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Esercizi - Settimana 10

Esecizio

Calcolare le seguenti integrali, usando integrazione per parti:

1. $$\int x\cos xdx$$
2. $${\int }_0^{2}x{e}^{-2x}dx$$

Soluzione

1. Scegliendo

$$f(x)=x,g(x)=\sin x$$

e quindi

$$f^{\prime }(x)=1,g^{\prime }(x)=\cos x,$$

abbiamo

$$\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=\boxed{{\displaystyle x\sin x+x\cos x+C}}.$$

2. Scegliendo

$$f(x)=x,g(x)=-\frac{1}{2}{e}^{-2x}$$

e quindi

$$f^{\prime }(x)=1,g^{\prime }(x)=e^{-2x},$$

abbiamo

$${\int }_0^{2}x{e}^{-2x}dx=-\frac{x}{2}{e}^{-2x}{|}_{x=0}^2+\frac{1}{2}{\int }_0^2{e}^{-2x}dx;$$

poi

$${\int }_0^2{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{2}{e}^{-2x}{|}_{x=0}^2=-\frac{1}{2}{e}^{-4}+\frac{1}{2},$$

e quindi

$${\int }_0^{2}x{e}^{-2x}dx=-e^{-4}+\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}{e}^{-4}+\frac{1}{2})=\boxed{{\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{5}{4}{e}^{-4}}}.$$

Esercizio

Calcolare le seguenti integrali, integrando per sostituzione:

1. $$\int \tan xdx$$
2. $$\int \frac{e^x}{1+\exp (2x)}dx$$

Soluzione

1. Ricordando $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, ponendo $y=\cos x$ in modo tale che $dy=-\sin xdx$,

$$\int \tan xdx=-\int \frac{dy}{y}=-\log y+C=\boxed{{\displaystyle -\log (\cos x)+C}}.$$

2. Mettendo $y=e^x$, quindi $dy=e^{x}dx$,

$$\int \frac{e^x}{1+\exp (2x)}dx=\int \frac{dy}{1+y^2}dy=\arctan y+C=\boxed{{\displaystyle \arctan (e^x)+C}}.$$

Esercizio

Calcolare le seguenti integrali:

1. $$\int \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$$
2. $$\int x^3\ln xdx$$
3. $${\int }_0^{\pi }\sin x{e}^{\cos x}dx$$

Soluzione

1. Integrando per sostituzione con $y=\cos x$,

$$\int \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx=-\int \frac{dy}{y^3}=\frac{1}{2}{y}^{-2}+C=\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2{\cos }^{2}x}+C}}.$$

2. Integrando per parti,

$$\int x^3\ln xdx=\frac{1}{4}{x}^4\ln x-\frac{1}{4}\int x^{3}dx=\boxed{{\displaystyle \frac{1}{4}{x}^4\ln x-\frac{x^4}{16}+C}}.$$

3. Integrando per sostituzione con $y=\cos x$,

$${\int }_0^{\pi }\sin x{e}^{\cos x}dx=-{\int }_1^{-1}{e}^{y}dy={\int }_{-1}^1{e}^{y}dy=\boxed{{\displaystyle e-\frac{1}{e}}}.$$