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Esercizi - Settimana 11

Esercizio

Si dice quali delle tre formule

$$A.y=\pi e^{-\cos x}B.y=e^{x^2/2}C.y=\frac{1}{1-x}$$

è la soluzione di quale delle seguenti equazioni differenziali:

$$\text{I}.y^{\prime }=y^2\text{II}.y^{\prime }=y\sin x\text{III}.y^{\prime }=xy$$

Esercizio

1. Si trovi la soluzione generale dell'equazione differenziale

$$x^3{z}^{\prime }=z.$$

(Consiglio: la soluzione ha la forma $z(x)=C\exp (a{x}^b)$ per certi $a,b\in \mathbb{R}$.)

2. Usando il risultato di parte a., si trovi la soluzione del problema di Cauchy

$$\{\begin{array}{l}{z}^{\prime }=z/x^3,\\ z(-1)=e.\end{array}$$

3. Qual'è il dominio di definizione di questa soluzione particolare?

Esercizio

Trovare la soluzione del problema di Cauchy

$$\{\begin{array}{l}\frac{dP}{dt}=\frac{1}{2}P(t)-3[P(t){]}^2,\\ P(0)=1,\end{array}$$

e valutare $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}P(t)$.

Consiglio: la soluzione ha la forma

$$P(t)=\frac{a{e}^{bt}}{c+e^{bt}}$$

per certi $a,b,c\in \mathbb{R}$.

Esercizio

Si consideri l'equazione differenziale

$$y^{″}-y^{\prime }-2y=4.$$

1. Si trovi una soluzione particolare dell'equazione. (Consiglio: l'equazione ammette una soluzione di equilibrio, cioè una soluzione costante).
2. Si trovino due soluzioni independenti della relativa equazione omogenea. (Consiglio: provare la forma $y(t)=\exp (kt)$, e, se non basta, $y(t)=t\exp (kt)$ con lo stesso valore di $k$.)
3. Usando i risultati di sopra, si scrivi la soluzione generale.
4. Finalmente, si trovi la soluzione del problema di Cauchy

$$\{\begin{array}{l}{y}^{″}-y^{\prime }-2y=4,\\ y(0)=1,\\ y^{\prime }(0)=3.\end{array}$$

Esercizio

Con lo stesso procedimento dell'esercizio precedente, si risolvi il problema di Cauchy

$$\{\begin{array}{l}{y}^{″}+4y^{\prime }+4y=8,\\ y(0)=3,\\ y^{\prime }(0)=0.\end{array}$$

Esercizio

Trovi la soluzione $x(t),y(t)$ al problema di Cauchy

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-x+y,\\ y^{\prime }=x-y,\\ x(0)=2,\\ y(0)=1\end{array}$$

Consiglio: elimina una delle variabili; l'equazione di secondo grado che risulta ha due soluzioni della forma $e^{kt}$ con valori distinti di $k$.

Esercizio

Trovi la soluzione $x(t),y(t)$ al problema di Cauchy

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-3y,\\ y^{\prime }=2x-4y,\\ x(0)=6,\\ y(0)=5\end{array}$$

Consiglio: elimina una delle variabili; l'equazione di secondo grado che risulta ha due soluzioni della forma $e^{kt}$ con valori distinti di $k$.