Corso di Laurea in Informatica
a.a 2024-2025 - secondo semestre

Diario delle lezioni del corso - da 6 CFU - di

GEOMETRIA ed ALGEBRA

(elencate in ordine cronologico inverso)

DOCENTE:   Fabio Gavarini

ORARIO delle LEZIONI (inizio 5 Marzo 2025)

Mercoledì h. 10:00-12:00 (aula 3 PP2)   -   Giovedì h. 14:00-16:00 (aula 3 PP2)

Tutore:   Elisa Scattone

Orario del tutorato - prima volta: Martedì 25 Marzo, h. 14:00-16:00, aula T7
a seguire (dall'1 Aprile): Martedì h. 11:00-13:00, aula 13

PROGRAMMA provvisorio
(il programma definitivo sarà postato alla fine del corso)



BIBLIOGRAFIA:

[A] - Marco Abate, Algebra lineare, McGraw-Hill Libri Italia srl, Milano, 2000
oppure
[AD] - Marco Abate, Chiara De Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, McGraw-Hill Libri Italia srl, Milano, 2006

(( N.B.: esistono innumerevoli altri libri, o dispense universitarie, che possono andar bene come supporto - totale o parziale - allo studio del programma trattato in questo corso; in ogni caso, i testi qui indicati saranno quelli a cui il docente farà sempre riferimento, e ai quali si rifanno le indicazioni bibliografiche citate nel presente diario - tra i due, il primo è più corto ma comunque sufficiente - il secondo tratta anche materiale al di là del programma di questo corso ))

Materiale didattico vario relativo al corso

Esercizi di Algebra Lineare (C. Carrara)   -   disponibile on-line


                * * *                 * * *                 * * *                

  QUATTORDICESIMA LEZIONE - 24 Aprile 2025:
    Il rango di una matrice A, definito come rg(A) := rg(T_A) . Il rango di una matrice è il massimo numero di sue colonne tra loro linearmente indipendenti.
    Proposizione: Se A è una matrice di forma l × n , allora rg(A) ≤ min(l,n) .
    Teorema della Dimensione: Se T è una funzione lineare da V a W, allora   dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V) ,   o   dim(Ker(T)) + rg(T) = dim(V) .
    Corollario: Se T è una funzione lineare da V a W, allora
        (1)   T è suriettiva ⇔ rg(T) = dim(W) ;
        (2)   T è iniettiva ⇔ rg(T) = dim(V) ;
        (3)   se   dim(V) = dim(W) ,   allora   T è suriettiva ⇔ T è biiettiva ⇔ T è iniettiva.
    Teorema di Struttura:   (N.B.: la parte (2) è applicazione diretta della parte (1) al caso particolare   V := Kⁿ, W := K^l, T := L_A , w₀ := b , v₀ := α )
        (1) Sia T una funzione lineare da V a W, sia   w₀ ∈ W e v₀ ∈ T  ^-1(w₀) .   Allora   T  ^-1(w₀) = v₀ + Ker(T) .
        (2) Sia A una matrice l×n a coefficienti in K, sia b ∈ K^l e α ∈ Kⁿ tale che Aα = b .   Allora
                  { soluzioni del sistema ⊛: Ax = b }   =   α + { soluzioni del sistema omogeneo (associato) ⊛₀: Ax = 0 } .
    Teorema di Rouché-Capelli: Un sistema lineare Ax = b ha soluzioni ⇔ rg(A) = rg(A|b) .   Inoltre, una tale soluzione (se esiste) è unica ⇔ rg(A) è uguale al numero di incognite del sistema.
    Matrici a scala e loro pivot; sistemi lineari a scala.
    Lemma: Sia S una matrice a scala, r il numero dei suoi pivot, S ^j₁ , ... , S ^j_r le colonne in cui stanno tali pivot. Allora
        (1) {S ^j₁ , ... , S ^j_r} è base di Im(S) ,     (2) rg(S) = r ,     (3) Im(S) = { y ∈ K^l | y_r+1 = ... = y_l = 0 } .
        Bibliografia:   [A] Capitolo 5, paragrafi 1-2; Capitolo 6, paragrafo 1 / [AD] Capitolo 5, paragrafi 1-2; Capitolo 6, paragrafo 1

