Laurea Magistrale in Matematica
a.a. 2021-22, semestre 1.
Introduzione alle varieta' differenziabili

LINEE GUIDA PER L'ESAME

Il programma d'esame consiste nel materiale svolto in classe, come specificato nel diario delle lezioni qui sotto. Gli esempi e gli esercizi assegnati settimanalmente fanno parte integrante del programma.

DIMOSTRAZIONI SCELTE:
Esistenza di una partizione dell'unita' subordinata ad un ricoprimento arbitrario: Arosio, Teor. 4.2.11, pag. 23-24;
Applicazioni dell'esistenza di partizioni dell'unita': J. Lee, Prop. 2.25 e Lemma 2.26, pag. 44-45;
Teorema del rango globale: Arosio, Teor. 12.1.1, pag.65;
Insiemi di livello: Arosio, Teor. 12.3.3, Cor. 12.3.5, pag.66-67;
Proprieta' universale delle sommersioni e delle immersioni: Arosio, Prop.11.1.2 e Prop.11.7, pag.60-61;
Teorema di embedding di Whitney per varieta' compatte: Lee, Lemma 6.13, pag.132, Teor. 6.15 (caso compatto), pag.134;
Rivestimenti lisci: Abate-Tovena, Prop.2.2.19, pag.79-80;
Rivestimento universale di un gruppo di Lie: Abate-Tovena, Prop. 2.5.13, pag.97-98;
Quoziente di un gruppo di Lie per un suo sottogruppo chiuso: Lee, Teor. 21.17, Teor. 21.18, pag.551-553;
Rivestimenti e azioni di gruppi di Lie discreti: Lee, Prop. 7.23, pag.163-164, Prop.21.12, Teor. 21.13, pag. 549-550;
Campi vettoriali come derivazioni: Lee, Prop. 3.2, pag.53-54, Prop.8.15, pag.181;
Teorema di Frobenius locale: Abate-Tovena, Prop. 3.7.8, pag.175, Teor.3.7.11, pag.176;
Applicazione del teorema di Frobenius: Abate-Tovena, Teorema 3.8.1, pag.181;
Orientabilita' e forme di volume: Abate-Tovena, Prop. 4.2.10;
Teorema di Stokes: Abate-Tovena, Teorema 4.5.12, pag.231-33;
Teorema del punto fisso di Brower: Arosio, Prop.30.1.8, Cor. 30.1.9, pag.132-33;
Pettinabilita' delle sfere: Arosio, Teor.30.4.2, pag.136.




DIARIO DELLE LEZIONI


Le registrazioni delle lezioni rimarranno disponibili nella cartella "FILES" del canale "LEZIONI", all'interno della classe TEAMS del corso.

PRIMA SETTIMANA (4-5-7 ottobre):

• (4/10) Varieta' topologiche. Osservazioni sugli assiomi di definizione. Atlanti di carte coordinate. Varieta' differenziabili. Funzioni differenziabili su varieta' differenziabili. Esempi: Rⁿ, aperti di Rⁿ, aperti di una varieta' differenziabile, il gruppo lineare GL(n,R), sfere (due atlanti distinti di carte compatibili lisce sulle sfere).
• (5/10) Strutture differenziabili su una varieta' (atlanti massimali di carte compatibili lisce). Strutture differenziabili non equivalenti, ma diffeomorfe, su R. Strutture differenziali esotiche sulle sfere (cenni). Il teorema dei valori regolari per funzioni da R^n+m ad R^m.
  
• (7/10) Esempi di varieta' in forma implicita: SL(n,R), SL(n,C), gruppi ortogonali e unitari. Gli spazi proiettivi reali. La grassmanniana G(k,n) dei sottospazi di dimensione k di uno spazio vettoriale reale di dimensione n: il candidato atlante coordinato (continua).
  
  • J. Lee, Topological manifolds, pag. 1-7, Smooth structures, pag. 10-21.
  • Abate -Tovena, Varieta', pag. 59-73.
  • Abate-Tovena, Teorema dei valori regolari, Prop. 2.1.38, pag. 73-75.
  • etc...etc...



