}}$
2. $f(g(x))=2(3x-5{)}^2+1=\boxed{{\displaystyle 18x^2-60x+51}}$
3. $g(f(x))=3(2x^2+1)-5=\boxed{{\displaystyle 6x^2-2}}$
4. $(g\circ g)(x)=3(3x-5)-5=\boxed{{\displaystyle 9x-20}}$
5. $f(2)=2^2+1=5$, quindi $(f\circ f)(2)=f(f(2))=f(5)=2\cdot 5^2+1=\boxed{{\displaystyle 51}}$

Esercizio

Per le segenti coppie di funzione, si trovino $f\circ g$ e $g\circ f$.

1. $f(x)=x^2+1$, $g(x)=\sqrt{x+2}$
2. $f(x)=\sqrt{x}+2$, $g(x)=x^2+3$
3. $f(x)=|x|$, $g(x)=5x+1$
4. $f(x)=\frac{1}{x-6}$, $g(x)=\frac{7}{x}+6$
5. $f(x)=\frac{1}{x-4}$, $g(x)=\frac{2}{x}+4$

Soluzione

1. $(f\circ g)(x)=(\sqrt{x+2}{)}^2+1=x+2+1=\boxed{{\displaystyle x+3}}$, per $x\ge -2$; $(g\circ f)(x)=\boxed{{\displaystyle \sqrt{x^2+1}+2}}$
2. $(f\circ g)(x)=\boxed{{\displaystyle \sqrt{x^2+3}+2}}$, $(g\circ f)(x)=\boxed{{\displaystyle (\sqrt{x}+2{)}^2+3}}$
3. $(f\circ g)(x)=\boxed{{\displaystyle |5x+1|}}$, $(g\circ f)(x)=\boxed{{\displaystyle 5|x|+1}}$
4. $(f\circ g)(x)=\frac{1}{(\frac{7}{x}+6)-6}=\frac{1}{\frac{7}{x}}=\boxed{{\displaystyle \frac{x}{7}}}$, $x\ne 0$; $(g\circ f)(x)=\frac{7}{\frac{1}{x-6}}+6=7(x-6)+6=\boxed{{\displaystyle 7x-36}}$, $x\ne 6$
5. $(f\circ g)(x)=\frac{2}{(\frac{2}{x}+4)-4}=\frac{1}{\frac{2}{x}}=\boxed{{\displaystyle \frac{x}{2}}}$, $x\ne 0$; $(g\circ f)(x)=\frac{2}{\frac{1}{x-4}}+4=2(x-4)+4=\boxed{{\displaystyle 2x-4}}$, $x\ne 4$

Esercizio

Con $f(x)=\frac{1}{x}$, $g(x)=x-3$, si trovino

1. $(f\circ g)(x)$
2. il dominio di $(f\circ g)$, scritto in termini di intervalli
3. $(g\circ f)(x)$
4. il dominio di $(g\circ f)$, scritto in termini di intervalli

Soluzione

1. $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{x-3}}}$
2. $g(x)$ è sempre ben difinito; $(f\circ g)(x)$ sempre tranne per $g(x)=0$, cioè $x=3$; quindi $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },3)\cup (3,\mathrm{\infty })}}$
3. $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{x}-3}}$
4. $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,\mathrm{\infty })}}$

Esercizio

Per ognuno delle seguenti funzioni $h$, si trovino due funzioni $f,g$ tali che $h=f\circ g$:

1. $h(x)=\frac{3}{x-5}$
2. $h(x)=|x^2-7|$
3. $h(x)=\sqrt{2x+6}$
4. $h(x)=\frac{1}{(x-2{)}^3}$

Soluzione

1. $\boxed{{\displaystyle f(x)=3/x,g(x)=x-5}}$
2. $\boxed{{\displaystyle f(x)=|x|,g(x)=x^2-7}}$
3. $\boxed{{\displaystyle f(x)=\sqrt{x},g(x)=2x+6}}$
4. $\boxed{{\displaystyle f(x)=1/x^3,g(x)=x-2}}$

Queste non sono le uniche possibili risposte giuste; ad esempio per l'ultimo andrebbe bene anche $f(x)=1/x$, $g(x)=(x-2{)}^3$.

Esercizio

Per le seguenti funzioni $f$, si trova $f^{-1}$:

1. $f(x)=x+3$
2. $f(x)=2-x$
3. $f(x)=\frac{x}{x+2}$

Soluzione

1. $y=x+3\iff x=y-3$; $\boxed{{\displaystyle f^{-1}(y)=y-3}}$
2. $y=2-x\iff x=2-y$; $\boxed{{\displaystyle f^{-1}(y)=2-y}}$
3. Per $x\ne -2$, risolviamo $y=f(x)$ per $x$ così:

$$\begin{array}{rl}y& =\frac{x}{x+2}\\ (x+2)y& =x\\ xy+2y& =x\\ xy-x& =-2y\\ (y-1)x& =-2y\\ x& =\frac{-2y}{y-1}=\frac{2y}{1-y}\end{array}$$

quindi, $\boxed{{\displaystyle f^{-1}(y)=\frac{2y}{1-y}}}$.

Esercizio

Per ognuno delle funzioni $f$ sotto, si trovino li intervalli più grandi in cui $f$ è invertibile, e trovare un inverso di $f$ su uno di questi intervalli:

1. $f(x)=(x+7{)}^2$
2. $f(x)=(x-6{)}^2$
3. $f(x)=x^2-5$

Soluzione

1. Invertibile su $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },-7]\text{ oppure }[-7,\mathrm{\infty })}}$; per il secondo (ove $x+7\ge 0$),

$$\begin{array}{rl}y& =(x+7{)}^2\\ \sqrt{y}& =x+7\\ x& =\sqrt{y}-7\end{array}$$

e quindi $\boxed{{\displaystyle f^{-1}(y)=\sqrt{y}-7}}$.

2. Invertibile su $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },6]\text{ oppure }[6,\mathrm{\infty })}}$; per il seconodo intervallo

$$\begin{array}{rl}y& =(x-6{)}^2\\ \sqrt{y}& =x-6\\ x& =\sqrt{y}+6\end{array}$$

e quindi $\boxed{{\displaystyle f^{-1}(y)=\sqrt{y}+6}}$.

3. Invertibile su $\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },0]\text{ oppure }[0,\mathrm{\infty })}}$; per il secondo, $\boxed{{\displaystyle f^{-1}(y)=\sqrt{y+5}}}$