Corso di Laurea Triennale in
Matematica
a.a 2019-2020 - primo semestre

Diario delle lezioni del corso - da 7 CFU - di

ALGEBRA 2

( elencate in ordine cronologico inverso )

DOCENTE:   Fabio Gavarini

ORARIO

Martedì 14:00-16:00   -   Giovedì 11:00-13:00   -   Venerdì 11:00-13:00

PROGRAMMA
(versione definitiva, dettagliata)



BIBLIOGRAFIA:
[AaVv] - Autori Varî, Materiale vario disponibile in rete   (per gentile concessione degli autori)
[Ar] - Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, Torino, 1997
[Ca1] - Giulio Campanella, Appunti di Algebra 1   (per gentile concessione dell'autore)
[Ca2] - Giulio Campanella, Appunti di Algebra 2   (per gentile concessione dell'autore)
[dR] - Marialuisa J. de Resmini, Appunti di Algebra [parziale!](M. J. de Resmini) [copia locale / copia in rete]   (per gentile concessione dei curatori)
[He] - Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti University Press, Roma, 2010
[La] - Serge Lang, Algebra, Graduate Texts in Mathematics Vol. 211, Springer Verlag, New York, 2002
[PC] - Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico, ed. Decibel/Zanichelli, Padova, 1996

  Materiale didattico vario (dispense, videolezioni, esercizi, compiti d'esame, ecc. ecc.) utile per questo corso  


                * * *                 * * *                 * * *                

TRENTANOVESIMA LEZIONE - 14 Gennaio 2020:
    Esercizi varî su:
      - azioni di gruppi, azioni per automorfismi,
      - gruppi diedrali, gruppi di permutazioni,
      - fattorizzazioni di gruppi in prodotto semidiretto,
      - ricerca di sottogruppi normali in un gruppo,
      - applicazioni dei Teoremi di Classificazione dei Gruppi Abeliani Finiti,
      - classificazione dei gruppi di un ordine assegnato.
    FINE del CORSO  

TRENTOTTESIMA LEZIONE - 13 Gennaio 2020:
    Esercizi varî su:
      - ordine di un elemento in un gruppo,
      - applicazioni del Teorema di Cayley,
      - p-gruppi, sottogruppi di Sylow,
      - applicazioni dei Teoremi di Sylow e del Teorema di Cauchy,
      - prodotti diretti, prodotti semidiretti,
      - gruppo degli automorfismi di un gruppo.

TRENTASETTESIMA LEZIONE - 10 Gennaio 2020:
    Esercizi varî su:
      - estensioni di campi, isomorfismi tra campi, estensioni ciclotomiche (cioè generate da una radice dell'unità),
      - ideali primi e ideali massimali in anelli commutativi unitari, e loro caratterizzazione tramite l'anello quoziente associato,
      - domini euclidei, domini a ideali principali, domini a fattorizzazione unica (=D.F.U.),
      - polinomi a coefficienti in un D.F.U.,
      - applicazioni del Teorema del Doppio Quoziente per anelli.

TRENTASEIESIMA LEZIONE - 9 Gennaio 2020:
    Applicazione: se F è un campo che contiene tutte le radici n-esime dell'unità, allora il gruppo di Galois di xⁿ - c su F è isomorfo ad un sottogruppo di Z_n , ed è ad esso isomorfo se xⁿ - c è irriducibile in F[x] .
    Esercizio: descrizione esplicita del gruppo di Galois su Q del polinomio x⁵ - q per un q ∈ Q tale che x⁵ - q sia irriducibile in Q[x] .
    FINE del PROGRAMMA (seguono soltanto esercitazioni e/o ripasso)
Bibliografia:   [Ca2] Cap. 5, par. 1, 5   -   [PC] Cap. 7, par. 2-4

TRENTACINQUESIMA LEZIONE - 7 Gennaio 2020:
    Il gruppo di Galois di un polinomio Se in un campo F il gruppo moltiplicativo F^*:= F \ {0} è ciclico, allora F è finito.
    Proposizione: Sia f un polinomio, e G_f   il suo gruppo di Galois.
            (a)   G_f   agisce fedelmente sulle radici del polinomio f ;
            (b)   l'azione di G_f sulle radici di f è transitiva   ⇔   il polinomio f è irriducibile.
    Teorema: Il campo C dei numeri complessi è algebricamente chiuso.
    Applicazione: il gruppo di Galois del polinomio xⁿ - 1 sul campo F è isomorfo ad un sottogruppo di U(Z_n), ed è isomorfo ad U(Z_n) se F = Q .
Bibliografia:   [Ca2] Cap. 5, par. 1, 5, 6   -   [PC] Cap. 7, par. 3-4

TRENTAQUATTRESIMA LEZIONE - 20 Dicembre 2019:
    Corollario:   F_p,h ⊆ F_p,k  ⇔  h divide k in N₊
    Esercizio: L'unione   ⋃_n∈N+ F_p,n   di tutti i campi finiti di caratteristica p è un campo infinito, ed è chiusura algebrica di ciascuno dei campi F_p,n .
    Teorema: In un campo finito F il gruppo moltiplicativo F^*:= F \ {0} è ciclico.
    Esercizio: Se in un campo F il gruppo moltiplicativo F^*:= F \ {0} è ciclico, allora F è finito.
    Teorema dell'Elemento Primitivo per campi finiti: Ogni estensione tra campi finiti è (algebrica) semplice.
    Corollario: Per ogni estensione F₊/F_- tra campi finiti si ha
            |G(F₊/F_-)|   ≤   |I(F₊/F_-)|   ≤   [F₊:F_-]
    L'automorfismo di Frobenius ϕ di un campo finito.
    Teorema: (a) Ogni campo finito è estensione di Galois del suo sottocampo fondamentale, con gruppo di Galois ciclico generato dall'automorfismo di Frobenius ϕ .
            (b) Ogni estensione tra campi finiti F₊/F_- è di Galois, con gruppo di Galois ciclico generato da ϕ^[F_-:F₀], dove F₀ è il sottocampo fondamentale.
    Il Teorema di Corrispondenza di Galois per estensioni tra campi finiti.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 13, par. 6   -   [PC] Cap. 6, par. 3

