Le registrazioni delle lezioni rimarranno disponibili nella cartella "FILES" del canale "LEZIONI", all'interno della classe TEAMS del corso.
PRIMA SETTIMANA:
- (4/10/2022) Varieta' topologiche. Osservazioni sugli assiomi di definizione. Proprieta' delle varieta' topologiche: locale compattezza, locale connessione per archi, connessa se e solo se connessa per archi (cf. Arosio, Geometria 3, Prop. 17.1.15, p.74), cardinalita' numerabile delle componenti connesse (segue dal Teorema di Lindeloef), gruppo fondamentale numerabile (solo enunciato, cf. Lee, Prop. 1.16, p.10), paracompattezza (dimostrazione in seguito).
Varieta' differenziabili. Atlanti di carte coordinate C ∞-compatibili. Funzioni differenziabili su varieta'. Mappe differenziabili fra varieta'.
- (5/10/2022) Esempi di varieta' differenziabili: Rn, aperti di Rn, aperti di una varieta' differenziabile, il gruppo lineare GL(n,R), la sfera Sn (due atlanti distinti di carte compatibili lisce sulle sfere), lo spazio proiettivo reale RPn.
- (6/10/2022) Il teorema dei valori regolari per funzioni da Rn+m ad Rm.
Esempi di varieta' in forma implicita: SL(n,R), il gruppo ortogonale O(n), SL(n,C), e il gruppo unitario U(n).
- L. Arosio, p. 5-10.
- J. Lee, Topological manifolds, pag. 1-7, Smooth structures, pag. 10-21.
- Abate -Tovena, Varieta', pag. 59-73.
- Abate-Tovena, Teorema dei valori regolari, Prop. 2.1.38, pag. 73-75.
- Lo spazio proiettivo reale e la Grassmanniana pdf
SECONDA SETTIMANA:
- (11/10/2022) Strutture differenziabili su una varieta' (atlanti massimali di carte compatibili lisce). Strutture differenziabili non equivalenti, ma diffeomorfe, su R. Strutture differenziali esotiche sulle sfere (cenni). Dato un arbitrario ricoprimento aperto di una varieta', esistenza di un raffinamento numerabile, localmente finito, fatto di palle coordinate regolari.
- (12/10) Partizione dell'unita' e partizione dell'unita' subordinata ad un ricoprimento. Applicazioni dell'esistenza di una partizione dell'unita' subordinata ad un arbitrario ricoprimento aperto di una varieta': esistenza di "bump functions" lisce, Lemma di estensione per funzioni lisce. Discussione di qualche esercizio del foglio 1.
- (13/10/2022) Dimostrazione dell'esistenza di una partizione dell'unita' subordinata ad un arbitrario ricoprimento aperto. Un biolomorfismo fra CP1 e la sfera di Riemann C∪∞.
- Wikipedia: Strutture differenziali su Rn pdf
- Wikipedia: Strutture differenziabili su Sn pdf
- Arosio, pag. 20-24.
- Lee, pag.40-45, fino Prop. 2.26.
TERZA SETTIMANA:
- (18/10/2022) Derivazioni di un'algebra. Lo spazio tangente TaRn come spazio delle derivazioni dell'algebra delle funzioni lisce su Rn, valutate nel punto a. L'isomorfismo TaRn ≃ Rn.
Lo spazio tangente TaM come spazio delle derivazioni dell'algebra delle funzioni lisce su M, valutate nel punto a. Il differenziale in un punto di una applicazione liscia fra varieta' differenziabili. Proprieta' del differenziale.
- (20/10/2022) Se U ⊆ M e' un qualunque aperto contenente a ∈ M, allora vale TaU e' isomorfo a TaM. La dimensione dello spazio tangente TaM.
L'algebra dei germi delle funzioni lisce in un punto Fa e TaM come spazio delle derivazioni dell'algebra Fa. Vettori tangenti ad una varieta' in un punto come classi di equivalenza di curve per il punto.
- (21/10/2022) Calcoli in coordinate locali. Il fibrato tangente TM.
- Lee, Cap.3, pag.50-72 (eccetto le varieta' con bordo).
QUARTA SETTIMANA:
- (25/10/2022) Mappe di rango costante: immersioni, sommersioni, casi intermedi. Modelli locali lineari delle immersioni. Proprieta' locali delle immersioni (sono localmente iniettive, e localmente omeomorfismi sull'immagine). Immersioni, immersioni iniettive, embedding. Esempi.
- (26/10/2022) Modelli locali lineari delle sommersioni. Conseguenze: una sommersione e' aperta, una sommersione ammette sezioni locali. Esempi. Modelli locali lineari dei casi intermedi.
