nella quale i numeri a,b,c indicano le coordinate cartesiane del punto C. È anche possibile descrivere i punti di una sfera con equazioni parametriche. Queste equazioni mettono in corrispondenza biunivoca (e bicontinua) i valori di una coppia di parametri con i punti della sfera. Poiché la sfera rappresenta il modello geometrico col quale descrivere la volta celeste e la terra queste "coordinate sferiche" sono state introdotte in tempi antichissimi e tutt'oggi mantengono essenzialmente lo stesso carattere. Per poter rappresentare con una coppia di numeri i punti di una sfera, così come si fa nel piano quando si introducono le coordinate, occore fissare un "sistema di riferimento". Nel caso della sfera occorre fissare un cerchio massimo ¹ che diremo equatore, un polo e una linea meridiana cioé un cerchio massimo che passa per il polo. Questi due cerchi sono l'analogo degli assi cartesiani e il punto A in cui si incontrano l'analogo dell'origine del riferimento.

Se P è un qualunque punto della sfera, consideriamo il cerchio massimo che passa per P e per il polo e consideriamo il punto S nel quale tale cerchio interseca l'equatore. L'angolo a definito dall'arco AS è uno dei due parametri e si chiama (con linguaggio geografico) longitudine del punto P, mentre l'angolo b definito dall'arco SP si chiama latitudine del punto A della sfera.

L'angolo a si prende compreso tra -p e p mentre l'angolo b tra -p/2 e p/2. Nel linguaggio classico, gli angoli venivano misurati in gradi, un grado è la 360 parte di un angolo giro e, mancando la considerazione dei numeri negativi, per denotare angoli positivi o negativi venivano usate le parole: "a gradi di longitudine est" vuol dire longitudine +a mentre "a gradi di longitudine ovest" vuol dire longitudine -a ma ora l'angolo a si prende tra 0 e 180 gradi. Analogamente per le latitudini: il termine "nord" vuol dire "+" mentre il termine "sud" vuol dire "-". L'uso dei numeri negativi, ovviamente, non aggiunge nulla al contenuto descrittivo del modello, ma semplifica di molto i calcoli che altrimenti debbono ogni volta conpemplare i vari casi possibili.
Per scrivere delle equazioni dobbiamo fissare un riferimento cartesiano. Scegliamo il punto O nel centro della sfera e i vettori i, j e k come in figura. Le coordinate del punto P si ottengono proiettando ortogonalmente P sul piano dell'equatore. Sia P' tale proiezione.

Abbiamo OP = OP' + P'P e P'P = r sin(b)k, mentre, guardando sul piano equatoriale, troviamo

OP' = |OP'|cos(a) i + |OP'|sin(a) j)

e tenendo conto che |OP'| = r cos(b) abbiamo

e quindi, uguagliando le componenti, otteniamo le equazioni

che esprimono le coordinate cartesiane di un punto della sfera di longitudine a e latitudine b.

Le considerazioni precedenti ci indicano la strada da seguire per scrivere le equazioni parametriche di una circonferenza della quale sia noto il centro, il raggio e il piano nel quale si trova. Sia C il centro, q il piano e r il suo raggio. Scegliamo una base ortonormale e ed f del piano q e descriviamo i punti P della circonverenza al variare dell'angolo t (0 < t < 2p) che il vettore CP forma con il vettore e

Abbiamo CP = r cos(t) e + r sin(t) f e quindi se O è l'origine delle coordinate il vettore

fornisce le coordinate del punto P al variare del parametro t. Notiamo che in questa formula ogni parte è espressa in termini dei dati del problema: OC è noto perché sono note le coordinate di C =(x₁,y₁,z₁) , e = e₁i + e₂j + e₃k e f = f₁i + f₂j + f₃k sono noti perché è dato il piano q e quindi è possibile calcolare una base ortonormale dello spazio dei suoi vettori, r è dato e t è il paramtro al variare del quale si ottengono tutti i punti della circonferenza. Le equazioni che si ottengono sono le equazioni parametriche della circonferenza

Volendo trovare delle equazioni cartesiane della circonferenza, dobbiamo trovare due superfici che si intersecano lungo la data circonferenza. Vi sono ovviamente moltissime possibilità: una di queste, particolarmente semplice consiste nel prendere la sfera di centro C e raggio r e il piano q. Se ax + by + cz = d è l'equazione cartesiana del piano allora le soluzioni (x,y,z) del sistema in due equazioni e tre incognite

danno le coordinate dei punti che si trovano sia sulla sfera che sul piano e quindi i punti che si trovano nella loro intersezione che è appunto la data circonferenza.
Cerchiamo, ad esempio le equazioni parametriche della circonferenza che si trova sul piano x+y+z=1 e ha centro (1/2,1/2,0) e raggio 1/4.

La spazio dei vettori del piano dato è lo spazio W = Span(i+j+k)^{^} e, come base ortonormale possiamo prendere i vettori

Le equazioni parametriche della circonferenza sono dunque

cioé

Le equazioni cartesiane della circonferenza sono invece

Esercizi