TRENTATREESIMA LEZIONE - 19 Dicembre 2019:
    Proposizione: Se K/F è un'estensione di Galois, char(F) = 0 , e L è un'estensione intermedia, allora
          L/F è normale (o, equivalentemente, è di Galois)   ⇔   σ(L) ⊆ L per ogni σ in G(K/F)
    Teorema di Corrispondenza di Galois: Se char(F)=0 e K/F è un'estensione finita di Galois, allora le corrispondenze di Galois tra estensioni intermedie di K/F e sottogruppi del gruppo di Galois G(K/F) sono inverse l'una dell'altra. Inoltre, per ogni estensione intermedia L si ha
          L/F è normale (o, equivalentemente, è di Galois)   ⇔   G(K/L) è normale in G(K/F)
e in tal caso G(L/F) è isomorfo a G(K/F)/G(K/L) , mediante un isomorfismo indotto - tramite il Teorema Fondamentale di Omomorfismo - dal morfismo di restrizione da K a L.
    Lemma: Se F è un campo finito, allora |F| = pⁿ , con p = char(F) > 0 , n = [F:F₀] , e il sottocampo fondamentale F₀ di F è isomorfo a Z_p .
    Teorema: Ogni campo finito F di cardinalità pⁿ è (isomorfo a) il campo di spezzamento di   f_p,n(x) := x^pn - x   su Z_p , e i suoi elementi sono tutti radici di   f_p,n(x) .
    Corollario: Tutte le estensioni tra campi finiti sono normali.
    Teorema di Unicità per campi finiti: Se due campi finiti hanno la stessa cardinalità allora sono tra loro isomorfi (e viceversa).
    Teorema di Esistenza per campi finiti: Per ogni primo p e per ogni n ∈ N₊ , esiste un campo finito F_p,n con   |F_p,n| = pⁿ .
Bibliografia:   [Ar] Cap. 14, par. 1, 5; cap. 13, par. 6   -   [Ca2] Cap. 5, par. 5; cap. 4, par. 1   -   [He] Cap. 5, par. 6; cap. 7, par. 1   -   [PC] Cap. 7, par. 3; cap. 6, par. 3

TRENTADUESIMA LEZIONE - 17 Dicembre 2019:
    Proposizione: Per un'estensione finita (algebrica) semplice E = F(α) di grado n, con char(F)=0 , si ha   I(E/F) = { φ₁ , φ₂ , ... , φ_n }   con   φ_i(α) = α_i   (per ogni i) che sono i coniugati distinti di α in F^a. In particolare, si ha |I(E/F)| = [E:F] .
    Teorema: Se E/F è estensione finita, char(F)=0 e H ≤ G(E/F) , allora   [E:E^H] = |H|   e   H = G(E/E^H) ,   cioè   (Ψ ○ Φ)(H) = H   per le corrispondenze di Galois Ψ e Φ dell'estensione E/F ; in particolare, si ha   Ψ ○ Φ = id_GE/F  .
    Estensioni finite di Galois (o "galoisiane"), definite come estensioni finite K/F per le quali si abbia   |G(K/F)| = [K:F] .
    Nota: se K/F è (finita) di Galois, allora   G(K/F) = I(K/F) .
    Teorema: Se K/F è un'estensione finita in caratteristica zero, allora le seguenti proprietà sono equivalenti:
        (a)   K/F è di Galois;
        (b)   K/F è normale;
        (c)   K^G(K/F) = F ,   cioè   (Φ ○ Ψ)(F) = F   per le corrispondenze di Galois Ψ e Φ dell'estensione K/F .
Bibliografia:   [Ar] Cap. 14, par. 1, 5   -   [Ca2] Cap. 5, par. 5   -   [He] Cap. 5, par. 6   -   [PC] Cap. 7, par. 2-3

TRENTUNESIMA LEZIONE - 12 Dicembre 2019:
    Chiusura algebrica di un campo F^a di un campo F: definizione, esempi, controesempi.
    Lemma: Ogni campo è contenuto in un qualche campo algebricamente chiuso (senza dimostrazione).
    Proposizione: Per ogni campo F esiste una chiusura algebrica F^a.
    Proposizione: Per ogni campo F, la sua chiusura F^a è unica a meno di isomorfismi (senza dimostrazione).
    L'insieme I(E/F) dei monomorfismi di un'estensione di campi E/F nella sua chiusura algebrica E^a.
    Il gruppo di Galois G(E/F) di un'estensione E/F.
    Il sottocampo E^H degli H-invarianti in E per ogni sottogruppo H del gruppo Aut_A(E).
    Le corrispondenze di Galois per un'estensione di campi E/F qualsiasi: proprietà fondamentali.
    Lemma: Il trasformato di un elemento α algebrico su F tramite un φ in I(E/F) è coniugato ad α su F.
    Proposizione: Per ogni E/F estensione finita semplice, si ha |G(E/F)| ≤ |I(E/F)| ≤ [E:F] .
    Lemma: Se E = F(α) è estensione algebrica semplice, con p_α(x) polinomio minimo di α su F, per ogni β in E^a coniugato ad α su F esiste un'unica immersione φ_α,β in I/(E/F) tale che φ_α,β(α) = β .
Bibliografia:   [Ar] Cap. 13, par. 9; cap. 14, par. 1   -   [Ca2] Cap. 5, par. 5   -   [He] Cap. 5, par. 6   -   [PC] Cap. 7, par. 2-3

TRENTESIMA LEZIONE - 10 Dicembre 2019:
    Proposizione: Sia F un campo e f(x) un polinomio irriducibile in F[x]. Allora:
        (a) se char(F)=0 , allora f(x) è separabile;
        (b) se char(F) =: p > 0 , allora f(x) è inseparabile ⇔ f(x) è della forma f(x) = h(x^p) per un certo polinomio h(x) in F[x] .
    Teorema dell'Elemento Primitivo (in caratteristica zero): Ogni estensione finita tra campi di caratteristica zero è (algebrica) semplice.
    Esercizi varî sulle estensioni algebriche finite: calcolo del grado, di una base, di un elemento primitivo, del polinomio minimo di un elemento primitivo, ecc. ecc.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 13, par. 5   -   [Ca2] Cap. 4, par. 3; cap. 5, par. 3   -   [He] Cap. 5, par. 5   -   [PC] Cap. 6, par. 3, 6