- (27/10/2022) Proprieta' universale delle sommersioni. Applicazioni ed esempi. Proprieta' universale delle immersion. Principio di restrizione del dominio e del codominio. Applicazioni ed esempi. Teorema del rango globale.
- Arosio, pag. 54-59.
- Lee, pag. 77-85, 88-90.
QUINTA SETTIMANA:
- (31/10/2022) Sottovarieta' di una varieta' differenziabile. Esempi e controesempi. Costruzione e unicita' dell'atlante che rende l'inclusione un embedding.
- (1/11/2022) FESTA
- (2/11/2022) Caratterizzazione delle sottovarieta' come immagini di un embedding. Sottovarieta' immerse. Gli insiemi di livello di una mappa di rango costante sono sottovarieta'. Funzioni di definizione locali di una una sottovarieta'. Spazio tangente in un punto ad una sottovarieta'.
- (3/11/2022) Insiemi di misura nulla in una varieta'. Teorema di Sard (senza dimostrazione). Teorema di embedding di Whitney per varieta' compatte.
- Arosio, pag. 62-64.
- Lee, pag. 98-120.
- Abate-Tovena, pag. 109-111.
- Lee, pag.131-132, pag.134-136 (no varieta' con bordo).
SESTA SETTIMANA:
- (8/11/2022) Campi vettoriali grezzi, campi vettoriali lisci. Esempi.
I campi vettoriali lisci coincidono con le derivazioni dell'algebra delle funzioni differenziabili su una varieta'.
Lie-brackets di campi vettoriali lisci: definizione e proprieta'. Espressione in coordinate locali.
- (9/11/2022) Campi vettoriali e mappe fra varieta': campi vettoriali correlati, il bracket di campi correlati mantiene la correlazione (naturalita' del bracket). Push forward di un campo vettoriale tramite un diffeomorfismo fra varieta'. Il push-forward del un bracket di due campi e' il bracket dei rispettivi push-forward. Campi vettoriali tangenti ad una sottovarieta'. Restrizioni di campi a una sottovarieta'.
- (10/11/2022) Campi vettoriali e curve integrali. Esempi di flussi di campi vettoriali su R2. Teorema del flusso (continua).
- Lee, Cap. 8, pag.174-177.
- Lee, Cap. 8, pag.180-189.
- Lee, Cap. 9, pag.205-217.
- Abate-Tovena, Sez. 3.3, pag. 152-160.
SETTIMA SETTIMANA:
- (15/11/2022) Teorema del flusso (fine). Campi vettoriali completi. I campi vettoriali su una varieta' compatta sono completi.
- (16/11/2022) LEZIONE CANCELLATA (recuperata il 31/10/2022)
- (17/11/2022) LEZIONE CANCELLATA (sara' recuperata il 5/12/2022)
OTTAVA SETTIMANA:
- (22/11/2022) Curve integrali uscenti da punti singolari di un campo vettoriale. "Straightening" di un campo vettoriale intorno ad un punto regolare. Derivata di Lie di un campo vettoriale rispetto ad un altro. Esempi.
- (23/11/2022) Esercizi vari. Distribuzioni. Distribuzioni involutive. Distribuzioni integrabili e sottovarieta' integrali. Esempi.
- (24/11/2022) Una distribuzione integrabile e' involutiva. Carte piatte per una distribuzione. Distribuzioni completamente integrabili. "Straightening simultaneo" di k campi vettoriali che commutano (cenni). Teorema di Frobenius (locale): una distribuzione e' integrabile se e solo se e' involutiva. Esempi. Cenni al Teorema di Frobenius globale (corrispondenza tra distribuzioni integrabili e foliazioni).
- Abate-Tovena, Sez. 3.7, pag.171-172; Teor. 3.7.4 (senza dimostraz.), pag. 174-177.
- Lee, Cap. 8, pag.227-230.
NONA SETTIMANA:
- (29/11/2022) Gruppi di Lie, omomorfismi di gruppi di Lie. Sottogruppi di Lie e sottogruppi
chiusi. Esempi. Il rivestimento universale di un gruppo di Lie.
- (30/11/2022) Azioni di gruppi su varieta': libere, fedeli, transitive. Stabilizzatore di un punto, orbita, spazio delle orbite. La sfera, lo spazio proiettivo, la grassmanniana come varieta' omogenee.
