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Esercizi - Settimana 1

Esercizio

Sia $y=mx+b$, con $x=2,4\pm 0,2$, $m=1,1\pm 0,1$, $b=4,5\pm 0,5$. Scrivere $y$ con un valore stimato ed errore assoluto.

Soluzione

Possiamo scrivere i dati in termini di valori minimi e massimi come

$$2,2\le x\le 2,6,1,0\le m\le 1.2,4,0\le b\le 5.0$$

da cui segue $2,3\le mx\le 3,12$ e poi $6,2\le y=mx+b\le 8,12$. Per trovare il valore stimato ed errore assoluto, osserviamo che per riprodurre questo intervallo dobbiamo avere $v_y+e_y=8.12$ e $v_y-e_y=6.2$, cioè

$$\{\begin{array}{l}{v}_y+e_y=8,12\\ v_y-e_y=6,2\end{array}\to \{\begin{array}{l}2v_y=8,12+6,2=14,32\\ 2e_y=8,12-6,2=1,92\end{array}\to \{\begin{array}{l}{v}_y=7,16\\ e_y=0,96\end{array}$$

ovvero $\boxed{{\displaystyle y=7,16\pm 0,96}}$.

Esercizio

Sia $x=\frac{a}{b}$, con $a=7\pm 1$, $b=1,0\pm 0,5$. Scrivere $x$ con un valore stimato ed errore assoluto.

Soluzione

Iniziando come nell'esercizio precedente, abbiamo

$$a\in [6,8],b\in [\frac{1}{2},\frac{3}{2}];$$

quindi

$$x\in [\frac{6}{3/2},\frac{8}{1/2}]=[4,16]$$

o, equivalentemente,

$$\boxed{{\displaystyle x=10\pm 6}}.$$

Esercizio

Scrivere esplicitamente le seguenti insieme; ad esempio,

$$\{n\in \mathbb{N}|2\le n<7\}=\boxed{{\displaystyle \{2,3,4,5,6\}}}.$$

1. $\{n\in \mathbb{Z}|\sqrt{3}\le n\le 5\}$
2. $\{n\in \mathbb{Z}|-2<n\le 3\}$
3. $\{n\in \mathbb{N}|-2<n\le 3\}$

Soluzione

1. $\{2,3,4,5\}$
2. $\{-1,0,1,2,3\}$
3. $\{0,1,2,3\}$

Esercizio

Scrivere il risultato delle seguenti sia come un singolo intervallo, sia come un insieme caratterizzato per una proposizione.

Esempio:

$$[2,5]\cup [3,6)=[2,7)=\{x\in \mathbb{R}|2\le x<7\}$$

1. $(2,5]\cap (3,7]$
2. $(2,5]\cup (3,7]$
3. $(2,5]\setminus (3,7]$

Soluzione

1. $(2,5]\cap (3,7]=\boxed{{\displaystyle (3,5]}}=\boxed{{\displaystyle \{x\in \mathbb{R}|3<x\le 5\}}}$
2. $(2,5]\cup (3,7]=\boxed{{\displaystyle (2,7]}}=\boxed{{\displaystyle \{x\in \mathbb{R}|2<x\le 7\}}}$
3. $(2,5]\setminus (3,7]=\boxed{{\displaystyle (2,3]}}=\boxed{{\displaystyle \{x\in \mathbb{R}|2<x\le 3\}}}$

Esercizio

Risolvi le sequenti disequazioni.

1. $5x-8\le 12$
2. $-2x+5>x-7$
3. $\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{5}\le \frac{3}{5}$

Soluzione

$$\begin{array}{rl}& 5x-8\le 12\\ \iff & 5x\le 20\\ \iff & \boxed{{\displaystyle x\le 4}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& -2x+5>x-7\\ \iff & -3x>-12\\ \iff & 3x<12\\ \iff & x<4\\ \iff & \boxed{{\displaystyle x<\frac{1}{3}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{5}\le \frac{3}{5}\\ \iff & 5x-5+3x+6\le 9\\ \iff & 8x+1\le 9\\ \iff & \boxed{{\displaystyle x\le 1}}\end{array}$$

Esercizio

Risolvi le sequenti disequazioni, scrivendo il risultato in termini di intervalli.

1. $|5x-1|>14$
2. $|3x+2|+1\le 9$
3. $|x-3|<-4$

Soluzione

$$\begin{array}{rl}& |5x-1|>14\\ \iff & 5x-1<-14\text{ oppure }5x-1>14\\ \iff & 5x<-13\text{ oppure }5x>15\\ \iff & x<\frac{13}{5}\text{ oppure }x>3\\ \iff & \boxed{{\displaystyle x\in (-\mathrm{\infty },\frac{13}{5})\cup (3,\mathrm{\infty })}}\end{array}$$

Equivalentemente il risultato può essere scritto $\boxed{{\displaystyle x\in [\frac{13}{5},4{]}^C}}$.

$$\begin{array}{rl}& |3x+2|+1\le 9\\ \iff & |3x+2|\le 8\\ \iff & -8\le 3x+2\le 8\\ \iff & -10\le 3x\le 6\\ \iff & x\in \boxed{{\displaystyle [-\frac{10}{3},2]}}\end{array}$$

3. Il valore assoluto è sempre positivo, quindi questa disuguaglianze è sempre falso; $\boxed{{\displaystyle x\in \mathrm{\varnothing }}}$. Per vedere questo in altro modo, iniziando come sopra otteniamo $4<x-3<-4$, quindi $4<-4$, che è impossibile.