VENTINOVESIMA LEZIONE - 6 Dicembre 2019:
    Corollario (Unicità dei Campi di Spezzamento): Due qualunque campi di spezzamento su F di uno stesso polinomio f(x) in F[x] sono sempre isomorfi, tramite un isomorfismo che estende l'identità su F.
    Esercizio: In un'estensione K/F con K algebricamente chiuso, il campo intermedio F_K^a composto di tutti gli elementi di K algebrici su F è a sua volta algebricamente chiuso.
    Proposizione: Sia E/F un'estensione, p(x) un polinomio irriducibile in F[x], e siano α, β ∈ E due radici di p(x). Allora le estensioni - di F - algebriche semplici F(α) e F(β) sono isomorfe, tramite un isomorfismo che è l'identità su F e manda α in β.
    Elementi coniugati in un'estensione di campi; la relazione "essere coniugati" (sul campo base) è un'equivalenza.
    Proposizione: Un'estensione K/F è chiusa per coniugati ⇔ ogni polinomio irriducibile in F[x] che abbia una radice in K si fattorizza in prodotti lineari in K [x] - in altre parole, ha tutte le sue radici in K.
    Estensioni normali.
    Teorema: Un'estensione K/F è finita e normale ⇔ ∃ un polinomio f(x) ∈ F[x] \ F tale che K sia il campo di spezzamento di f(x) su F.
    Derivazione (formale) di polinomi: definizione, proprietà fondamentali, caratterizzazione. Radici multiple di un polinomio.
    Proposizione: Un polinomio p(x) ∈ F[x] \ F ha una radice multipla (in una opportuna estensione di F[x]) ⇔ MCD(p(x),p'(x)) ≁ 1 in F[x]   - in altre parole, p(x) e la sua derivata p'(x) non sono primi tra loro.
    Polinomi separabili, polinomi inseparabili.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 13, par. 5   -   [Ca2] Cap. 4, par. 3; cap. 5, par. 2, 3   -   [He] Cap. 5, par. 3, 5   -   [PC] Cap. 6, par. 2-3, 5

VENTOTTESIMA LEZIONE - 5 Dicembre 2019:
    Caratterizzazioni alternative dei campi algebricamente chiusi.
    Campi di spezzamento di un polinomio.
    Teorema (Esistenza dei Campi di Spezzamento): Se F è un campo, allora per ogni f(x) in F[x] \ F esiste un campo di spezzamento E di f(x) su F, con grado [E:F] ≤ ∂(f(x))!
    Teorema: Ogni isomorfismo φ tra due campi F ed F si estende ad un isomorfismo ψ tra campi di spezzamento E ed E' di polinomi f(x) ed f'(x) - in F[x] e in F'[x] rispettivamente - tra loro corrispondenti tramite φ.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 13, par. 5   -   [Ca2] Cap. 4, par. 1-3; cap. 5, par. 2   -   [He] Cap. 5, par. 3   -   [PC] Cap. 6, par. 2

VENTISETTESIMA LEZIONE - 3 Dicembre 2019:
    Corollario: Se K/F è un'estensione finita, allora ogni elemento a in K è algebrico su F, con grado un divisore di [K:F]. In particolare, per un'estensione K/F di grado primo ogni elemento a in K\F genera K su F, cioè   K = F(a) .
    Esercizio: Se a ∈ K è algebrico sul sottocampo F, e p_a(x) è il suo polinomio minimo, allora ogni radice di p_a(x) in K ha ancora p_a(x) come suo polinomio minimo.
    Proposizione: In ogni estensione K/F, l'insieme F_K^a di tutti gli elementi di K algebrici su F è un campo, estensione intermedia tra F e K.
    Estensioni algebriche, estensioni trascendenti. Ogni estensione finita è algebrica, ma non viceversa.
    Esercizio: Se α₁, ... , α_n ∈ K sono algebrici sul sottocampo F, allora l'estensione F(α₁, ... , α_n)/F è finita (e quindi algebrica).
    Proposizione: In una torre di estensioni, l'estensione complessiva è algebrica se e soltanto se ciascun passo della torre è un'estensione algebrica.
    Lemma: Se F è un campo, allora per ogni f(x) in F[x] \ F esiste un campo K estensione di F che contiene (almeno) una radice di f(x) e tale che [K:F] ≤ ∂(f(x)) . In particolare, se f(x) è irriducibile, allora esiste un K come sopra e tale che [K:F] = ∂(f(x)) .
    Campi algebricamente chiusi: definizione, esempi, controesempi.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 13, par. 1-3, 5, 9   -   [Ca2] Cap. 4, par. 1-3   -   [He] Cap. 5, par. 1, 3   -   [PC] Cap. 6, par. 1-2

VENTISEIESIMA LEZIONE - 29 Novembre 2019:
    Estensioni di campi. Il grado di un'estensione di campi; estensioni finite ed estensioni infinite. Moltiplicatività del grado in una torre di estensioni.
    Conseguenze della moltiplicatività del grado:
        (a) in una torre di estensioni, l'estensione complessiva è finita se e soltanto se ciascun passo della torre è un'estensione finita;
        (b) un'estensione finita di grado primo non ha estensioni intermedie se non quelle banali.
    Il sottoanello intermedio F[S] e il sottocampo intermedio F(S) generati su F da un sottoinsieme S in un'estensione K di F ; F(S) è (isomorfo a) il campo dei quozienti di F[S].
    Estensioni finitamente generate; estensioni semplici.
    Elementi algebrici e elementi trascendenti in un'estensione K di F.
    Teorema: Se a ∈ K è trascendente su F, allora F[a] è isomorfo a F[x], e F(a) è isomorfo a F(x). In particolare, l'estensione F(a)/F è infinita.
    Teorema: Se a ∈ K è algebrico su F, allora F(a) = F[a] ed è isomorfo a F[x]/(p_a(x)) dove p_a(x) è un polinomio irriducibile monico in F[x], detto "polinomio minimo di a su F ". In particolare, [F(a):F] è uguale al grado di p_a(x) .
    Corollario: Per ogni a ∈ K estensione di F si ha:   a è trascendente, risp. algebrico, su F ⇔ l'estensione F(a)/F è infinita, risp. finita.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 13, par. 1-3   -   [Ca2] Cap. 4, par. 1-2   -   [He] Cap. 5, par. 1   -   [PC] Cap. 6, par. 1