- (1/12/2022) Azioni proprie. Il teorema del quoziente (senza dimostrazione). Conseguenze: il quoziente G/H di un gruppo di Lie per un suo sottogruppo chiuso e' una varieta' di dimensione dim (G)-dim(H). Mappe G-equivarianti fra G-varieta'. Teorema del rango equivariante. L'orbita di una punto in una G-varieta' e' una sottovarieta' immersa. Data un'azione liscia, libera e propria di un gruppo discreto G su una varieta' M, allora la proiezione al quoziente definisce un rivestimento normale.
- Abate-Tovena, 96-101.
- Lee, Cap. 7, pag.150-156; pag. 161-165.
- Lee, Prop. 21.5, p. 543 (senza dimostrazione); Thm.21.17, p.551-552; Thm.21.18, p.552-553; Thm.21.13, p.549-550.
DECIMA SETTIMANA:
- (5/12/2022) Prodotto tensore di spazi vettoriali. Proprieta' universale del prodotto tensore. Identificazioni del k-prodotto tensore di V*, il duale di uno spazio vettoriale V, con le applicazioni multilineari L(Vx...xV, R). L'algebra tensoriale T(V*). I k-tensori simmetrici, i k-tensori antisimmetrici e i rispettivi proiettori.
- (6/12/2022) L'algebra esterna. Associativita' e anticommutativita' del prodotto esterno.
- (7/12/2022) Fibrati vettoriali, funzioni di transizione. Morfismi di fibrati vettoriali, isomorfismi. Sottofibrati. Rivisitazione del fibrato tangente. Il fibrato cotangente, i fibrati dei k-tensori, dei k-tensori simmetrici e delle k-forme.
- (8/12/2022) FESTA
- Arosio, Lez.22, pag. 94-98; Lez. 24, pag. 101-106.
- Abate-Tovena, Prop.1.4.15, pag. 27-28.
- Abate-Tovena, sez. 3.1, pag. 133-138.
UNDICESIMA SETTIMANA:
- (13/12/2022) Fibrati vettoriali a partire dalle funzioni di transizione. Isomorfismi di fibrati vettoriali in termini delle funzioni di transizione. L'algebra delle forme differenziali Ω(M).
- (14/12/2022) CANCELLATA
- (15/12/2022) Pull-back di forme differenziali. Il differenziale esterno d: Ω(M) → Ω(M), antiderivazione di grado 1 che estende il differenziale delle funzioni lisce. Definizione di d su un aperto di Rn e poi su una varieta' arbitraria. Ulteriori proprieta': d2=0 e d commuta col pull-back.
Un'antiderivazione di grado 1 che estende il differenziale delle funzioni lisce e' locale.
I gruppi di coomologia di De Rham. Significato dei gruppi H0(M, R) e H1(M, R). Cenni all'invarianza omotopica dei gruppi di coomologia. Cenni ai gruppi di coomologia del punto, degli aperti stellati (Lemma di Poincare'), delle sfere.
- Abate-Tovena, Cap.3, pag. 133-143.
- Abate-Tovena, Cap.4, pag. 207-210, pag.222-227.
- Arosio, Lez. 26, pag.112-116.
- Panoramica sulla coomologia di De Rham pdf
DODICESIMA SETTIMANA:
- (19/12/2022) Dimostrazione dell'unicita' del differenziale esterno: e' l'unica antiderivazione di grado 1 che estende il differenziale delle funzioni lisce e d2=0.
Esempi: il gruppo H1(R2-{0}, R) non e' nullo; forme differenziali e differenziale esterno in R3. Atlanti orientati su una varieta'. Varieta' orientabili. Forme di volume.
- (20/12/2022) Una varieta' e' orientabile se e solo se ammette una forma di volume. Esempi di varieta' orientabili. Ipersuperfici orientabili in una varieta' orientabile. Varieta' con bordo.
- (21/12/2022) Varieta' orientabili con bordo: orientazione indotta sul bordo
di una varieta' orientata e orientazione di Stokes del bordo (a seconda che dim M sia pari o dispari). Integrazione di forme differenziali su varieta'. Il teorema di Stokes. Esempi: il teorema fondamentale del calcolo integrale in R, il teorema di Gauss-Green in R2.
- (22/12/2022) Una forma di volume sulla sfera. Alcune conseguenze del Teorema di Stokes. Teorema del punto fisso di Brower. La sfera Sn e' pettinabile se e solo se n e' dispari.
- Abate-Tovena, pag. 211-214, Sez. 4.5, pag. 227-233.
- Arosio, pag. 118-120; pag. 123-131.
- Arosio, pag. 132-133; (la sezione sull'invarianza omotopica: solo enunciati); Sez.30.4, pag.136.