  TREDICESIMA LEZIONE - 23 Aprile 2025:
    La funzione lineare T_A da uno spazio V di dimensione n ad uno spazio W di dimensione l - in termini di basi fissate in V e in W - associata ad una matrice A di forma l×n a coefficienti in K.
    La matrice A_T di forma l×n a coefficienti in K associata ad una funzione lineare T da uno spazio V di dimensione n ad uno spazio W di dimensione l - in termini di basi fissate in V e in W.
    Teorema: Le funzioni M_l,n(K) ⟶ Hom_K(V,W) , A ↦ T_A ,   e   Hom_K(V,W) ⟶ M_l,n(K) , T ↦ A_T ,   sono isomorfismi di spazi vettoriali, inversi l'uno dell'altro. In particolare, gli spazi vettoriali Hom_K(V,W) e M_l,n(K) sono isomorfi l'uno all'altro.
    L'immagine   Im(T) := T(V)   e il nucleo   Ker(T) := T  ^-1(0_W)   di una funzione lineare T da V a W.
    Proposizione: Se T è una funzione lineare da V a W, allora
      (a)   Im(T) è sottospazio vettoriale di W ,
      (b)   Ker(T) è sottospazio vettoriale di V ,
      (c)   T è suriettiva   ⇔   Im(T) = W ,
      (d)   T è iniettiva   ⇔   Ker(T) = {0_V} .
    Lemma: Se T è una funzione lineare da V a W, e V è generato dai vettori g₁ , ... , g_n , allora Im(T) è generato dai vettori T(g₁) , ... , T(g_n) .
    Il rango rg(T) di una funzione lineare T .
    Proposizione: Se T è una funzione lineare da V a W, con dim(V) = n e dim(W) = l , allora rg(T) ≤ min(l,n) .
        Bibliografia:   [A] Capitolo 5, paragrafi 1-2; Capitolo 7, paragrafo 1 / [AD] Capitolo 5, paragrafi 1-2; Capitolo 7, paragrafo 1

  DODICESIMA LEZIONE - 17 Aprile 2025:
    Applicazioni dell'E.G.: Un insieme di n vettori in Kⁿ è una base ⇔ la matrice quadrata che ha per colonne tali vettori è non singolare.
    Funzioni lineari (o "trasformazioni lineari", o "(omo)morfismi") tra spazi vettoriali; esempi, controesempi, proprietà elementari.
    La funzione σ_v1,...,vn (che produce le combinazioni lineari dei vettori v₁ , ... , v_n in V) è lineare. La funzione L_A da Kⁿ a K^l associata ad una matrice A di taglia l×n è lineare.
    Esercizio: l'insieme Hom_K(V,W) di tutte le funzioni lineari da V a W è sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale W^V di tutte le funzioni da V a W.
    Lemma: La composizione di funzioni lineari è a sua volta lineare.
    Isomorfismi tra spazi vettoriali; spazi vettoriali isomorfi.
    Lemma: L'applicazione inversa di un isomorfismo tra spazi vettoriali è a sua volta un isomorfismo.
    Proposizione: Esiste 1! funzione lineare da V a W che assuma valori prefissati (arbitrariamente) sui vettori di una base assegnata di V. In particolare, se due funzioni lineari da V a W coincidono su una base di V, allora esse sono uguali.
    Proposizione: Date due matrici A' e A" della stessa forma l×n, e dette L_A' e L_A" le corrispondenti funzioni lineari da Kⁿ a K^l, si ha   L_A' = L_A" ⇔ A' = A" .
        Bibliografia:   [A] Capitolo 5, paragrafo 1 / [AD] Capitolo 5, paragrafo 1