VENTICINQUESIMA LEZIONE - 28 Novembre 2019:
    (Contro)Esempio: per ogni campo K, l'anello K[x², x³] - sottoanello di K[x] generato da K∪{x², x³} - è un domino che non è un D.MCD.
        La caratteristica char(R) di un anello R. Nel caso di un anello unitario, char(R) è l'ordine di 1_R nel gruppo additivo (R ; + ) .
    Lemma: Per ogni anello R privo di divisori di zero si ha char(R) = 0 oppure char(R) è un numero primo.
        Il sottoanello fondamentale R_[0] di un anello unitario R. Il sottocampo fondamentale F₀ di un campo F.
    Proposizione: (a) Se R è un anello unitario, allora R_[0] è isomorfo a Z_char(R) .
        (b) Se F è un campo, allora F₀ è isomorfo a Z_char(R) se char(R) > 0 , e a Q se invece char(R) = 0 .
    Lemma: Un polinomio non nullo a coefficienti in un dominio ha al più tante radici quanto è il suo grado.
    Teorema: Ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.
    Corollario: (a) Per ogni campo finito F, ogni sottogruppo del gruppo moltiplicativo F \{0} è ciclico. In particolare, Z_p\{0} è gruppo ciclico per ogni primo p in N₊ .
        (b) Per ogni campo K e per ogni n in N₊ , le radici n-esime di 1_K in K formano un sottogruppo ciclico del gruppo moltiplicativo K \{0} .
Bibliografia:   [Ca2] Cap. 3, par. 4   -   [PC] Cap. 3, par. 2; cap. 4, par. 10; cap. 6, par. 3

VENTIQUATTRESIMA LEZIONE - 26 Novembre 2019:
    Applicazioni del criterio di Eisenstein alla ricerca di polinomi irriducibili.
        Esempio: per ogni primo p ∈ N₊, il polinomio   f_p(x) := x^p-1 + x^p-2 + ... + x² + x + 1   è irriducibile.
    Criterio di Riduzione per l'analisi della fattorizzabilità di un polinomio.
    Criterio della Radice Intera: Sia R un D.F.U., Q_R il suo campo dei quozienti, f(x) un polinomio in R[x]: se α = n/d in Q_R è una radice di f(x), con n e d primi tra loro, allora n e d dividono (in R) rispettivamente il termine noto e il coefficiente direttore di f(x).
    Esercizi varî sulla ricerca di radici e sulla fattorizzazione esplicita di un polinomio f(x) a coefficienti in un D.F.U. (tramite applicazioni del Criterio di Eisenstein, del Criterio di Riduzione, del Criterio della Radice Intera, ecc. ecc.).
Bibliografia:   [Ar] Cap. 11, par. 1-4   -   [Ca2] Cap. 3, par. 3   -   [He] Cap. 3, par. 9-11   -   [PC] Cap. 3, par. 1-3; cap. 4, par. 8, 9

VENTITREESIMA LEZIONE - 22 Novembre 2019:
    Proposizione: Dato f non nullo in R[x], con R un D.F.U., e Q_R campo dei quozienti di R, si ha che:
      (a)   f è invertibile in R[x] ⇔ f è una costante invertibile, dunque   U(R[x]) = U(R) ;
        (b.1)   se f ∈ R , allora   f è irriducibile in R[x] ⇔ f è irriducibile in R ;
        (b.2)   se f ∈ R[x] ∖ R , allora   f è irriducibile in R[x] ⇔ f è primitivo e f è irriducibile in Q_R[x] .
    Teorema: Se R è un D.F.U., allora anche R[x] è un D.F.U. In conseguenza, pure R[x₁,...,x_n] è un D.F.U.
    Controesempio: un esempio di D.MCD che non è un D.B. né un D.F.
    Teorema di Ruffini: Per ogni anello commutativo unitario A, per ogni α in A e ogni f(x) in A[x] , si ha
          (x-α) divide f(x) in A[x]   ⇔   f(α) = 0
    Criterio di Eisenstein: Sia R un D.F.U., Q_R il suo campo dei quozienti, f(x) un polinomio in R[x], e sia p un primo in R tale che:
        (1) p non divide il coefficiente direttivo di f ,   (2) p divide tutti gli altri coefficienti di f ,   (3) p² non divide il termine noto di f .
    Allora f(x) è irriducibile in Q_R[x] ; in aggiunta, se f(x) è primitivo, allora esso è irriducibile anche in R[x].
Bibliografia:   [Ar] Cap. 11, par. 1-4   -   [Ca2] Cap. 3, par. 3   -   [He] Cap. 3, par. 9-11   -   [PC] Cap. 3, par. 1-3; cap. 4, par. 8, 9

VENTIDUESIMA LEZIONE - 21 Novembre 2019:
    La funzione di valutazione "altezza" in un D.F.U.
    Teorema (criterio per i D.F.U.): Per un dominio unitario D, le seguenti condizioni sono equivalenti:
        (a) D è un D.F.U.;
        (b) in D vale la (ccd) e ogni irriducibile è primo;
        (c) D è un D.F. e in esso ogni irriducibile è primo.
    Richiami sul campo dei quozienti di un dominio: definizione e costruzione.
    Polinomi a coefficienti in un D.F.U.: il contenuto c(f) di un polinomio f, polinomi primitivi.
    Esempio: in ogni D.E., la valutazione del dominio stesso è una funzione di valutazione.
    Lemma di Gauss: Sia R un D.F.U. Per ogni coppia di polinomi non nulli f, g in R[x] si ha   c(f g) = c(f) c(g) .
In particolare, il prodotto di due polinomi primitivi è a sua volta un polinomio primitivo.
    Lemma: Sia R un D.F.U., Q_R il campo dei quozienti di R, e f, g in R[x] con   c(f) = 1 . Allora f divide g in Q_R[x] ⇔ f divide g in R[x] .
Bibliografia:   [Ar] Cap. 10, par. 6; cap. 11, par. 1-4   -   [Ca2] Cap. 3, par. 3   -   [He] Cap. 3, par. 6, 9-11   -   [PC] Cap. 3, par. 1-3; cap. 4, par. 6, 8

VENTUNESIMA LEZIONE - 19 Novembre 2019:
    Classi notevoli di domini: domini a fattorizzazione (=:D.F.) - o "domini atomici" (="D.A.") - e domini a fattorizzazione unica (=:D.F.U.): le inclusioni (strette)   D.I.P. ⫋ D.F.U. ⫋ D.F. (⫋ DOMINI)
    Criterio di divisibilità in un D.F.U.
    Proposizione: In ogni D.F.U., esistono MCD(a,b) e mcm(a,b) e vale l'identità MCD(a,b) mcm(a,b) = a b . In particolare, ogni D.F.U. è un D.MCD, cioè vale l'inclusione   D.F.U. ⫋ D.MCD .
    Condizione della catena discendente - o (ccd) - e funzioni di valutazione in un dominio.
    Esempio: in ogni D.E., la valutazione del dominio stesso è una funzione di valutazione.
    Lemma: (a) Un dominio in cui valga la (ccd) è un D.F.
        (b) Se in un dominio esiste una funzione di valutazione, allora vale la (ccd); in particolare, tale dominio è un D.F.
    Applicazione: Ogni dominio della forma Z[√ -z ] - con z un intero non quadrato - è un D.F.
    Lemma: (a) In un dominio in cui ogni irriducibile sia primo, ogni fattorizzazione in irriducibili è unica.
        (b) In un D.B., ogni irriducibile è primo.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 10, par. 7; cap. 11, par. 1, 2   -   [Ca2] Cap. 3, par. 3   -   [He] Cap. 3, par. 7-9   -   [PC] Cap. 4, par. 7-9

