Corso di Laurea in Matematica
a.a 2023-2024 - secondo semestre

Diario delle lezioni del corso - da 8 CFU - di

ALGEBRA 1

(elencate in ordine cronologico inverso)

DOCENTE:   Fabio GAVARINI

Codocente:   Andrea SANTI

ORARIO

Lunedì 9:00-11:00   -   Martedì 14:00-16:00   -   Giovedì 9:00-11:00   -   Venerdì 11:00-13:00

PROGRAMMA (versione definitiva)



BIBLIOGRAFIA:
[AaVv] - Autori Varî, Materiale vario disponibile in rete   (per gentile concessione degli autori)
[Ca1] - G. Campanella, Appunti di Algebra 1   (per gentile concessione dell'autore)
[Ca1-Es] - G. Campanella, Esercizi svolti di Algebra 1   (per gentile concessione dell'autore)
[Ca2] - G. Campanella, Appunti di Algebra 2   (per gentile concessione dell'autore)
[dR] - M. J. de Resmini, Appunti di Algebra [parziale!]   (per gentile concessione dei curatori)
[Gre] - E. Gregorio, Algebra   (per gentile concessione dell'autore)
[PC] - G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico, ed. Decibel/Zanichelli, Padova, 1996

  Materiale didattico vario (dispense, videolezioni, esercizi, compiti d'esame, ecc. ecc.) utile per questo corso  


                * * *                 * * *                 * * *                

QUARANTACINQUESIMA LEZIONE - 31 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Esercizi ed esempi varî su:
        - il prodotto diretto di anelli, monomorfismi ed epimorfismi canonici da/verso un prodotto diretto di anelli e un suo "sottoprodotto";
        - per ogni insieme E, la biiezione canonica dall'insieme delle parti P(E) all'insieme delle funzioni caratteristiche 2^E = Z₂^E è un isomorfismo di anelli;
        - l'anello delle funzioni a valori in un anello: supporto di una funzione; ideali definiti da condizioni sul supporto; i morfismi di "restrizione" tra anelli di funzioni;
        - se I è un ideale nell'anello A, allora il sottoinsieme I[x] dei polinomi a coefficienti in I è un ideale nell'anello A[x] , e l'anello quoziente A[x]/I[x] è isomorfo a (A/I)[x] ;
        - per un dominio (unitario) a ideali principali, il quoziente per un ideale (principale) generato da un elemento irriducibile (non nullo) è sempre un campo.
    FINE del CORSO (seguono soltanto esercitazioni e/o ripasso, a frequenza facoltativa)
    Esercizi:   Anelli e sottoanelli   -   Anelli, morfismi e ideali di anelli   -   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli euclidei, anelli a ideali principali

QUARANTAQUATTRESIMA LEZIONE - 30 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Esercizi ed esempi varî su:
        - calcolo esplicito della divisione tra due elementi in un anello euclideo,
        - calcolo esplicito del M.C.D.(a,b) e di una identità di Bézout per esso tramite l'algoritmo euclideo delle divisioni successive in un anello euclideo,
        - calcolo esplicito del m.c.m.(a,b) per due elementi a e b in un anello euclideo,
        - discussione e risoluzione esplicita di equazioni modulari, congruenziali e diofantee per un anello euclideo,
        - valutazione della invertibilità e (eventuale) calcolo dell'inverso per un elemento in un anello quoziente di un anello euclideo.
        - applicazioni del Teorema Fondamentale di Omomorfismo per anelli.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo III   -   [Ca2] Capitolo 1, paragrafo 3; capitolo 3, paragrafo 3   -   [PC] Capitolo 3, paragrafi 1-2; capitolo 4, paragrafo 7
    Esercizi:   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli euclidei, anelli a ideali principali

QUARANTATREESIMA LEZIONE - 28 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Domini a fattorizzazione (=D.F.) - detti anche "domini atomici" - e domini a fattorizzazione unica(=D.F.U.)
      Lemma: In un dominio unitario a ideali principali, ogni elemento irriducibile è primo.
      Teorema: (a) Ogni anello euclideo è un dominio a fattorizzazione unica.
        (b) Ogni dominio unitario a ideali principali è un dominio a fattorizzazione unica.
      Esempi di calcolo di fattorizzazioni in irriducibili.
      Esempi di domini a fattorizzazione che non sono domini a fattorizzazione unica.
    FINE del PROGRAMMA (seguono soltanto esercitazioni e/o ripasso)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo III, paragrafi 1, 2, 4 e 5   -   [Ca2] Capitolo 3, paragrafo 3   -   [PC] Capitolo 3, paragrafi 1-2; capitolo 4, paragrafo 7
    Esercizi:   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli euclidei, anelli a ideali principali