SECONDA SETTIMANA (11-12-14 ottobre):

• (11/10) Completamento della costruzione di una struttura differenziabile sulla grassmanniana G(k,n).
• (12/10) Proprieta' topologiche delle varieta' topologiche e differenziabili: locale compattezza, locale connessione per archi, etc.. Esistenza di un raffinamento numerabile, localmente finito, fatto di palle coordinate regolari di un arbitrario ricoprimento aperto di una varieta'.
• (14/10) Partizioni dell'unita': esistenza di una partizione dell'unita' subordinata ad un arbitrario ricoprimento aperto di una varieta'. Applicazioni dell'esistenza di partizioni dell'unita': esistenza di "bump functions" lisce. Discussione di qualche esercizio del foglio 1.
  
  • Lo spazio proiettivo reale e la Grassmanniana pdf
  • Lee, pag.7-9.
  • Arosio, pag. 20-24.
  • Lee, pag.40-45, fino Prop. 2.25.



TERZA SETTIMANA (18-19-21 ottobre):

• (18/10) Applicazioni dell'esistenza di partizioni dell'unita': Lemma di estensione per funzioni lisce. Derivazioni di un'algebra. Lo spazio tangente T_aRⁿ come spazio delle derivazioni dell'algebra delle funzioni lisce su Rⁿ, valutate nel punto a. L'isomorfismo T_aRⁿ ≃ Rⁿ.
• (19/10) Lo spazio tangente T_aM come spazio delle derivazioni dell'algebra delle funzioni lisce su M, valutate nel punto a. Il differenziale in un punto di una applicazione liscia fra varieta' differenziabili. Proprieta' del differenziale.
• (21/10) Lo spazio tangente ad un aperto di una varieta'. La dimensione dello spazio tangente T_aM. Calcoli in coordinate locali. Esempi dagli esercizi del foglio 2.
  
  • Lee, Prop. 2.26, pag.45.
  • Lee, Cap.3, pag.50-63 (eccetto le varieta' con bordo e le varieta' prodotto).
  • Lee, Cap.3, pag.68-70.



QUARTA SETTIMANA (25-26-28 ottobre):

• (25/10) L'algebra dei germi delle funzioni lisce in un punto F_a e T_aM come spazio delle derivazioni dell'algebra F_a. Il fibrato tangente TM. Cenni ai fibrati vettoriali.
• (26/10) Mappe di rango costante: immersioni, embedding, sommersioni, casi intermedi. Modelli locali lineari delle immersioni. Esempi.
• (27/10) Modelli locali lineari delle sommersioni. Conseguenze: una sommersione e' aperta, una sommersione ammette sezioni locali. Esempi. Modelli locali lineari dei casi intermedi.
  
  • Lee, Cap.3, pag.65-72.
  • Lee, Cap.10, pag.249-250.
  • Arosio, pag. 54-59.



QUINTA SETTIMANA (2-4 novembre):

• (1/11) FESTIVO
• (2/11) Teorema del rango globale. Proprieta' universale delle sommersioni. Applicazioni. Sottovarieta' di una varieta' differenziabile: caratterizzazioni delle sottovarieta' come immagini di un embedding.
• (4/11) Sottovarieta' immerse. Esempi e controesempi. Proprieta' universale delle immersioni, principio di restrizione del dominio e del codominio. Applicazioni.
  • Arosio, pag. 60-68 (fino a Prop.12.5.2).



SESTA SETTIMANA (8-9-11 novembre):

• (8/11) Insiemi di misura nulla. Teorema di Sard (senza dimostrazione). Teorema di embedding di Whitney per varieta' compatte.
• (9/11) Rivestimenti: definizione, esempi, sollevamento di cammini, unicita' del sollevamento. La fibra di un rivestimento ha cardinalita' costante. Un rivestimento di uno spazio di Hausdorff e' di Hausdorff.
• (11/11) Sollevamento di omotopie. I rivestimenti di una varieta' differenziabile ammettono un'unica struttura differenziabile per cui la proiezione e' liscia.
  • Abate-Tovena, pag.109-110.
  • Lee, Cap.6, pag.125-129 (enunciati).
  • Lee, Cap.6, pag.131-134 (no Lemma 6.14, Teorema 6.15 solo caso compatto).
  • Massey, Cap.5: Lemma 3.1, Lemma 3.2, Lemma 3.3 (senza dimostrazione), Lemma 3.4, pag.123-125.
  • Lee, Cap.4, Prop.4.40, pag.92-94.