VENTESIMA LEZIONE - 15 Novembre 2019:
    Richiami su anelli commutativi unitari: divisibilità, divisori di zero, domini (di integrità), elementi invertibili, elementi associati, campi; elementi irriducibili (=atomi), elementi primi. Ogni primo è irriducibile.
    Proposizione: Un anello commutativo unitario A è un campo ⇔ A ha soltanto gli ideali banali ⇔ ogni morfismo di anelli con dominio A è nullo oppure è iniettivo.
    Ideali primi e ideali massimali in anelli commutativi unitari. Un ideale I è primo, risp. massimale, in A ⇔ il quoziente corrispondente A/I è un dominio, risp. un campo; come conseguenza, ogni ideale massimale è primo.
    Massimo comun divisore (=:MCD) e minimo comune multiplo (=:mcm) tra a e b in un anello commutativo unitario; identità di Bézout per il MCD (richiami).
    Classi notevoli di domini: domini di Bézout (=:D.B.), domini con MCD (=:D.MCD), domini euclidei (=:D.E.), domini a ideali principali (=:D.I.P.).
    Le inclusioni (strette) tra classi notevoli di domini
          CAMPI ⫋ D.E. ⫋ D.I.P. ⫋ D.B. ⫋ D.MCD (⫋ DOMINI)
    Esempi e controesempi di domini di ciascuna classe notevole.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 10, par. 7; cap. 11, par. 2   -   [Ca2] Cap. 3, par. 1, 3   -   [He] Cap. 3, par. 7-9   -   [PC] Cap. 4, par. 5, 7

DICIANNOVESIMA LEZIONE - 14 Novembre 2019:
    Il commutatore (x,y) di due elementi x e y in un gruppo G. Il sottogruppo derivato G' di G; proprietà fondamentali di G' e di G/G'. La serie derivata dei sottogruppi derivati successivi in un gruppo.
    Gruppi risolubili: definizione tramite successione di sottogruppi a quozienti abeliani.
    Esempi di gruppi risolubili:
      (1) ogni gruppo abeliano è risolubile;
      (2) ogni gruppo di ordine pq con p e q primi è risolubile;
      (3) ogni gruppo simmetrico S_n con n ≤ 4 è risolubile.
    Teorema (caratterizzazione dei gruppi risolubili in termini della serie derivata): Un gruppo G è risolubile ⇔ la serie derivata di G si arresta al sottogruppo banale.
    Proposizione: Tutti i sottogruppi e tutte le immagini omomorfe di un gruppo risolubile sono risolubili.
    Proposizione: Sia G un gruppo ed N un suo sottogruppo normale. Se N e G/N sono risolubili, allora anche G stesso è a sua volta risolubile.
    Applicazione: Ogni gruppo di ordine p q r con p, q ed r primi distinti è risolubile (esercizio).
    Teorema: Ogni p-gruppo finito (con p primo) è risolubile.
    Controesempi di gruppi risolubili: Ogni gruppo simmetrico S_n con n ≥ 5 è non risolubile.
Bibliografia:   [Ca2] Cap. 5, par. 4   -   [PC] Cap. 5, par. 15

DICIOTTESIMA LEZIONE - 12 Novembre 2019:
    Caratterizzazione dei gruppi che siano (isomorfi a) un prodotto diretto di un numero finito gruppi.
    Proposizione: Ogni gruppo abeliano finito è prodotto diretto (interno) dei suoi sottogruppi di Sylow.
    2^o Teorema di Classificazione dei Gruppi Abeliani Finiti: Ogni gruppo abeliano finito è isomorfo in modo unico ad un prodotto diretto di gruppi ciclici della forma   ×_i=1^k ×_j=1^s_i Z_pi^ri,j   dove p₁ , ... , p_k sono i primi distinti che dividono l'ordine del gruppo e ciascuna stringa   r := (r_i,1 , r_i,2 , ... , r_i,si )   è una partizione.
    Corollario (Teorema di Classificazione dei Gruppi Abeliani di ordine assegnato): Per ogni n in N₊ , con fattorizzazione in primi   n = ∏_i=1^k p_i^e_i , le classi di isomorfismo dei gruppi abeliani finiti di ordine n sono in biiezione con le stringhe (ν₁ , ... , ν_k) di partizioni degli esponenti e₁ , ... , e_k .
    L'algoritmo di passaggio dall'uno all'altro tipo di fattorizzazione (in prodotto diretto di gruppi ciclici) data dal 1° e/o dal 2° Teorema di Classificazione dei Gruppi Abeliani Finiti: esempi particolari e procedura generale.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 12, par. 6   -   [Ca2] Cap. 2, par. 5   -   [He] Cap. 2, par. 14   -   [PC] Cap. 5, par. 17

DICIASSETTESIMA LEZIONE - 8 Novembre 2019:
    Il problema della classificazione dei gruppi abeliani finiti. Esempi di fattorizzazione di un gruppo abeliano finito in prodotto diretto di gruppi ciclici di tipo "canonico".
    1^o Teorema di Classificazione dei Gruppi Abeliani Finiti: Ogni gruppo abeliano finito è isomorfo ad un prodotto diretto di gruppi ciclici del tipo   Z_e1 × Z_e2 × ... × Z_et   dove t=1=e₁ oppure e_t>1 ed e₁ , e₂ , ... , e_t sono interi positivi tali che ciascuno divida il precedente. Inoltre, la successione (e₁ , e₂ , ... , e_t) di tali interi è univocamente determinata dalla classe di isomorfismo del gruppo G, e due successioni diverse corrispondono a gruppi non isomorfi.
    Teorema di Classificazione dei p-Gruppi Abeliani Finiti: Ogni p-gruppo abeliano finito di ordine p^s (con p primo e s ≥ 1) è isomorfo ad un prodotto diretto di p-gruppi ciclici   Z_p^c1 × Z_p^c2 × ... × Z_p^ct   dove   c := (c₁,c₂,...,c_t)   è una partizione di s, cioè   c₁ ≥ c₂ ≥ ... ≥ c_t   e   c₁ + c₂ + ... + c_t = s . Inoltre, la partizione c è univocamente determinata dalla classe di isomorfismo del gruppo G. In particolare, le classi di isomorfismo dei p-gruppi abeliani di ordine p^s sono in biiezione con le partizioni di s.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 12, par. 6   -   [Ca2] Cap. 2, par. 5   -   [He] Cap. 2, par. 14   -   [PC] Cap. 5, par. 17