QUARANTADUESIMA LEZIONE - 27 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Esempi di anelli euclidei (continua):
          (6) l'anello Z[i] degli interi di Gauss è anello euclideo, con valutazione la (restrizione della) norma dei numeri complessi, che è moltiplicativa: in questo caso, quoziente e resto (in generale) non sono unici;
          (7) l'anello Z[√-2] - sottoanello di C - è anello euclideo, con valutazione la (restrizione della) norma dei numeri complessi, che è moltiplicativa: in questo caso, quoziente e resto (in generale) non sono unici.
      L'algoritmo di calcolo della divisione con resto negli anelli euclidei Z[i] e Z[√-2].
      Teorema: Ogni anello euclideo A è unitario e a ideali principali. In particolare, ogni ideale non nullo ha come generatori tutti e soli suoi elementi non nulli con valutazione minima possibile dominio unitario, l'unità di A ha valutazione minima possibile (maggiore della valutazione di 0) gli elementi invertibili sono tutti e soli gli elementi invertibili non nulli in A con valutazione minima possibile.
      Teorema: Per ogni dominio unitario a ideali principali A, per ogni a e b in A si ha:
        (1)   ∃ M.C.D.(a,b) =: d   in A, ed esiste una identità di Bézout per M.C.D.(a,b) ;
        (2)   ∃ m.c.m.(a,b) =: m   in A ;
        (3)   (a,b) = (a)+(b) = (d) ,   (a)∩(b) = (m) ;
        (4)   m d = a b ,   cioè   m.c.m.(a,b) M.C.D.(a,b) = a b .
      Corollario: Per ogni anello euclideo A, valgono gli enunciati (1)-(4) del Teorema precedente.
      Osservazione: Per ogni anello euclideo A, il M.C.D.(a,b) e una identità di B´zout per esso si calcolano tramite l'algoritmo euclideo delle divisioni successive; in conseguenza, le equazioni diofantee, le equazioni congruenziali, le equazioni modulari, e i sistemi di equazioni congruenziali si discutono e risolvono come nel caso dell'anello (euclideo) degli interi Z, vale il Teorema Cinese del Resto, ecc. ecc.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo III, paragrafi 1, 2, 4 e 5   -   [Ca2] Capitolo III, paragrafo 3   -   [PC] Capitolo 3, paragrafi 1-2; capitolo 4, paragrafo 7
    Esercizi:   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli euclidei, anelli a ideali principali

QUARANTUNESIMA LEZIONE (prof. Santi) - 24 Maggio 2024:
    Esercitazione complessiva su: anelli, sottoanelli, ideali, morfismi di anelli.
    Esercizi specifici per questa lezione: testo, soluzioni
    Altri esercizi sul tema:   Anelli e sottoanelli   -   Anelli, morfismi e ideali di anelli   -   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli euclidei, anelli a ideali principali

QUARANTESIMA LEZIONE - 23 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Relazioni di divisibilità e di "essere associato a" in un anello commutativo; casi particolari dei domini unitarî.
      Elementi primi, elementi riducibili e elementi irriducibili in un dominio unitario.
      Lemma: In un dominio unitario, ogni elemento primo è anche irriducibile.
      Massimo comun divisore M.C.D.(a,b) e minimo comune multiplo m.c.m.(a,b) tra due elementi a e b in un dominio unitario. Unicità a meno di associati del M.C.D. e del m.c.m.
      Anelli euclidei: definizione generale, casi speciali con valutazione moltiplicativa oppure additiva.
      Lemma: Ogni anello euclideo è un dominio.
      Esempi di anelli euclidei:
          (1) ogni campo è anello euclideo, per una valutazione costante sugli elementi non nulli, che in aggiunta può essere scelta moltiplicativa oppure additiva: in ogni caso, quoziente e resto sono sempre unici, con resto sempre pari a 0 ;
          (2) l'anello degli interi Z è anello euclideo, con valutazione il valore assoluto (che è moltiplicativa): quoziente e resto non sono unici, in generale, precisamente sono unici se e soltanto se il dividendo è un multiplo (intero) del divisore, e in quel caso il resto è 0 (e viceversa);
          (3) l'anello Z_(p) dei razionali con denominatore non divisibile per il primo p è anello euclideo, in cui quoziente e resto sono sempre unici, con uno dei due uguale a 0 ;
          (4) l'anello k[x] dei polinomi in x a coefficienti nel campo k è anello euclideo, con valutazione data dal grado, in cui quoziente e resto sono sempre unici;
          (5) l'anello k[[x]] delle serie formali in x a coefficienti nel campo k è anello euclideo (esercizio).
      L'algoritmo di calcolo della divisione con resto nell'anello euclideo k[x].
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo III, paragrafo 2   -   [PC] Capitolo 3, paragrafi 1-2; capitolo 4, paragrafo 7
    Esercizi:   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli euclidei, anelli a ideali principali

TRENTANOVESIMA LEZIONE - 21 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Teorema: Per ogni dominio D, esistono un campo Q(D) - detto "campo dei quozienti di D" - e un monomorfismo di anelli   j_D : D → Q(D)   tali che:
        (a) per ogni elemento q di Q(D) esistono due elementi d₊ in D e d_- in D^* := D \{0} tali che   q = j_D(d₊) ⋅ j_D(d_-)^-1 ;
        (b) se D è unitario, allora j_D(1_D) = 1_Q(D) , e inoltre   j_D(d^-1) = j_D(d)^-1   per ogni d in U(D) ;
        (c) se D è un campo, allora j_D è un isomorfismo.
      Applicazioni: (1) se D = Z, allora Q(Z) è il campo Q dei numeri razionali;
          (2) se D = k[x₁,...,x_n] , il suo campo dei quozienti   k(x₁,...,x_n) := Q(k[x₁,...,x_n])   si dice "campo delle funzioni razionali in x₁ , ... , x_n a coefficienti in k".
      Esempi varî di anelli e sottoanelli: (1) il campo Q(i) dei "complessi razionali"; (2) l'anello Z[i] degli interi di Gauss, (3) sottocampi e sottoanelli di C generati da radici quadrate di numeri razionali o numeri interi; (4) nell'anello A^E delle funzioni da un insieme E a un anello A, le funzioni che si annullano su un sottoinsieme formano un ideale di A^E.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 5; capitolo III, paragrafo 5   -   [Ca2] Capitolo 3, paragrafo 2   -   Anelli - 3 (Gavarini)   -   [PC] Capitolo 2, paragrafo 4; capitolo 4, paragrafo 6
    Esercizi:   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli, morfismi e ideali di anelli   -   Anelli e sottoanelli