  UNDICESIMA LEZIONE - 16 Aprile 2025:
    L'Algoritmo di Eliminazione (o "di Triangolarizzazione") di Gauss (=E.G.) per matrici quadrate e per sistemi lineari quadrati.
    I pivot di una matrice quadrata. Matrici singolari, matrici non singolari.
    Proposizione: L'algoritmo di E.G. trasforma un sistema quadrato in uno triangolare (superiore/inferiore) equivalente.
    Teorema: Un sistema lineare quadrato ha una e una sola soluzione ⇔ i pivot della sua matrice dei coefficienti (comunque siano stati calcolati) sono tutti diversi da zero ⇔ la sua matrice dei coefficienti è non singolare.
    Sistemi lineari simultanei. Risoluzione di sistemi simultanei quadrati tramite l'algoritmo di E.G.: strategia, esempi espliciti.
        Bibliografia:   [A] Capitolo 3, paragrafo 3 / [AD] Capitolo 3, paragrafo 3

  DECIMA LEZIONE - 10 Aprile 2025:
    Sistemi di equazioni lineari: generalità, formalismo matriciale. Sistemi lineari equivalenti.
    Matrici quadrate, matrici triangolari (superiori o inferiori); sistemi quadrati, sistemi triangolari (superiori o inferiori). Esempi di risoluzione di un sistema triangolare.
    Proposizione: Per un sistema lineare triangolare, esiste una e una sola soluzione ⇔ i termini diagonali della matrice dei coefficienti sono tutti non nulli.
    Algoritmo generale di risoluzione di un sistema lineare triangolare.
    Operazioni elementari sui sistemi lineari (e sulle matrici).
    Proposizione: Ogni operazione elementare trasforma un sistema in un altro equivalente al primo.
    Corollario: Se da un sistema lineare se ne ottiene un altro tramite una successione finita di operazioni elementari e/o di permutazioni delle equazioni, il nuovo sistema così ottenuto è equivalente a quello iniziale.
        Bibliografia:   [A] Capitolo 3, paragrafi 1, 2, 3 / [AD] Capitolo 3, paragrafi 1, 2, 3

  NONA LEZIONE - 9 Aprile 2025:
    Teorema (del Completamento / di Scambio): Sia B = {v₁ , ... , v_n} una base di uno spazio vettoriale V, e sia L = {w₁ , ... , w_p} (con p ≤ n) un insieme di vettori linearmente indipendenti in V. Allora esistono vettori v_j1 , ... , v_jn-p in B tali che {w₁ , ... , w_p , ... , v_j1 , ... , v_jn-p} sia una base di V.
    Corollario (equicardinalità delle basi): Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi.
    Definizione: Se uno spazio vettoriale V ha una base (finita), si dice dimensione di V il numero di elementi di una sua qualunque base.
    Corollario: Sia dim(V) = n . Allora:
      (a)   se q vettori sono linearmente indipendenti, allora è necessariamente q ≤ n ;
      (b)   q qualsiansi vettori linearmente indipendenti di V formano una base di V   ⇔   q = n .
      (c)   se p vettori generano V , allora p ≥ n ;
      (d)   p qualsiansi vettori di V che generino tutto V formano una base di V   ⇔   p = n.
    Proposizione: In uno spazio vettoriale V di dimensione finita, per ogni sottospazio W si ha:
      (a)   W ha dimensione finita, con dim(W) ≤ dim(V) ;
      (b)   dim(W) = dim(V) ⇔ W = V .
        Bibliografia:   [A] Capitolo 4, paragrafo 4 / [AD] Capitolo 4, paragrafo 4

  OTTAVA LEZIONE - 3 Aprile 2025:
    Sottoinsiemi massimali di vettori linearmente indipendenti (in uno spazio vettoriale).
    Proposizione: Un insieme (finito) di vettori B di V è base ⇔ B è insieme massimale di vettori indipendenti in V.
    Sistemi minimali di generatori (di V).
    Esercizio (per casa): Un insieme (finito) di vettori B di V è base ⇔ B è sistema minimale di generatori di V.
    Lemma: Se Span(B) contiene un sistema di generatori di V, allora B stesso è a sua volta un sistema di generatori di V.
    Proposizione: Se A è un sistema finito di generatori di V e B è un sottoinsieme massimale in A di vettori linearmente indipendenti, allora B stesso è una base di V.
    Teorema (esistenza delle basi): Se V ha un sistema (finito) di generatori di V, allora esiste una base (finita) di V.
    Esercizi varî sulle combinazioni lineari e sulla (in)-dipendenza lineare di vettori in V := Kⁿ.
        Bibliografia:   [A] Capitolo 4, paragrafo 4 / [AD] Capitolo 4, paragrafo 4