SEDICESIMA LEZIONE - 7 Novembre 2019:
    Esercizi varî sui gruppi: classificazione dei gruppi di ordine pq (con p e q primi), applicazioni dei Teoremi di Sylow, gruppi di permutazioni, ecc. ecc.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 5, par. 5-7; Cap. 6, par. 1-6   -   [Ca2] Cap. 2, par. 1-4   -   [He] Cap. 2, par. 12   -   [PC] Cap. 5, par. 2, 3, 12

QUINDICESIMA LEZIONE - 5 Novembre 2019:
    Teoremi di Sylow: Sia G un gruppo di ordine p^αm con p primo e m non divisibile per p. Allora:
      (a) esistono p-sottogruppi di Sylow in G;
      (b) ogni p-sottogruppo di G è contenuto in un p-Sylow;
      (c) tutti i p-sottogruppi di Sylow di G sono tra loro coniugati;
      (d) il numero ν_p di p-sottogruppi di Sylow in G divide m ed è congruente a 1 modulo p.
    Corollario: Dato un p-Sylow Σ_p in G, si ha     Σ_p è normale in G   ⇔   ν_p = 1   ⇔   Σ_p è caratteristico in G .
    Teorema: In ogni gruppo G di ordine p^αm con p primo e m non divisibile per p, per ogni p-sottogruppo di Sylow primo Σ_p in G esiste una catena di sottogruppi   {e_G} = H₀ ≤ H₁ ≤ ... ≤ H_α-1 ≤ H_α = Σ_p   in cui ciascun sottogruppo è normale nel successivo e il relativo quoziente è isomorfo a Z_p , e quindi ogni H_i ha ordine pⁱ. In particolare, se   |G| = p₁^α₁ p₂^α₂ ... p_k^α_k   è la fattorizzazione in primi dell'ordine di G, allora il Teorema di Lagrange si inverte per G per ogni divisore dell'ordine |G| della forma   d = p_i^e_i .
    Esempi ed applicazioni dei Teoremi di Sylow:
      (1) ogni gruppo di ordine 28 ha un sottogruppo caratteristico di ordine 7;
      (2) ogni gruppo di ordine 56 ha almeno un sottogruppo caratteristico.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 6, par. 4   -   [Ca2] Cap. 2, par. 4   -   [He] Cap. 2, par. 12   -   [PC] Cap. 5, par. 12

QUATTORDICESIMA LEZIONE - 31 Ottobre 2019:
    Definizione di p-gruppi, per p primo.
    Teorema: In ogni p-gruppo non banale G il centro Z(G) è a sua volta non banale.
    Proposizione: In ogni p-gruppo di ordine pⁿ, esiste una catena di sottogruppi   {e_G} = H₀ ≤ H₁ ≤ ... ≤ H_n-1 ≤ H_n = G   in cui ciascun sottogruppo è normale nel successivo e il relativo quoziente è isomorfo a Z_p .
    Teorema: Ogni gruppo di ordine p² (con p primo) è abeliano, ed è isomorfo a Z_p² oppure a Z_p×Z_p .
    Proposizione: Per ogni primo p e per ogni n ≥ 3 esiste un gruppo di ordine pⁿ che non è abeliano.
    Definizione di p-sottogruppo di Sylow.
    Esempio: le matrici triangolari superiori (oppure inferiori) unipotenti in GL_n(Z_p) formano un p-sottogruppo di Sylow.
    Esempi di G-spazi:
      (1) le forme canoniche di Jordan come rappresentanti delle orbite dell'azione per coniugazione di GL_n(C) su M_n×n(C);
      (2) la grassmanniana Gr_k,n dei sottospazi vettoriali di dimensione k in uno spazio vettoriale V di dimensione n come GL(V)-spazio omogeneo.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 6, par. 1   -   [Ca2] Cap. 2, par. 3, 4   -   [He] Cap. 2, par. 11   -   [PC] Cap. 5, par. 12

TREDICESIMA LEZIONE - 29 Ottobre 2019:
    Teorema: Il gruppo diedrale D_n è (isomorfo a) il prodotto semidiretto del suo sottogruppo (normale) delle rotazioni - che è ciclico di ordine n - con il sottogruppo generato da una qualsiasi riflessione - che è ciclico di ordine 2.
    Lemma: Se ρ è una qualsiasi rotazione e τ è una qualsiasi riflessione in D_n , allora si ha   τ ρ = ρ^-1 τ .
    Applicazioni del Teorema di Burnside (per opportune azioni del gruppo diedrale D_n su un insieme V_n di n elementi, e le corrispondenti azioni di D_n su insiemi di partizioni di V_n in blocchi di dimensioni prefissate).
    Il problema di invertire il Teorema di Lagrange. Nel caso dei gruppi ciclici il Teorema di Lagrange si inverte (con unicità).
    Teorema di Cauchy: Se è un gruppo finito, per ogni primo p che divida |G| esiste in G un elemento di ordine p - o, equivalentemente, esiste in G un sottogruppo di ordine p. In particolare, per divisori primi dell'ordine di un gruppo finito il Teorema di Lagrange si inverte.
Bibliografia:   [Ca2] Cap. 2, par. 4   -   [PC] Cap. 5, par. 4, 12