TRENTOTTESIMA LEZIONE - 20 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Proposizione: Gli ideali in un anello A sono tutti e soli i nuclei dei morfismi di anelli che hanno A come dominio.
      Il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Anelli.
      Le corrispondenze tra sottoanelli, o tra ideali (bilateri), nel dominio e nel codominio di un morfismo tra anelli. Il caso particolare degli anelli quoziente.
      L'ideale (bilatero) generato da un sottoinsieme: definizione, esistenza, descrizione (insiemistica e "puntuale").
      Ideali principali, anelli a ideali principali: esempi e controesempi di ideali principali.
      Esercizio: Un anello commutativo in cui ogni ideale sia composto dai multipli di un singolo elemento dato è unitario e a ideali principali.
      Anelli di funzioni (a valori in un anello).
    Bibliografia:   [Ca2] Capitolo 1, paragrafi 2, 3 e 5   -   Anelli - 2 (Gavarini)   -   Anelli - 3 (Gavarini)   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 2-6
    Esercizi:   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli, morfismi e ideali di anelli   -   Anelli e sottoanelli

TRENTASETTESIMA LEZIONE (prof. Santi) - 17 Maggio 2024:
    Esercitazione complessiva su: gruppi, sottogruppi, sottogruppi normali, morfismi di gruppi, gruppi simmetrici (di permutazioni).
    Esercizi specifici per questa lezione: testo, soluzioni
    Altri esercizi sul tema:   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente   -   Sottogruppi, gruppi simmetrici (Schoof)

TRENTASEIESIMA LEZIONE - 16 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Teorema: Per ogni semianello S che sia cancellativo per l'operazione "+", esistono un anello A(S) e un monomorfismo di semianelli   j_S : S → A(S)   tali che:
        (a) per ogni elemento a di A(S) esistono due elementi s₊ e s_- in S tali che a sia la somma di j_S(s₊) con l'opposto di j_S(s_-);
        (b) se (S;+) ha uno 0_S , allora j_S(0_S) = 0_A(S) ;
        (c) se (S;⋅) ha un 1_S , allora A(S) è unitario e j_S(1_S) = 1_A(S) ;
        (d) se S è commutativo, allora A(S) è commutativo;
        (e) se S è un anello, allora j_S è un isomorfismo.
      Applicazione: se S = (N;+,⋅), allora A(S) = (Z;+,⋅) .
      Teorema di Cayley (per anelli): Per ogni anello A, il morfismo di semigruppi λ^⋅ : (A;⋅) → (A^A;∘) dato dal Teorema di Cayley per semigruppi si corestringe ad un morfismo di anelli λ^⋅ da A all'anello End(A;+) degli endomorfismi di (A;+). Se inoltre A è unitario, allora λ^⋅ manda 1_A inn id_A ed è iniettivo. In particolare, in tal modo ogni anello unitario A è isomorfo ad un sottoanello unitario di un anello di endomorfismi del gruppo abeliano (A;+).
      Congruenze in un anello. Anelli quoziente. Proprietà di un anello ereditate (o non ereditate) dai suoi quozienti.
      Proposizione: Le congruenze in un anello A sono tutte e sole le equivalenze associate ai morfismi di anelli che hanno A come dominio.
      Ideali (bilateri) in un anello.
      Proposizione: In un anello A, la biiezione tra le congruenze del gruppo (A;+) e i sottogruppi (automaticamente normali) di (A;+) induce - per restrizione e corestrizione - una biiezione tra le congruenze dell'anello A e gli ideali (bilateri) di A.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafi 4-5   -   [Ca2] Capitolo 1, paragrafo 2   -   Anelli - 2 (Gavarini)   -   [PC] Capitolo 2, paragrafo 1; capitolo 4, paragrafi 1, 2 e 3
    Esercizi:   Anelli e sottoanelli   -   Anelli, morfismi e ideali di anelli

TRENTACINQUESIMA LEZIONE - 14 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Anelli e semianelli: definizione generale, (sotto)classi particolari (anelli commutativi / unitari / integri; corpi e campi).
      Proprietà elementari in un anello. Ogni corpo è integro, ogni campo è un dominio.
      Sottoanelli di un anello; criterio perché un sottoinsieme sia un sottoanello.
      Proposizione: L'intersezione di una qualunque famiglia di sottoanelli è un sottoanello.
      Il sottoanello generato da un sottoinsieme: definizione, esistenza, descrizione (insiemistica e "puntuale").
      Morfismi di anelli; immagine e nucleo di un morfismo di anelli.
      Proposizione: Per ogni morfismo di anelli φ : A → R si ha:
          (a) φ è banale (=costante) ⇔ Im(φ) = {0_R} ⇔ Ker(φ) = A ;
          (b) φ è suriettivo ⇔ Im(φ) = R ;
          (c) φ è iniettivo ⇔ Ker(φ) = {0_A} .
      Esempi e controesempi varî di anelli (generali e di sottoclassi particolari): anelli numerici; l'insieme delle parti P(E) di un insieme E (rispetto alla differenza simmetrica e all'intersezione); l'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano; l'anello delle matrici quadrate (a coefficienti in un anello qualsiasi); l'anello dei polinomi A[x], l'anello delle serie formali (di potenze) A[[x]], l'anello dei polinomi di Laurent A[x,x^-1], e l'anello delle serie formali di Laurent A((x)) in una variabile x a coefficienti in un anello arbitrario A.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4; capitolo III, paragrafo 1   -   Anelli - 1 (Gavarini)   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 1-2; capitolo 3, paragrafo 1
    Esercizi:   Anelli e sottoanelli