  SETTIMA LEZIONE - 2 Aprile 2025:
    Dipendenza e indipendenza lineare di vettori in uno spazio vettoriale: definizione, casi speciali.
    Proposizione: I vettori v₁ , ... , v_n sono linearmente indipendenti ⇔ uno di tali vettori può essere espresso come combinazione lineare degli altri.
    Applicazione: Un sistema lineare omogeneo ha (almeno) una soluzione non banale ⇔ le colonne della matrice dei coefficienti sono linearmente dipendenti.
    Proposizione: I vettori v₁ , ... , v_n sono linearmente indipendenti ⇔ la funzione σ_v1,...,vn è iniettiva.
    Base (finita) di uno spazio vettoriale: definizione, esempi, controesempi. La base canonica in Kⁿ; la base "canonica" nello spazio k[x]_{≤ d} dei polinomi di grado al più d.
    Proposizione: I vettori v₁ , ... , v_n formano una base ⇔ la funzione σ_v1,...,vn è biiettiva.
    Coordinate di un vettore rispetto a una base fissata.
        Bibliografia:   [A] Capitolo 4, paragrafo 3 / [AD] Capitolo 4, paragrafo 3

  SESTA LEZIONE - 27 Marzo 2025:
    Combinazione lineare di n vettori in uno spazio vettoriale. L'applicazione σ_v1,...,vn da Kⁿ a V che associa a ogni stringa di scalari la combinazione lineare dei vettori v₁ , ... , v_n con coefficienti quegli stessi scalari.
    Lemma: L'insieme Span(v₁ , ... , v_n) di tutte le combinazioni lineari dei vettori v₁ , ... , v_n in V - cioè l'immagine della funzione σ_v1,...,vn - è un sottospazio vettoriale di V, detto "sottospazio generato da v₁ , ... , v_n".
    Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale V: i vettori v₁ , ... , v_n formano un sistema di generatori di V se Span(v₁ , ... , v_n) = V .
    Sistemi di equazioni lineari (o "sistemi lineari"); caso generale, caso omogeneo.
    Matrici; formalismo matriciale per sistemi di equazioni lineari.
    Fatti: (1) L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo in n incognite è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale Kⁿ.
            (2) Un sistema lineare ha soluzioni ⇔ la colonna dei termini noti del sistema appartiene al sottospazio generato dalle colonne della matrice dei coefficienti.
        Bibliografia:   [A] Capitolo 4, paragrafi 1-2 / [AD] Capitolo 4, paragrafi 1-2