DODICESIMA LEZIONE - 25 Ottobre 2019:
    Teorema: Le permutazioni pari formano un sottogruppo (detto "sottogruppo alterno su n elementi") A_n normale in S_n , di indice 2, la cui unica classe laterale (destra/sinistra) diversa da A_n stesso è l'insieme delle permutazioni dispari. Inoltre, S_n è prodotto semidiretto del suo semigruppo normale A_n con il sottogruppo ⟨τ⟩ = {id,τ} generato da una qualunque trasposizione τ = (hk) .
    Partizioni di un numero naturale n. La partizione di n associata ad una permutazione in S_n data dalla lunghezza dei suoi cicli disgiunti.
    Calcolo della coniugazione nel gruppo S_n .
    Teorema (classificazione delle classi coniugate nel gruppo S_n): La funzione che associa ad una permutazione in S_n la corrispondente partizione di n induce (tramite il Teorema Fondamentale delle Applicazioni) una biiezione canonica tra l'insieme delle classi coniugate in S_n e l'insieme delle partizioni di n.
    Grafi, digrafi; il grafo soggiacente a un digrafo (cenni).
    Il gruppo degli automorfismi di un grafo e il gruppo degli automorfismi di un digrafo, come sottogruppi del gruppo di permutazioni sull'insieme dei vertici.
    Il gruppo diedrale D_n ; rotazioni e riflessioni.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 5, par. 3   -   [Ca1] Cap. IV, par. 3-4   -   [PC] Cap. 5, par. 2-4

UNDICESIMA LEZIONE - 24 Ottobre 2019:
    Il gruppo simmetrico S_n . Notazioni possibili, calcolo esplicito usando le diverse notazioni. Le trasposizioni.
    Teorema: Ogni permutazione si fattorizza - in modo essenzialmente unico - come prodotto di cicli disgiunti (cioè permutazioni cicliche operanti su sottoinsiemi a due a due disgiunti), i quali permutano gli uni con gli altri.
    Lemma: L'ordine di una permutazione è il m.c.m. degli ordini dei suoi cicli disgiunti.
    Proposizione: Ogni permutazione si fattorizza - in modo non unico - come prodotto di trasposizioni.
    L'azione (per automorfismi di anello) di S_n sull'anello di polinomi Z[x₁,...,x_n] .
    Teorema: Le fattorizzazioni di una stessa permutazione come prodotto di trasposizioni hanno tutte un numero di fattori con la stessa parità.
    Permutazioni pari e permutazioni dispari.
Bibliografia:   [Ca1] Cap. IV, par. 3   -   [PC] Cap. 5, par. 2

DECIMA LEZIONE - 22 Ottobre 2019:
    Lemma: Un'azione di un gruppo G su un G-spazio E induce canonicamente
      - un'azione di G sull'insieme delle parti di E,
      - un'azione di G sull'insieme delle parti finite di E,
      - un'azione di G sull'insieme delle parti di E di cardinalità fissata,
      - un'azione di G sull'insieme delle partizioni in E.
    Proposizione: In ogni G-spazio X c'è una biiezione canonica tra l'orbita di un elemento x e l'insieme G/St_x delle classi laterali sinistre in G modulo il sottogruppo stabilizzatore di x.
    La relazione tra cardinalità del gruppo G, cardinalità dell'orbita di x e cardinalità dello stabilizzatore di x per un punto x in un G-spazio.
    La Equazione delle Classi in un gruppo finito.
    Il centro Z(G) come sottoinsieme dei punti del gruppo G la cui classe coniugata sia banale.
    Il Teorema di Burnside per il calcolo del numero di G-orbite in un G-spazio finito (con G gruppo finito).
    Esempi ed applicazioni della teoria dei G-spazi: il calcolo del numero di anagrammi di una parola data.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 5, par. 5-8; Cap. 6, par. 1-3   -   [Ca2] Cap. 2, par. 3   -   [PC] Cap. 5, par. 11

NONA LEZIONE - 18 Ottobre 2019:
    Azioni e rappresentazioni di un semigruppo (o un monoide, o un gruppo) S su un insieme; corrispondenza tra le due nozioni; S-spazi (o "S-insiemi").
    L'equivalenza canonica indotta in un G-spazio; G-orbite, azioni fedeli, azioni transitive e G-spazi omogenei, l'insieme E^G dei punti fissi in un G-spazio.
    Lo stabilizzatore St_e di un punto e in un G-spazio; St_e è un sottogruppo di G, e si ha:   (1) St_g.e = g St_e g^-1 ,   (2) e ∈ E^G ⇔ St_e = G .
    Esempi varî di G-spazi:
      - ogni insieme E è un S(E)-spazio - fedele e omogeneo - per il gruppo S(E) di tutte le permutazioni di E ;
      - l'azione di un gruppo G si restringe ad un'azione di ciascun suo sottogruppo H, e ogni G-orbita è unione disgiunta di H-orbite;
      - l'azione regolare sinistra e l'azione regolare destra (entrambe fedeli e transitive) di un gruppo G su sé stesso;
      - l'azione per coniugazione (o "per coniugio") di un gruppo G su sé stesso per coniugazione; classe coniugata e centralizzante di un elemento in G ;
      - l'azione sinistra-&-destra di GL_n(K) x GL_n(K) su Mat_nxn(K): le orbite sono in biiezione con {0,...,n} , secondo il rango di ogni matrice in Mat_nxn(K) - grazie al procedimento di "riduzione a scala" di Gauss.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 5, par. 5-6, 8; Cap. 6, par. 1   -   [Ca2] Cap. 2, par. 3   -   [PC] Cap. 5, par. 11, 14

OTTAVA LEZIONE - 17 Ottobre 2019:
    Esempi ed esercizi varî:
      - il gruppo U(A[[x]]) delle serie formali invertibili è prodotto semidiretto del sottogruppo U(A) per il sottogruppo normale (1 + x A[[x]]) .
      - per ogni n in N, l'anello End_Gr(Z_n) è isomorfo a Z_n stesso (tramite il Teorema di Cayley), e il gruppo Aut_Gr(Z_n) è isomorfo a U(Z_n) .
      - per ogni n in N, gli endomorfismi e gli automorfismi dell'anello Z_n sono soltanto quelli banali.
      - descrizione dei prodotti semidiretti del gruppo (Z_p ; +) per il gruppo (Z_q ; +) quando p e q sono primi.
Bibliografia:   [PC] Cap. 5, par. 14

SETTIMA LEZIONE - 15 Ottobre 2015:
    Esempi varî di gruppi prodotto diretto.
    Caratterizzazione dei gruppi prodotto semidiretto: Esiste un endomorfismo idempotente λ di un gruppo G ⇔ G è prodotto semidiretto - i cui fattori sono Im(λ) e Ker(λ).
    Esempi varî di gruppi prodotto semidiretto (tramite applicazione della caratterizzazione di cui sopra).
Bibliografia:   [PC] Cap. 5, par. 14