TRENTAQUATTRESIMA LEZIONE - 13 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Proposizione: Se due insiemi sono equipotenti, i loro gruppi di permutazioni sono isomorfi.
    Gruppi di permutazioni finiti. La notazione (standard) con matrice a due righe per una permutazione. La decomposizione di una permutazione in prodotto di cicli a due a due disgiunti (e quindi tra loro commutanti).
    Calcolo del prodotto di composizione e dell'inversa per permutazioni, in termini della notazione con matrice a due righe, e in termini della decomposizione in prodotto di cicli disgiunti.
    I gruppi diedrali: definizione, descrizione (rotazioni vs. riflessioni), presentazione in termini di una rotazione "fondamentale" e di una riflessione, struttura.
    Esempi ed esercizi varî su gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 3-4   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 2 e 4
    Esercizi:   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente

TRENTATREESIMA LEZIONE - 10 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Immagine Im(φ) e nucleo Ker(φ) di un morfismo di gruppi φ : G → K . L'immagine è sottogruppo del codominio, il nucleo è sottogruppo normale del dominio; le fibre dei valori assunti dal morfismo sono tutte e sole le classi laterali del nucleo.
      Proposizione: Per un morfismo di gruppi φ : G → K si ha:
          (a) φ è banale (=costante) ⇔ Im(φ) = {1_K} ⇔ Ker(φ) = G ;
          (b) φ è suriettivo ⇔ Im(φ) = K ;
          (c) φ è iniettivo ⇔ Ker(φ) = {1_G} .
      Proposizione: Sia G un gruppo.
          (a) Le congruenze in G sono tutte e sole le equivalenze associate a morfismi con dominio G.
          (b) I sottogruppi normali di G sono tutti e soli i nuclei dei morfismi con dominio G.
      Il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Gruppi.
      Corrispondenze tra sottogruppi - eventualmente normali - di G e sottogruppi - eventualmente normali in Im(G) - di G' rispetto a un morfismo di gruppi   ϕ: G → G'. La biiezione indotta tra sottogruppi (ev. normali) contenenti Ker(ϕ) e sottogruppi (ev. normali) contenuti in Im(ϕ). Il caso suriettivo.
      Sottogruppi e sottogruppi normali in un gruppo quoziente.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 6-7   -   [Ca2] Capitolo 1, paragrafi 1 e 3   -   Gruppi - 4 (Gavarini)   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 2-3 e 5-6   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 7-10
    Esercizi:   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente

TRENTADUESIMA LEZIONE - 9 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      L'indice (G:H) di un sottogruppo H in un gruppo G.
      Teorema di Lagrange: Per ogni gruppo finito G si ha ω(G) = (G:H) ω(H) , cioè |G| = (G:H) |H| . In particolare, l'ordine e l'indice del sottogruppo H sono divisori dell'ordine del gruppo G.
      Conseguenze del Teorema di Lagrange:
          (1) In ogni gruppo finito, l'ordine di ogni elemento divide l'ordine del gruppo;
          (2) ogni gruppo finito di ordine primo è privo di sottogruppi non banali, ed è ciclico;
          (3) il Piccolo Teorema di Fermat: Se p è un primo e a è un intero, allora a ^p = a in Z_p ;
          (4) il Teorema di Eulero-Fermat: Se n è un naturale e a è un intero coprimo con n, allora a ^ϕ(n) = 1 in Z_n .
      Sottogruppi normali in un gruppo. In un gruppo abeliano (=commutativo) tutti i sottogruppi sono normali.
      Teorema: Per ogni congruenza κ in un gruppo G, la classe di equivalenza di 1_G è un sottogruppo normale, per il quale le equivalenze destra e sinistra associate coincidono con κ stessa.
      Teorema: Per ogni sottogruppo H in un gruppo G, le seguenti proprietà sono equivalenti:   (a) l'equivalenza destra ϱ_d^H associata ad H è una conguenza;   (b) l'equivalenza sinistra ϱ_s^H associata ad H è una conguenza;   (c) ϱ_d^H = ϱ_s^H ;   (d) il sottogruppo H è normale in G.
      Teorema: Esiste una biiezione canonica tra le congruenze in un gruppo e i sottogruppi normali del gruppo stesso.
      Gruppi quoziente modulo un sottogruppo normale. Il prodotto tra classi laterali (destre o sinistre) in un gruppo quoziente come prodotto insiemistico.
      Applicazione: (a) i sottogruppi (normali) N del gruppo (Z;+) sono tutti e soli quelli della forma N = nZ, per ogni n in Z; (b) le equivalenze compatibili nel gruppo (Z;+) sono tutte e sole le congruenze modulo n, per ogni n in Z.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 5 e 7   -   [Ca2] Capitolo 1, paragrafo 1   -   Gruppi - 2 (Gavarini)   -   Gruppi - 3 (Gavarini)   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 3, 4, 5 e 7   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 5 e 8
    Esercizi:   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente

TRENTUNESIMA LEZIONE - 7 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Teorema di Struttura dei Gruppi Ciclici: Ogni gruppo ciclico è isomorfo a Z - se è infinito - oppure a Z_n - se è finito di ordine n. In particolare, l'ordine di un gruppo ciclico coincide con l'ordine di un suo qualsiasi generatore.
      Corollario: Le classi di isomorfismo dei gruppi ciclici sono in biiezione con N₊ ∐ {∞} , data da G ↦ |G| .
      Proposizione: Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è a sua volta ciclico, ed esiste una formula esplicita per un suo generatore.
      Teorema: Per ogni gruppo ciclico G, esiste una biiezione dall'insieme dei sottogruppi di G all'insieme N+ (se G è infinito) oppure all'insieme dei divisori dell'ordine di G (se G è finito).
      Proposizione: In un gruppo ciclico G, i generatori sono in biiezione - tramite l'isomorfismo standard - con gli elementi di U(Z_n; ⋅ ), con n:=0 se G è infinito e n:=|G| se G è finito.
      Le relazioni di equivalenza (destra e sinistra) in un gruppo G associate ad un sottogruppo H; classi laterali (destre o sinistre) come classi di equivalenza di tali equivalenze.
      Proposizione: (a) Le classi laterali (destre e/o sinistre) di un sottogruppo H hanno tutte la stessa cardinalità di H stesso. (b) Gli insiemi di classi laterali (destre o sinistre) G/H e H\G hanno la stessa cardinalità.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 2 e 5   -   Gruppi - 1 (Gavarini)   -   Gruppi - 2 (Gavarini)   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 3 e 7-13   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 1 e 5
    Esercizi:   Gruppi, sottogruppi