  QUINTA LEZIONE - 26 Marzo 2025:
    I campi; definizione, esempi finiti, esempi infiniti, controesempi.
    Spazi vettoriali su un campo.
    Esempi di spazi vettoriali:
      (1) lo spazio V_O dei vettori applicati in un punto O (della retta, del piano o dello spazio);
      (2) ogni campo è spazio vettoriale su sé stesso;
      (3) se K è un campo, ogni prodotto cartesiano V := Kⁿ è spazio vettoriale su K rispetto alla somma componente per componente e al prodotto che moltiplica uno scalare per ciascuna componente di una n-pla;
      (4) lo spazio vettoriale V^E di tutte le funzioni da un insieme E a uno spazio vettoriale V;
      (5) lo spazio vettoriale K[x] dei polinomi in un a variabile x a coefficienti in un campo K.
    Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale.
    Osservazione: Ogni sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale V è a sua volta uno spazio vettoriale rispetto alla restrizione a W delle operazioni di V.
    Esempi e controesempi di sottospazi vettoriali:
      (1) le funzioni reali continue nell'intervallo reale (a,b) formano un sottospazio vettoriale C⁰(a,b) dello spazio vettoriale R^(a,b) di tutte le funzioni reali definite nell'intervallo (a,b);
      (2) le funzioni derivabili nell'intervallo (a,b) formano un sottospazio vettoriale dello spazio C⁰(a,b), e quindi anche dello spazio R^(a,b);
      (3) il sottoinsieme Inf(R) delle successioni infinitesime è un sottospazio vettoriale dell'insieme Conv(R) delle successioni convergenti, che a sua volta è un sottospazio dello spazio vettoriale R^N di tutte le successioni reali;
      (4) i sottospazi dei polinomi di grado limitato nello spazio vettoriale K[x];
      (5) l'insieme delle successioni divergenti non è un sottospazio vettoriale dello spazio R^N di tutte le successioni (reali);
      (6) l'insieme dei polinomi di grado fissato in K[x] non è un sottospazio vettoriale dello spazio K[x].
        Bibliografia:   [A] Capitolo 4, paragrafo 1 / [AD] Capitolo 4, paragrafo 1

  QUARTA LEZIONE - 20 Marzo 2025:
    Contenuto della lezione:
      Coordinate di un vettore e/o di un punto rispetto a un riferimento affine fissato.
      Trasformazione delle coordinate rispetto alle operazioni sui vettori: le operazioni tra vettori (addizione e moltiplicazione per uno scalare) corrispondono ad analoghe operazioni tra le coordinate dei vettori, con analoghe proprietà.
      Equazioni parametriche di una retta (nel piano o nello spazio) e di un piano (nello spazio).
      Esercizi varî su rette e piani nello spazio, svolti mediante l'uso di equazioni parametriche: questioni di intersezione, parallelismo, incidenza, inclusione, etc.
    Bibliografia:   [A] Capitolo 2, esercizi / [AD] Capitolo 2, esercizi

  TERZA LEZIONE - 19 Marzo 2025:
    Contenuto della lezione:
      Equazione vettoriale di una retta, nel piano o nello spazio; vettore direttore di una retta. Equazione vettoriale della retta per due punti distinti.
      Equazione vettoriale di un piano nello spazio; vettori di giacitura di un piano. Equazione vettoriale del piano per tre punti non allineati.
      Condizioni di parallelismo o incidenza tra due rette nel piano in termini di equazioni vettoriali. Condizioni di complanarità (parallelismo o incidenza) o di sghembità tra due rette nello spazio in termini di equazioni vettoriali.
      Condizioni di parallelismo, incidenza, o inclusione tra retta e piano (nello spazio euclideo) in termini di equazioni vettoriali.
    Bibliografia:   [A] Capitolo 2, paragrafi 2-3 / [AD] Capitolo 2, paragrafi 2-3

  SECONDA LEZIONE - 6 Marzo 2025:
    Contenuto della lezione:
      La moltiplicazione di un vettore applicato per un numero reale: definizione e proprietà fondamentali.
      Riferimenti affini (nella retta, nel piano e nello spazio): coordinate di un vettore - o di un punto - relative a un riferimento affine.
    Bibliografia:   [A] Capitolo 2, paragrafi 1-3 / [AD] Capitolo 2, paragrafi 1-3

  PRIMA LEZIONE - 5 Marzo 2025:
    Contenuto della lezione:
      Considerazioni generali sul corso, modalità d'esame, ecc.
      Richiami di geometria euclidea: punti, rette, piani, spazio. Inclusione, intersezione, parallelismo tra tali enti; rette complanari, rette sghembe.
      Vettori (orientati) applicati in un punto - nella retta, nel piano, nello spazio.
      L'operazione di somma tra vettori applicati, e sue proprietà fondamentali: l'insieme dei vettori orientati con la somma è un gruppo commutativo.
    Bibliografia:   [A] Capitolo 1 - Capitolo 2, paragrafo 1 / [AD] Capitolo 1 - Capitolo 2, paragrafo 1