Laurea Magistrale in Matematica
a.a. 2020-21, semestre 1.
Introduzione alle varieta' differenziabili
Diario delle lezioni

LINEE GUIDA PER L'ESAME

Il programma d'esame consiste nel materiale svolto in classe, come specificato nel diario delle lezioni qui sotto. Gli esempi e gli esercizi fanno parte integrante del programma.
Dimostrazioni scelte:
Esistenza di una partizione dell'unita' subordinata ad un ricoprimento arbitrario: Arosio, Teor. 4.2.11, pag. 23-24;
Applicazioni dell'esistenza di partizioni dell'unita': J. Lee, Prop. 2.25 e Lemma 2.26, pag. 44-45;
Teorema del rango: Arosio, Teor. 10.3.5, pag.57-58;
Teorema del rango globale: Arosio, Teor. 12.1.1, pag.65;
Insiemi di livello: Arosio, Teor. 12.3.3, Cor. 12.3.5, pag.66-67;
Proprieta' universale delle sommersioni e delle immersioni: Arosio, Prop.11.1.2 e Prop.11.7, pag.60-61;
Teorema di embedding di Whitney per varieta' compatte: Lee, Lemma 6.13, pag.132, Teor. 6.15 (caso compatto), pag.134;
Rivestimenti lisci: Abate-Tovena, Prop.2.2.19, pag.79-80;
Rivestimento universale di un gruppo di Lie: Abate-Tovena, Prop. 2.5.13, pag.97-98;
Quoziente di un gruppo di Lie per un suo sottogruppo chiuso: Lee, Teor. 21.17, Teor. 21.18, pag.551-553;
Rivestimenti e azioni di gruppi di Lie discreti: Lee, Prop. 7.23, pag.163-164, Prop.21.12, Teor. 21.13, pag. 549-550;

Campi vettoriali come derivazioni: Lee, Prop. 3.2, pag.53-54, Prop.8.15, pag.181;
Teorema di Frobenius locale: Abate-Tovena, Teor.3.7.11, pag.176;
Applicazione del teorema di Frobenius: Abate-Tovena, Teorema 3.8.1, pag.181;
Orientabilita' e forme di volume: Abate-Tovena, Prop. 4.2.10;
Orientabilita' degli spazi proiettivi: Abate-Tovena, Esempio 4.2.16, pag. 215-16;
Teorema di Stokes: Abate-Tovena, Teorema 4.5.12, pag.231-33;
Teorema del punto fisso di Brower: Arosio, Prop.30.1.8, Cor. 30.1.9, pag.132-33;
Pettinabilita' delle sfere: Arosio, Teor.30.4.2, pag.136.




PRIMA SETTIMANA (7-8-9 ottobre):

• Varieta' topologiche e varieta' differenziabili di dimensione n. Strutture differenziabili come atlanti massimali di carte coordinate compatibili lisce. Funzioni differenziabili su una varieta'. Primi esempi di varieta': Rⁿ, aperti in Rⁿ, il gruppo lineare GL(n,R), sfere (due atlanti distinti ed equivalenti sulle sfere), spazi proiettivi reali.
• J. Lee, Topological manifolds, pag. 1-7, Smooth structures, pag. 10-21.
• Abate -Tovena, pag. 59-71.
  
  
• Il teorema dei valori regolari per funzioni da R^n+m ad R ^m. Altri esempi di varieta': grafici di funzioni, il gruppo ortogonale O(n) e il gruppo ortogonale speciale SO(n).
• Abate-Tovena, Prop. 2.1.38, pag. 73-75.
  
  
• Proprieta' topologiche delle varieta': locale compattezza, locale connessione per archi, etc.. Conseguenze della condizione a base numerabile : esistenza di una base numerabile di palle coordinate regolari, esistenza di una partizione dell'unita' subordinata ad un ricoprimento arbitrario (a partire dall'esistenza di un suo raffinamento numerabile, localmente finito, regolare).
• J.Lee, pag. 7-9.
• Arosio, Teor. 4.2.11, pag. 23-24.
  
  

  SECONDA SETTIMANA (14-15-16 ottobre):

• Varieta' topologiche a base numerabile: dimostrazione che ogni ricoprimento ammette un raffinamento numerabile, localmente finito, regolare.
• Arosio, Prop. 4.2.7, pag. 22.
• Applicazioni dell'esistenza di partizioni dell'unita'.
• J. Lee, Prop. 2.25 e Lemma 2.26, pag. 44-45.
  
  
• Applicazioni differenziabili fra varieta' differenziabili. Strutture differenziabili distinte ma diffeomorfe su una stessa varieta'.
• J. Lee, pag. 33-39.
  
  
• Lo spazio tangente ad una varieta' M in un punto e il differenziale di un'applicazione fra varieta' differenziabili M ed N: l'esempio M=R^m ed N=Rⁿ.
• J. Lee, pag. 50-54.
  
  
• L'algebra dei germi delle funzioni differenziabili in un punto su una varieta' (continua).
• Arosio, pag. 26-27.
  