TRENTESIMA LEZIONE - 6 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Prodotto diretto di gruppoidi; proprietà notevoli ereditate dal prodotto diretto (esercizio). Proiezioni canoniche dal prodotto diretto ai fattori; immersioni canoniche dei fattori in prodotto diretto di monoidi (esercizio).
      Sottogruppi di un gruppo: definizione, proprietà caratterizzanti. Criterio perché un sottoinsieme di un gruppo sia un sottogruppo.
      Unione e intersezione di sottogruppi: l'unione non è (in generale) un sottogruppo, l'intersezione è (sempre) un sottogruppo.
      Il sottogruppo generato da un sottoinsieme: definizione, esistenza, descrizione (insiemistica e "puntuale").
      Gruppi (e sottogruppi) ciclici: definizione, proprietà elementari.
      L'ordine ω(G) := |G| di un gruppo G ; l'ordine ω(g) di un elemento g in un gruppo.
      Proprietà fondamentali dell'ordine di un elemento g in un gruppo.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 1-2   -   Gruppi - 1 (Gavarini)   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 1, 2 e 8   -   [PC] Capitolo 5, paragrafo 1
    Esercizi:   Gruppi, sottogruppi

VENTINOVESIMA LEZIONE - 3 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Proposizione: Per ogni morfismo di gruppoidi φ, l'equivalenza ρ_φ ad esso canonicamente associata nel dominio di φ è compatibile con l'operazione data in tale dominio.
      Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Gruppoidi: Ogni morfismo di gruppoidi φ da Γ a K si fattorizza nel prodotto di un epimorfismo - la proiezione canonica Γ sul gruppoide Γ/ρ_φ quoziente di Γ per la congruenza ρ_φ associata a φ - seguita da un isomorfismo - dal quoziente Γ/ρ_φ all'immagine Im(φ) di φ - seguita a sua volta da un monomorfismo - l'immersione di Im(φ) in K. In particolare, Γ/ρ_φ e Im(φ) sono gruppoidi isomorfi, tramite un isomorfismo canonico φ_* indotto da φ.
      Gruppoidi cancellativi: definizione, esempi, controesempi.
      Lemma: Ogni gruppo è cancellativo (come gruppoide).
      Teorema: Per ogni semigruppo cancellativo abeliano S, esistono un gruppo abeliano G(S) e un monomorfismo   j_S : S → G(S)   tali che per ogni elemento g di G(S) esistano due elementi s₊ e s_- in S tali che g sia il prodotto di j_S(s₊) per j_S(s_-)^-1. Inoltre, se S è un monoide, allora j_S è unitario, e se S è un gruppo, allora j_S è un isomorfismo.
      Applicazioni: Costruzione di (Z ; + ), risp. di (Q₊ ; ⋅ ), risp. di (Q\{0} ; ⋅ ), come gruppo abeliano G(S) associato al semigruppo abeliano cancellativo (S ; ∗ ) := (N ; + ) oppure (S ; ∗ ) := (N₊ ; + ) , risp. (S ; ∗ ) := (N₊ ; ⋅ ) , risp. (S ; ∗ ) := (Z\{0} ; ⋅ ) .
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4   -   Gruppoidi e morfismi - 2 (Gavarini)   -   [Gre] Capitolo 3   -   [PC] Capitolo 5, paragrafo 8; capitolo 2, paragrafo 1
    Esercizi:   Gruppoidi, morfismi

VENTOTTESIMA LEZIONE - 2 Maggio 2024:
    Contenuto della lezione:
      Richiami su gruppoidi, semigruppi, monoidi, gruppi, ecc. ecc.
      (Omo)Morfismi tra gruppoidi; epimorfismi, monomorfismi, isomorfismi, endomorfismi, automorfismi. Gruppoidi isomorfi. Esempi varî di morfismi.
      Proprietà di base dei morfismi:
          (a) l'identità (di un gruppoide in sé) è un automorfismo;
          (b) la composizione di morfismi è un morfismo;
          (c) un morfismo è isomorfismo se e soltanto se è invertibile come funzione;
          (d) ogni morfismo unitario di monoidi si restringe a un morfismo dei loro gruppi degli elementi invertibili;
          (e) gli endomorfismi, risp. gli automorfismi, di un gruppoide formano un monoide, risp. un gruppo, rispetto al prodotto di composizione;
          (f) l'immagine tramite un morfismo di un gruppoide commutativo, risp. di un semigruppo, risp. di un monoide, risp. di un gruppo, è un gruppoide commutativo, risp. un semigruppo, risp. un monoide, risp. un gruppo (rispetto all'operazione).
      Teorema di Cayley (per semigruppi): Per ogni semigruppo S, c'è un morfismo λ da S a S^S (monoide rispetto alla composizione) dato dalla moltiplicazione a sinistra. Se inoltre S è un monoide, allora λ manda l'elemento neutro nell'elemento neutro ed è iniettivo. In particolare, se S = G è un gruppo, allora λ dà un monomorfismo di gruppi da G a S(G).
      Richiami su relazioni compatibili (=congruenze) in un gruppoide e relativo gruppoide quoziente. La proiezione canonica da un gruppoide al gruppoide quoziente (associata a una congruenza data) è un morfismo di gruppoidi.
      Proposizione: Il quoziente di un gruppoide che sia commutativo, risp. sia un semigruppo, risp. sia un monoide, risp. sia un gruppo, è a sua volta commutativo, risp. un semigruppo, risp. un monoide, risp. un gruppo.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4   -   [Ca2] Capitolo 2, paragrafo 1   -   Gruppoidi e morfismi - 1 (Gavarini)   -   [Gre] Capitolo 3   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 1, 6, 7 e 8
    Videolezione:   Insiemi con una operazione
    Esercizi:   Gruppoidi, morfismi