SESTA LEZIONE - 11 Ottobre 2019:
    Endomorfismi e automorfismi di un gruppo; gli endomorfismi interni.
    Gli endomorfismi interni di un gruppo G formano un sottogruppo normale Int(G) del gruppo Int(G) di tutti gli automorfismi.
    Sottogruppi caratteristici. Ogni sottogruppo caratteristico è normale.
    Il centro Z(G) di un gruppo. Z(G) è sottogruppo caratteristico.
    Il prodotto semidiretto di due gruppi e N associato a un morfismo φ da H a Aut(N): costruzione e proprietà fondamentali. Il prodotto diretto di due gruppi è il prodotto semidiretto associato al morfismo φ costante.
    Caratterizzazione dei gruppi che siano (isomorfi al) prodotto semidiretto di due loro sottogruppi (detti "prodotti semidiretti interni").
Bibliografia:   [PC] Cap. 5, par. 9, 14

QUINTA LEZIONE - 10 Ottobre 2019:
    Prodotto cartesiano di insiemi, proiezioni canoniche associate.
    Prodotto diretto di gruppoidi; le proiezioni canoniche sono morfismi. Casi particolari dei gruppi e degli anelli; i morfismi (iniettivi) canonici associati ad ogni fattore del prodotto diretto.
    Proposizione: Il prodotto diretto di due gruppi, risp. di due anelli, si fattorizza in prodotto di due sottogruppi normali, risp. di due ideali, a intersezione banale.
    Criterio perché un gruppo, risp. un anello, sia isomorfo al prodotto diretto di due gruppi, risp. di due anelli. Prodotti diretti interni di gruppi e di anelli.
    Esempi di prodotti diretti interni di gruppi e di anelli (mediante applicazioni del Criterio).
Bibliografia:   [Ar] Cap. 2, par. 8   -   [Ca2] Cap. 2, par. 2, 5   -   [He] Cap. 2, par. 13   -   [PC] Cap. 5, par. 14

QUARTA LEZIONE - 8 Ottobre 2019:
    Il Secondo Teorema di Isomorfismo per anelli.
    Esercizi varî sulle applicazioni del Teorema Fondamentale di Omomorfismo e dei Teoremi di Isomorfismo.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 2, par. 4-7; Cap. 10, par. 3-5   -   [Ca2] Cap. 1, par. 3-5   -   [PC] Cap. 4, par. 4-5; Cap. 5, par. 9-10

TERZA LEZIONE - 4 Ottobre 2019:
    La corrispondenza tra sottoanelli e la corrispondenza tra ideali sinistri/destri/bilateri nel dominio e nel codominio di un morfismo tra anelli. Il caso particolare delle proiezioni canoniche.
    Il Primo Teorema di Isomorfismo per gruppi.
    Il Primo Teorema di Isomorfismo per anelli.
    Il Secondo Teorema di Isomorfismo per gruppi.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 2, par. 7; Cap. 10, par. 4   -   [Ca2] Cap. 1, par. 4-5   -   [PC] Cap. 4, par. 4; Cap. 5, par. 10

SECONDA LEZIONE - 3 Ottobre 2019:
    Richiami dal corso di Algebra 1:
        (1) Anelli; sottoanelli, ideali sinistri/destri/bilateri in un anello.
        (2) Caratterizzazione degli ideali (bilateri) in termini di equivalenze associate: per ogni sottogruppo additivo I di un anello A si ha
              ρ_I è congruenza (di anello)   ⇔   A/ρ_I è anello   ⇔   il sottogruppo additivo I è un ideale (bilatero).
        (3) Morfismi tra anelli; immagine e nucleo di un morfismo tra anelli; il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Anelli.
        (4) Caratterizzazione degli ideali (bilateri) di un anello A:
              "ideali (bilateri) di A" = "nuclei di morfismi con dominio A" = "classi di congruenza in A dell'elemento neutro 0_A"
    Versione forte del Teorema Fondamentale delle Applicazioni (cenni).
    Versione forte del Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Gruppoidi (cenni).
    Versione forte del Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Gruppi (cenni).
    Versione forte del Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Anelli (cenni).
    Il prodotto di sottogruppi in un gruppo: condizioni necessarie perché sia un sottogruppo, o sia un sottogruppo normale.
    La somma di sottoanelli in un anello: condizioni necessarie perché sia un sottoanello, o sia un ideale sinistro/destro/bilatero.
    La corrispondenza tra sottogruppi e la corrispondenza tra sottogruppi normali nel dominio e nel codominio di un morfismo tra gruppi. Il caso particolare delle proiezioni canoniche.
Bibliografia:   [Ar] Cap. 2, par. 1-8; Cap. 10, par. 1-4   -   [Ca2] Cap. 1, par. 1-4   -   [PC] Cap. 4, par. 1-4; Cap. 5, par. 9-10

  PRIMA LEZIONE - 1 Ottobre 2019:
    Considerazioni generali sul corso: programma, bibliografia, modalità d'esame, ecc.
    Richiami dal corso di Algebra 1:
        (1) Insiemi, operazioni tra insiemi; corrispondenze e loro composizione; funzioni (o "applicazioni"), relazioni; equivalenze, insiemi quoziente; funzioni vs. equivalenze.
        (2) Il Teorema Fondamentale delle Applicazioni.
        (3) Operazioni (binarie); gruppoidi, semigruppi, monoidi, gruppi; morfismi tra gruppoidi. Il Teorema di Cayley (per semigruppi).
        (4) Congruenze in un gruppoide; gruppoidi quoziente; morfismi vs. congruenze. Il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Gruppoidi.
        (5) Gruppi e loro morfismi. Sottogruppi e sottogruppi normali in un gruppo.
        (6) Equivalenze ρ_H,s e ρ_H,d per un sottogruppo H ≤ G; classi laterali sinistre/destre di H.
        (7) Caratterizzazione dei sottogruppi normali in termini di equivalenze associate: per ogni sottogruppo H di un gruppo G si ha
              ρ_H,s = ρ_H,d =: ρ_H   ⇔   ρ_H è congruenza   ⇔   G/ρ_H è gruppo   ⇔   il sottogruppo H è normale.
        (8) Caratterizzazione dei sottogruppi normali di un gruppo G:
              "sottogruppi normali di G" = "nuclei di morfismi con dominio G" = "classi di congruenza in G dell'elemento neutro e_G"
Bibliografia:   [Ar] Capitolo 2, paragrafi 1-6   -   [Ca1] Cap. I, par. 1-4; Cap. IV, par. 1, 5-7   -   [Ca2] Cap. 1, par. 1-3; Cap. 2, par. 1   -   [PC] Cap. 1, par. 1-3; Cap. 5, par. 1, 5-9