• Discussione degli Esercizi 1.
  
  

  TERZA SETTIMANA (21-22-23 ottobre):

• Lo spazio tangente ad una varieta' M in un punto e il differenziale di un'applicazione fra varieta' differenziabili M ed N: il caso generale.
• Abate-Tovena, sezione 2.3, pag. 80-89.
  
  
• 22 ottobre: lezione da recuperare.
  
  
• Immersioni, embedding, sommersioni (continua). Esempi. Discussione degli Esercizi 2.
• Abate-Tovena, sez. 2.4, pag.90.
  
  

  QUARTA SETTIMANA (28-29-30 ottobre):

• Mappe di rango costante tra varieta' differenziabili: comportamento locale.
• Arosio, pag. 54-59.
  
  
• Teorema del rango globale. Proprieta' universale delle sommersioni.
• Arosio, pag. 65 e pag. 60.
• Sottovarieta' (embedded) e sottovarieta' immerse (continua).
• Arosio, pag. 62-63.
  
  
• Rivestimenti lisci. Discussione degli Esercizi 3.
• Abate-Tovena, Prop. 2.2.19, pag.79-80.
  
  

  QUINTA SETTIMANA (4-5-6 novembre):

• Esempi di sottovarieta' (embedded): insiemi di livello di valori regolari di applicazioni lisce fra varieta', insiemi di livello di applicazioni di rango costante. Condizioni affinche' una immersione iniettiva sia un embedding. Esempi di varieta' immerse ma non embedded: la figura a 8, una curva densa sul toro bidimensionale. Proprieta' universale delle immersioni. Restrizione del dominio e del codominio. Esempi.
• Arosio, pag. 66-67, pag. 61.
  
  
• Esistenza di funzioni di definizione locali per sottovarieta'. Lo spazio tangente in un punto ad una sottovarieta' (embedded).
• Arosio, pag. 67-68
• Insiemi di misura nulla (cenni) e Teorema di Sard (solo enunciato).
• Lee, pag. 125-129 (enunciati).
• Il teorema dell'embedding di Whitney: ogni varieta' differenziabile di dimensione m ammette un embedding proprio in R^2m+1 (dimostrazione nel caso compatto).
• Lee, Lemma 6.13, pag. 132; Teorema 6.15 (caso compatto), pag. 134.
  
  
• Il teorema dell'immersione di Whitney: ogni varieta' differenziabile di dimensione m ammette un' immersione in R^2m (enunciato). I teoremi "forti" di Whitney e alcuni risultati successivi collegati (enunciati ed esempi). Discussione di alcuni degli Esercizi 4.
• Lee, Teoremi 6.18, 6.19, 6.20 (solo enunciati), pag. 135-136.
• H. Whitney, Differentiable manifolds, Ann. of Math., Vol. 37 (1936), pp. 645-680. pdf
  
  

  SESTA SETTIMANA (11-12-13 novembre):

• Gruppi di Lie, omomorfismi fra gruppi di Lie, sottogruppi di Lie. Il rivestimento universale di un gruppo di Lie G ammette un prodotto per la quale la proiezione e' un omomorfismo di gruppi di Lie.
• Azione di un gruppo di Lie su una varieta': sottogruppo di isotropia e orbita di un punto. La partizione della varieta' in orbite determinata dall'azione. La proiezione al quoziente sullo spazio delle orbite. Azioni: fedeli, libere, transitive, proprie. Rapprentazioni di un gruppo di Lie.
• Lo spazio delle orbite di una azione libera e proria ammette un'unica struttura differenziabile per cui la proiezione al quoziente e' una sommersione suriettiva (dimostrazione da concludere).
• Abate-Tovena, pag.96-104.
  
  
• Conseguenze: il quoziente G/H di un gruppo di Lie G per un suo sottogruppo chiuso H ha un'unica struttura differenziabile per la quale la prioiezione al quoziente e' una sommersione suriettiva; una varieta' G-omogenea M e' diffeomorfa in modo equivariante ad un quoziente G/H, dove H e' il sottogruppo di isotropia di un punto di M.
• Lee, Thm.21.17, Thm. 21.18, pag.551-553.
  
  

  SETTIMA SETTIMANA (18-19-20 novembre):

• Fine della dimostrazione del teorema sul quoziente di gruppi di Lie.
• Rivestimenti e azioni di gruppi di Lie discreti.
• Lee, Prop. 7.23, pag.163-164, (Lemma 21.11 senza dimostrazione), Prop. 21.12 e Thm. 21.13, pag.549-550.
  
  
• Il fibrato tangente di una varieta' differenziabile: costruzione della struttura differenziabile (usando Lee, Lemma 1.35, pag. 21). Il fibrato tangente come esempio di fibrato vettoriale.
• Campi vettoriali grezzi e campi vettoriali lisci su una varieta'.
• Lee, Prop.8.1, pag. 174-175.
  