VENTISETTESIMA LEZIONE (prof. Santi) - 30 Aprile 2024:
    Esercitazione complessiva su: (1) risoluzione degli esercizi del compito d'esonero del 29 Aprile 2024; (2) equazioni modulari, radici di polinomi a coefficienti in Z_n (esercizi 8 e 9 del 19 Aprile 2024).
    Esercizi specifici per questa lezione: testo del compito , esercizi del 19 Aprile 2024 , soluzioni
    Altri esercizi sul tema:   Scrittura posizionale, MCD & equazioni diofantee   -   MCD & equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali & modulari   -   Equazioni diofantee, congruenziali & modulari; aritmetica modulare   -   Aritmetica modulare   -   Scrittura posizionale

VENTISEIESIMA LEZIONE - 23 Aprile 2024:
    Contenuto della lezione:
      Esercizi ed esempi varî su:
        - equazioni modulari, equazioni congruenziali, equazioni diofantee, sistemi di equazioni congruenziali;
        - calcolo di inversi in Z_n (applicazioni del Teorema di Eulero, ecc.);
        - relazioni in un insieme;
        - equivalenze: classi di equivalenza, insiemi quo-zienti, ecc.;
        - applicazioni del Teorema Fondamentale delle Applicazioni per la descrizione esplicita di un dato insieme quoziente.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 3; capitolo II, paragrafi 2, 4, 5, 6   -   [PC] Capitolo 1, paragraf 2; capitolo 2, paragrafi 2, 6, 7, 8
    Esercizi:   Scrittura posizionale, MCD & equazioni diofantee   -   MCD & equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali & modulari   -   Equazioni diofantee, congruenziali & modulari; aritmetica modulare   -   Aritmetica modulare   -   Scrittura posizionale

VENTICINQUESIMA LEZIONE - 22 Aprile 2024:
    Contenuto della lezione:
      Potenze in Z_n : ripetitività, algoritmo di riduzione degli esponenti.
      Il Piccolo Teorema di Fermat (senza la dimostrazione) e il Teorema di Eulero (senza la dimostrazione).
      Esempi espliciti di calcolo di potenze in Z_n .
      Esercizi varî su: equazioni diofantee, equazioni congruenziali, equazioni modulari, calcolo di inversi in Z_n , sistemi di equazioni congruenziali (tramite il metodo delle sostituzioni successive e tramite applicazione diretta del Teorema Cinese del Resto), relazioni di preordine o di equivalenza in un insieme (classi di equivalenza, insiemi quozienti, ecc.).
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 2, 4, 5, 6   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 2, 6, 7, 8
    Esercizi:   Scrittura posizionale, MCD & equazioni diofantee   -   MCD & equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali & modulari   -   Equazioni diofantee, congruenziali & modulari; aritmetica modulare   -   Aritmetica modulare   -   Scrittura posizionale

VENTIQUATTRESIMA LEZIONE (prof. Santi) - 19 Aprile 2024:
    Esercitazione complessiva su: MCD tra interi, identità di Bézout, equazioni diofantee, equazioni congruenziali, equazioni modulari, classi resto invertibili, sistemi di equazioni congruenziali, scrittura posizionale in base arbitraria.
    Esercizi specifici per questa lezione: testo , soluzioni
    Altri esercizi sul tema:   Scrittura posizionale, MCD & equazioni diofantee   -   MCD & equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali & modulari   -   Equazioni diofantee, congruenziali & modulari; aritmetica modulare   -   Aritmetica modulare   -   Scrittura posizionale

VENTITREESIMA LEZIONE - 18 Aprile 2024:
    Contenuto della lezione:
      Teorema Cinese del Resto (per sistemi cinesi e per sistemi generali).
      Somma e prodotto in Z_r1 × Z_r2 × ··· × Z_rk (per interi r₁ , r₂ , ... , r_k arbitrari). L'insieme Z_r1 × Z_r2 × ··· × Z_rk con tali operazioni è un anello commutativo unitario.
      Per interi r₁ , r₂ , ... , r_k a due a due coprimi, esiste una biiezione canonica da Z_{r1 r2 ··· rk} a Z_r1 × Z_r2 × ··· × Z_rk che rispetta somma e prodotto. Tale biiezione si restringe ad una biiezione U(Z_{r1 r2 ··· rk}) a U(Z_r1) × U(Z_r2) × ··· × U(Z_rk) che rispetta il prodotto.
      La funzione φ di Eulero. L'insieme U(Z_n) delle classi invertibili in Z_n ha cardinalità φ(n) .
      Esempi di calcolo della funzione di Eulero. La funzione di Eulero sulle potenze di un primo.
      Semimoltiplicatività della funzione di Eulero: se q e t sono primi tra loro, allora φ(q t) = φ(q) φ(t) .
      Formula generale esplicita per φ(n) - in funzione della fattorizzazione di n in potenze di primi a due a due distinti.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 5-6   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 7-8
    Esercizi:   Scrittura posizionale, MCD & equazioni diofantee   -   MCD & equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali & modulari   -   Equazioni diofantee, congruenziali & modulari; aritmetica modulare   -   Aritmetica modulare