SETTIMA SETTIMANA (15-16-18 novembre):

• (15/11) L'omomorfismo indotto dalla proiezione e' iniettivo: il gruppo fondamentale di un rivestimento si identifica con un sottogruppo del gruppo fondamentale dello spazio. Rivestimenti e classi di coniugio di sottogruppi del gruppo fondamentale di uno spazio. Criterio per il sollevamento di mappe arbitrarie ad un rivestimento.
• (16/11) Omomorfismi, isomorfismi e automorfismi di rivestimenti. Esistenza del rivestimento universale di una varieta' differenziabile (senza dimostrazione). Il rivestimento universale riveste ogni altro rivestimento. Gli automorfismi di rivestimento operano senza punti fissi. Caratterizzazione degli elementi di una fibra che stanno nella stessa orbita degli automorfismi di rivestimento. Campi vettoriali grezzi, campi vettoriali lisci. Campi vettoriali tangenti ad una sottovarieta'. Esempi.
• (18/11) I campi vettoriali come derivazioni dell'algebra delle funzioni differenziabili su una varieta'. Campi vettoriali correlati, push-forward di una campo vettoriale. Lie-brackets di campi vettoriali: definizione e proprieta'. Espressione in coordinate locali.
  • Massey, Cap.5: Teorema 4.1, Teorema 4.2, Teorema 5.1, pag.126-129.
  • Massey, Cap.5: Corollario 6.2, Lemma 6.3, Corollario 6.4, Teorema 6.6, Lemma 6.7 (enunciato), pag.130-131.
  • Lee, Cap. 8, pag.174-175.
  • Lee, Cap. 8, pag.180-181.



OTTAVA SETTIMANA (22-23-25 novembre):

• (22/11) Campi vettoriali e curve integrali. Esempi di flussi di campi vettoriali su R². Teorema del flusso (continua).
• (23/11) Teorema del flusso (conclusione). Campi vettoriali completi. I campi vettoriali su una varieta' compatta sono completi. Curve integrali uscenti da punti singolari di un campo vettoriale. Campi vettoriali correlati.
• (25/11) Distribuzioni. Esempi. Distribuzioni involutive. Distribuzioni integrabili e sottovarieta' integrali. Una distribuzione integrabile e' involutiva.
  • Abate-Tovena, Sez. 3.3, pag. 152-158 (fino a Prop.3.4.2).
  • Abate-Tovena, Sez. 3.4, pag. 160.
  • Abate-Tovena, Sez. 3.7, pag. 171-177.



NONA SETTIMANA (29 novembre, 2-3 dicembre):

• (29/11) Distribuzioni completamente integrabili. "Straightening" di un campo vettoriale intorno ad un punto regolare. "Straightening simultaneo" di k campi vettoriali (cenni). Teorema di Frobenius: una distribuzione e' integrabile se e solo se e' involutiva.
• (2/12) Teorema di Frobenius globale e foliazioni (cenni). Gruppi di Lie. Omomorfismi fra gruppi di Lie. Esempi. Il rivestimento universale di un gruppo di Lie G ammette un prodotto per cui e' un gruppo di Lie e la proiezione e' un omomorfismo di gruppi di Lie.
• (3/12) Sottogruppi di Lie di un gruppo di Lie. Esempi. Azione di un gruppo di Lie su una varieta': sottogruppo di isotropia e orbita di un punto. La partizione della varieta' in orbite, lo spazio delle orbite, la proiezione sullo spazio delle orbite. Azioni transitive. L'esempio della sfera sotto l'azione del gruppo ortogonale. Azioni lineari (rappresentazioni): esempi.
  • Abate-Tovena, Sez. 3.7, pag. 177-180 (cenni).
  • Abate-Tovena, Sez. 2.5, pag. 96-101 (fino a Teorema 2.6.15, senza dimostrazione).