  
• I campi vettoriali come derivazioni dell'algebra delle funzioni differenziabili su una varieta'.
• Lee, Prop.8.14 (senza dimostrazione), Prop. 8.15, pag.181.
  
  
• Campi vettoriali correlati, push-forward di una campo vettoriale. Lie-brackets di campi vettoriali: definizione e proprieta'. Espressione in coordinate locali.
• Lee, Prop. 8.19, pag.183; Lemma 8.25, Prop. 8.26, pag. 186-188.
  
  

  OTTAVA SETTIMANA (25-26-27 novembre):

• Flussi di campi vettoriali. Teorema del flusso. Campi vettoriali completi. Derivata di Lie di un campo vettoriale rispetto ad un altro.
• Abate-Tovena, Sez.3.3, pag. 152-158.
  
  
• L'algebra di Lie di un gruppo di Lie.
• Lee, Prop.8.33, Thm. 8.37, Cor. 8.38, pag. 189-192.
• Discussione degli Esercizi 7.
  
  

  NONA SETTIMANA (3-4-5 dicembre):

• Omomorfismi di algebre di Lie indotti da omomorfismi di gruppi di Lie. La sottoalgebra di Lie di un sottogruppo di un gruppo di Lie.
• Lee, Thm. 8.44, Prop.8.45, Thm. 8.46, pag. 195-197.
  
  
• "Straightening" di un campo vettoriale intorno ad un punto regolare. La derivata di Lie di un campo vettoriale rispetto ad un altro coincide col bracket. "Straightening simultaneo" di k campi vettoriali (cenni).
• Distribuzioni. Sottovarieta' integrali di una distribuzione. Una distribuzione liscia integrabile e' involutiva. Carte piatte per una distribuzione e distribuzioni completamente integrabili. Teorema di Frobenius locale: una distribuzione liscia involutiva e' completamente integrabile, ed in particolare e' integrabile. Cenni alle foliazioni.
• Abate-Tovena, Sez.3.7, pag. 171-177.
• Discussione degli Esercizi 8.
  
  

  DECIMA SETTIMANA (9-10-11 dicembre):

• Prodotto tensore di spazi vettoriali. Proprieta' universale del prodotto tensore. Identificazione del k-prodotto tensore di V^*, il duale di uno spazio vettoriale V, con le applicazioni multilineari L(Vx...xV, R). L'algebra tensoriale T(V^*). I k-tensori simmetrici, i k-tensori antisimmetrici e i rispettivi proiettori. L'algebra esterna.
• Arosio, Lez.22, pag. 94-98; Lez. 24, pag.101-107.
  
  
• Associativita' del prodotto esterno.
• Abate-Tovena, Prop.1.4.15, pag.27-28.
  
  
• Fibrati vettoriali e funzioni di transizione. Il fibrato tangente, il fibrato cotangente, i fibrati dei k-tensori e delle k-forme. Discussione degli Esercizi 9.
• Abate-Tovena, sez. 3.1, pag. 131-141.
  
  

  UNDICESIMA SETTIMANA (16-17-18 dicembre):

• Forme differenziali: operazioni sulle forme differenziali (prodotto esterno, pull-back). Il differenziale esterno. Il caso di R³. I gruppi di coomologia di De Rham.
• Abate-Tovena, Cap. 4, sez. 4.1,pag. 208-210; sez. 4.4, pag.222-227.
  
  
• Un'applicazione del teorema di Frobenius: dalle algebre di Lie ai gruppi di Lie. Discussione degli Esercizi 10.
• Abate-Tovena, Teor. 3.8.1, pag. 181.
  
  

  DODICESIMA SETTIMANA (7-8 gennaio 2021):

• Atlanti orientati su una varieta'. Varieta' orientabili. Una varieta' e' orientabile se e solo se ammette una forma di volume. Esempi di varieta' orientabili. Ipersuferfici orientabili. Una forma di volume sulla sfera.
• Abate-Tovena, pag.211-214; Arosio, pag.120.
  
  
• Lo spazio proiettivo reale RPⁿ e' orientabile se e solo se n dispari.
• Abate-Tovena, Esempio 4.2.16, pag. 215-16; Prop. 4.2.19 e Cor.4.2.20 (solo enunciati).
• Varieta' differenziabili con bordo. Atlanti orientati su una varieta' e sul bordo. Orientazione indotta sul bordo di unan variata' orientata, a seconda che la dimensione di M sia pari o dispari.
• Abate-Tovena, Sez. 4.5, pag. 227-230.
  
  

  TREDICESIMA SETTIMANA (13-14 gennaio 2021):

• Integrazione di forme differenziali su varieta'. Il teorema di Stokes.
• Abate-Tovena, Sez. 4.3, pag. 218-221, Teor.4.5.12, pag.231-233.
  
  
• Conseguenze del Teorema di Stokes; applicazioni fra cui: teorema del punto fisso di Brower, Lemma di Poincare', pettinabilita' delle sfere.
• Arosio, pag. 132-136 (la sezione sull'invarianza omotopica: solo enunciati).