VENTIDUESIMA LEZIONE - 16 Aprile 2024:
    Contenuto della lezione:
      Descrizione esplicita dell'insieme di tutte le soluzioni di un'equazione congruenziale o di un'equazione modulare.
      Criterio di invertibilità di una classe in Z_n : calcolo dell'insieme U(Z_n) degli elementi invertibili in Z_n . Calcolo dell'inverso di una classe invertibile mediante risoluzione di una equazione congruenziale.
      Proposizione: L'anello (Z_n ; + , · ) è un campo ⇔ n è irriducibile.
      Proposizione: Per ogni n in Z₊ , le seguenti proprietà sono equivalenti:
        (a) n è primo;
        (b) n è irriducibile;
        (c) Z_n è un domino;
        (d) Z_n è un campo.
      Sistemi di equazioni congruenziali (lineari); sistemi in forma cinese (o "sistemi cinesi").
      Riduzione di un sistema di equazioni congruenziali (compatibili) ad uno in forma cinese.
      Esempi di calcolo di classi inverse; esempi di risoluzione di equazioni modulari o congruenziali.
    Bibliografia:   [AaVv] file Congruenze, aritmetica modulare(D'Andrea), paragrafi 1-3   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 4-5   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 6-7
    Esercizi:   Scrittura posizionale, MCD & equazioni diofantee   -   MCD & equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali & modulari   -   Equazioni diofantee, congruenziali & modulari; aritmetica modulare   -   Aritmetica modulare

VENTUNESIMA LEZIONE - 15 Aprile 2024:
    Contenuto della lezione:
      Richiami sulle congruenze modulo n in Z; generalità, descrizione delle classi di congruenza modulo n, descrizione dell'insieme quoziente Z_n := Z_/≡_n .
      Lemma: Ogni congruenza modulo n è compatibile con le operazioni di somma e prodotto in Z.
      Definizione di somma e prodotto in Z_n .
      Proposizione: L'insieme Z_n con le suddette operazioni di somma e prodotto è un anello commutativo unitario.
      Divisori di zero in un anello commutativo unitario. Dominî.
      Proposizione: L'anello (Z_n ; + , · ) è un dominio ⇔ n è primo.
      Classi di congruenza e scrittura posizionale. Criteri di divisibilità in Z in termini della scrittura posizionale (in base arbitraria): strategia generale ed esempi specifici.
      Equazioni diofantee in Z, equazioni congruenziali in Z, equazioni modulari in Z_n: definizione, connessione tra i tre tipi di equazioni.
      Discussione, equazioni equivalenti, semplificazione, criterio di risolubilità, metodo per il calcolo di una soluzione particolare e di tutto l'insieme delle soluzioni per equazioni diofantee/congruenziali/modulari.
    Bibliografia:   [AaVv] file Congruenze, aritmetica modulare(D'Andrea), paragrafi 1-2   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 2-5   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 1-3 e 6-7
    Esercizi:   Scrittura posizionale, MCD & equazioni diofantee   -   MCD & equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali & modulari   -   Equazioni diofantee, congruenziali & modulari; aritmetica modulare   -   Aritmetica modulare

VENTESIMA LEZIONE - 12 Aprile 2024:
    Contenuto della lezione:
      Operazioni (binarie) in un insieme; gruppoidi. Proprietà speciali (associatività / commutatività) e elementi speciali (elementi neutri / elementi inversi) per un'operazione. Gruppoidi speciali: semigruppi, gruppoidi unitarî, monoidi, gruppi. Esempi e controesempi.
      Unicità dell'elemento neutro (se esiste) in un gruppoide. Unicità dell'elemento inverso (se esiste) in un monoide.
      Insiemi con due operazioni. Casi speciali: semianelli, anelli, corpi, campi. Esempi e controesempi.
      Equivalenze compatibili rispetto a un'operazione (o "congruenze"). Il gruppoide quoziente di un gruppoide rispetto ad una congruenza.
      Il (gruppoide) quoziente di un gruppoide unitario, risp. gruppoide commutativo, risp. semigruppo, risp. monoide, risp. gruppo, è un gruppoide unitario, risp. gruppoide commutativo, risp. semigruppo, risp. monoide, risp. gruppo.
      Il quoziente di un semianello (eventualmente unitario / commutativo), risp. anello, risp. corpo, risp. campo, è un semianello (eventualmente unitario / commutativo), risp. anello, risp. corpo, risp. campo.
      L'esempio delle congruenze modulo n come equivalenze compatibili con somma e prodotto nell'anello degli interi Z.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4   -   Gruppoidi e morfismi - 1 (Gavarini)   -   Insiemi con una operazione (Gavarini)   -   Insiemi con più operazioni (Gavarini)   -   [Gre] Capitolo 3; capitolo 4, paragrafo 1   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 1 e 6
    Videolezioni:   Insiemi con una operazione   -   Insiemi con più operazioni
    Esercizi:   Gruppoidi, morfismi

DICIANNOVESIMA LEZIONE - 11 Aprile 2024:
    Contenuto della lezione:
      Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: Esistenza e unicità di una fattorizzazione in irriducibili per interi non nulli e non invertibili - dimostrazione dell'unicità.
      L'espressione unica di un intero non nullo come prodotto di un invertibile e di potenze di irriducibili prefissati.
      Divisibilità tra un intero e un altro in termini delle loro fattorizzazioni (come sopra) in prodotto di un fattore invertibile e fattori irriducibili.
      Esistenza e forma esplicita di MCD(a,b) e di mcm(a,b) in termini di fattorizzazioni di a e di b ; la relazione MCD(a,b) mcm(a,b) = a b .
      Il calcolo di mcm(a,b) come mcm(a,b) = (ab)/MCD(a,b) mediante il calcolo di MCD(a,b) tramite l'algoritmo euclideo delle divisioni successive.
      Equazioni diofantee (=e.d.); equazioni diofantee equivalenti; equazioni diofantee omogenee (=e.d.o.); l'equazione diofantea omogenea associata ad una data.
      Teorema di Struttura (per equazioni diofantee): L'insieme delle soluzioni di una e.d. si ottiene sommando una soluzione particolare all'insieme delle soluzioni dell'e.d.o. associata.
      Criterio per l'esistenza di soluzioni di una e.d.: Una equazione diofantea ammette soluzioni ⇔ il MCD tra i coefficienti (delle incognite) divide il termine noto dell'equazione.
      Procedura esplicita per il calcolo di una soluzione particolare di una equazione diofantea qualunque.
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri interi (D'Andrea), paragrafo 4   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 2-3   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 2-3
    Esercizi:   MCD & equazioni diofantee