DECIMA SETTIMANA (6-9-10 dicembre):

• (6/12) Azioni libere, proprie. Lo spazio delle orbite di una azione libera e propria ammette un'unica struttura differenziabile, compatibile con la topologia quoziente, per cui la proiezione al quoziente e' una sommersione suriettiva (senza dimostrazione). Conseguenze: il quoziente G/H di un gruppo di Lie G per un suo sottogruppo chiuso H ha un'unica struttura differenziabile per la quale la proiezione al quoziente e' una sommersione suriettiva; una varieta' G-omogenea M e' diffeomorfa in modo equivariante ad un quoziente G/H, dove H e' il sottogruppo di isotropia di un punto di M. Teorema del rango equivariante. Le orbite di un'azione su una varieta' sono sottovarieta' immerse.
• (9/12) Rivestimenti e azioni di gruppi di Lie discreti.
• (10/12) L'algebra di Lie di un gruppo di Lie. Omomorfismi di algebre di Lie indotti da omomorfismi di gruppi di Lie. La sottoalgebra di Lie di un sottogruppo di un gruppo di Lie. Un'applicazione del teorema di Frobenius: dalle algebre di Lie ai gruppi di Lie.
  • Abate-Tovena, Sez. 2.5, pag. 96-101 (fino a Teorema 2.6.15, senza dimostrazione).
  • Lee, pag. 161-164.
  • Lee, Lemma 21.11 (senza dimostrazione), Thm. 21.12, Thm. 21.13, pag.548-550.
  • Lee, Thm. 21.17, Thm. 21.18, pag. 551-553.
  • Lee, Prop. 8.33, Thm. 8.37, Cor. 8.38, pag.189-192.
  • Abate-Tovena, Sez. 3.5, pag. 160-162.
  • Abate-Tovena, Teor. 3.8.1, pag. 181.



UNDICESIMA SETTIMANA (13-14-16 dicembre):

• (13/12) Prodotto tensore di spazi vettoriali. Proprieta' universale del prodotto tensore. Identificazione del k-prodotto tensore di V^*, il duale di uno spazio vettoriale V, con le applicazioni multilineari L(Vx...xV, R). L'algebra tensoriale T(V^*). I k-tensori simmetrici, i k-tensori antisimmetrici e i rispettivi proiettori.
• (14/12) L'algebra esterna. Associativita' del prodotto esterno.
• (16/12) Fibrati vettoriali e funzioni di transizione. Sottofibrati. Il fibrato tangente, il fibrato cotangente, i fibrati dei k-tensori e delle k-forme.
  • Arosio, Lez.22, pag. 94-98; Lez. 24, pag. 100-106.
  • Abate-Tovena, Prop.1.4.15, pag. 27-28.
  • Abate-Tovena, sez. 3.1, pag. 133-146.



DODICESIMA SETTIMANA (20-21 dicembre):

• (20/12) L'algebra delle forme differenziali. Pull-back di forme differenziali. Il differenziale esterno: proprieta' che lo caratterizzano, esistenza e unicita'.
• (21/12) Esempio: forme differenziali e differenziale esterno in R³. I gruppi di coomologia di De Rham. Significato topologico dei gruppi H⁰(M, R) e H¹(M, R). Esempio: il gruppo H¹(R²-{0}, R) non e' nullo. Cenni ai gruppi di coomologia del punto, degli aperti stellati (Lemma di Poincare'), delle sfere (applicazione: solo le sfere S⁰, S¹, S³ ammettono una struttura di gruppo di Lie). Cenni all'invarianza omotopica dei gruppi di coomologia,
  • Abate-Tovena, Cap. 4, sez. 4.1,pag. 208-210; sez. 4.4, pag.222-227.
  • Arosio, pag. 115.
  • Panoramica sulla coomologia di De Rham pdf



TREDICESIMA SETTIMANA (10-11-13 gennaio):

• (10/1) Atlanti orientati su una varieta'. Varieta' orientabili. Una varieta' e' orientabile se e solo se ammette una forma di volume. Varieta' differenziabili con bordo. Orientazione indotta sul bordo di una variata' orientata, a seconda che la dimensione di M sia pari o dispari. Esempi di varieta' orientabili. Ipersuperfici orientabili. Una forma di volume sulla sfera.
• (11/1) Integrazione di forme differenziali su varieta'. Il teorema di Stokes.
• (13/1) Conseguenze del Teorema di Stokes. Applicazioni, fra cui: teorema del punto fisso di Brower, pettinabilita' delle sfere.
  • Abate-Tovena, pag.211-214; Arosio, pag.120-21.
  • Abate-Tovena, Sez. 4.5, pag. 227-233.
  • Arosio, pag. 132-136 (la sezione sull'invarianza omotopica: solo enunciati).