Lezioni di Geometria

Franco Ghione

Equazioni di un piano nello spazio euclideo tridimensionale

Per trovare le relazioni algebriche che debbono verificare le coordinate dei punti che appartendono ad un piano, come abbiamo fatto per la sfera, dobbiamo trovare una proprietà geometrica, traducibile in termini di vettori, che caratterizzi tutti e soli i punti di un piano. Un primo modo per fare questo consiste nel descrivere i punti di un piano come l'insieme delle combinazioni lineari di due vettori indipendenti applicati ad uno stesso punto. Questa strada conduce alle così dette equazioni parametriche di un piano. Un seondo modo descrive invece i punti di un piano tramite i vettori perpendicolari ad un fissato vettore applicati in uno stesso punto. Questo secondo metodo conduce alla equazione cartesiana di un piano. Seguiamo ora in tutti i dettagli queste due strade.

Equazioni parametriche di un piano
Dati due vettori geometrici linearmente indipendenti u e v e un punto A dello spazio, il piano parallelo a u e v passante per A è l'insieme dei punti P dello spazio che danno il vettore AP come combinazione linare di u e v.
Supponiamo che A = (x₁,y₁,z₁) e che i due dati vettori siano u = u₁i + u₂j + u₃k e v = v₁i + v₂j + v₃k.
Un generico punto P = (x,y,z) appartiene al piano se e solo se esistono due scalari a e b (detti parametri) tali che

Scrivendo questa relazione usando le coordinate che abbiamo introdotto troviamo, tenendo conto della formula 1

(equazioni parametriche di un piano)

Queste equazioni possono essere scritte in modo più semplice e compatto usando i vettori (colonna) numerici a tre componenti con le loro regole di calcolo

Si deve però fare attenzione al diverso significato dei simboli: le prime due colonne rappresentano le coordinate dei punti P ed A nel sistema diriferimento (O,i,j,k), mentre le seconde due rappresentano le componenti dei vettori u e v nella base i,j,k.

Esempio
Consideriamo il piano passante per il punto A = (1,0,0), parallelo al vettore j e inclinato di 45 gradi rispetto al piano orrizontale, come mostrato in figura.

Per scrivere le equazioni parametriche di questo piano dobbiamo trovare un suo punto (e questo può essere il punto A = (1,0,0) che già conosciamo) e due vettori indipendenti paralleli al piano. Questi possono essere u = -i + k e j. Le equazioni si ottengono allora sostituendo i 9 valori noti (le tre coordinate di A e le sei componenti dei vettori u e j) nelle equazioni precedenti. Troviamo così

Al variare dei due parametri a e b troviamo tutti e soli i punti del piano. Ad esempio il punto (0,3,1) appartiene al piano perché si ottiene per a=1 e b=3, mentre il punto (1,1,1) non appartiene al piano perché non è possibile ottenerlo dalle equazioni precedenti, qualunque sia la scelta di a e b.

Equazione cartesiana di un piano
Descriviamo ora i punti di un piano a partire da un suo punto A e da un vettore u ortogonale al piano: un generico punto P appartiene al dato piano se e solo se il vettore AP è ortogonale al vettore u.

Supponiamo che A abbia le coordinate A = (x₁,y₁,z₁) e che u = ai + bj + ck. Un generico punto P = (x,y,z) definisce un vettore AP ortogonale ad u se e solo se

Cioé se e solo se ax + by + cz = ax₁ + by₁ + cz₁. Se indichiamo con d la quantità nota ax₁ + by₁ + cz₁ otteniamo la

(equazione cartesiana di un piano)

Le coordinate dei punti di un piano verificano dunque una equazione di primo grado in x,y,z. Viceversa i punti che verificano una equazione di primo grado si trovano su un piano: il piano perpendicolare al vettore u = ai + bj + ck passante per uno dei punti A = (x₁,y₁,z₁) che verificano la data equazione. Ad esempio l'equazione 2x - y + z = 1 rappresenta un piano perpendicolare al vettore 2i - j + k passante per il punto (1,2,1): tale piano infatti, svolgendo il calcolo precedente, sarebbe proprio