DICIOTTESIMA LEZIONE - 9 Aprile 2024:
    Contenuto della lezione:
      Teorema di Euclide: Esistono infiniti numeri interi irriducibili.
      Massimo comun divisore (=M.C.D.) e minimo comun multiplo (=m.c.m.) di due numeri interi. Numeri interi coprimi (o "primi tra loro").
      Unicità a meno di ~-equivalenza per MCD(a,b) e per mcm(a,b).
      La divisione con resto (o "divisione euclidea") tra numeri interi. Quoziente e resto sono unici se e soltanto se il resto è 0.
      Esistenza di MCD(a,b) in Z, e di una identità di Bézout per esso.
      L'algoritmo euclideo delle divisioni successive per il calcolo esplicito di MCD(a,b) e di un'identità di Bézout per esso.
      Proposizione: Tra i numeri interi, ogni irriducibile è primo.
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri interi (D'Andrea), paragrafo 4   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 1-3   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 1-3
    Esercizi:   Numeri Interi   -   MCD & equazioni diofantee

DICIASSETTESIMA LEZIONE - 8 Aprile 2024:
    Contenuto della lezione:
      Costruzione dei numeri interi a partire dai numeri naturali, come Z := Z₊ ∐ {0_Z} ∐ Z_- . Operazioni di somma e prodotto e relazione d'ordine in Z.
      Proprietà fondamentali delle operazioni e dell'ordine per numeri interi.
      Fattorizzazioni banali, fattorizzazioni equivalenti.
      La relazione di divisibilità in Z. Elementi invertibili, elementi associati. Elementi riducibili, elementi irriducibili, elementi primi.
      Lemma: Ogni elemento primo è irriducibile.
      La funzione valore assoluto (o modulo) da Z a N, e sue proprietà fondamentali.
      Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: Esistenza e unicità di una fattorizzazione in irriducibili per interi non nulli e non invertibili - dimostrazione dell'esistenza.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo II, paragrafo 3   -   [PC] Capitolo 2, paragrafo 1
    Esercizi:   Numeri Interi

SEDICESIMA LEZIONE (prof. Santi) - 5 Aprile 2024:
    Esercitazione complessiva su: relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, insiemi quoziente, cardinalità, scrittura posizionale in base arbitraria.
    Esercizi specifici per questa lezione: testo , soluzioni
    Altri esercizi sul tema:   Relazioni 1   -   Relazioni 2   -   Cardinalità   -   Scrittura posizionale

QUINDICESIMA LEZIONE - 4 Aprile 2024:
    Contenuto della lezione:
      Elementi di calcolo combinatorio:
        - calcolo del numero di funzioni da un insieme finito ad un altro;
        - calcolo del numero di funzioni iniettive da un insieme finito ad un altro;
        - calcolo del numero di biiezioni tra due insieme finiti con n elementi: la funzione "fattoriale";
        - calcolo del numero di sottoinsiemi con k elementi in un insieme con n elementi: i coefficienti binomiali.
      Esercizi varî su problemi combinatorî.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 2   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 6
    Esercizi:   Combinatoria

QUATTORDICESIMA LEZIONE - 28 Marzo 2024:
    Contenuto della lezione:
      1^o Teorema di Cantor: L'unione disgiunta di una famiglia numerabile di insiemi numerabili è a sua volta numerabile.  
      Corollario: L'unione di una famiglia finita o numerabile di insiemi finiti o numerabili è a sua volta finita o numerabile.
      Esempi: Gli insiemi Z e Q.
      Operazioni tra cardinali: somma, prodotto, potenza.
      2^o Teorema di Cantor: Per ogni insieme X, la cardinalità dell'insieme delle parti P(X) e la cardinalità dell'insieme delle funzioni caratteristiche 2^X sono strettamente maggiori della cardinalità di X.
      I numeri cardinali infiniti superiori "ℵ_n", per ogni n in N; la cardinalità del continuo ℵ₁ := |P(N)| . La "cardinalità del continuo" è la cardinalità dell'insieme dei numeri reali, cioè   |R| = ℵ₁ := |P(N)|   (senza dimostrazione).
      Teorema (Zermelo): L'ordinamento tra numeri cardinali è buono, e quindi in particolare è totale (senza dimostrazione).
      L'ipotesi del continuo e l'ipotesi del continuo generalizzata; distribuzione dei numeri cardinali rispetto alla relazione d'ordine (cenni).
    Bibliografia:   [AaVv] file Cardinalità (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 6   -   [dR] pp. 139-144, 153-156   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 5
    Videolezioni:   Cardinalità 1   (insiemi equipotenti, cardinalità; Primo Teorema di Cantor)   -   Cardinalità 2   (Secondo Teorema di Cantor)
    Esercizi:   Cardinalità

TREDICESIMA LEZIONE - 26 Marzo 2024:
    Contenuto della lezione:
      Equipotenza tra insiemi; l'equipotenza è una equivalenza nella classe di tutti gli insiemi.
      Cardinalità di un insieme, numeri cardinali. Insiemi finiti, insiemi infiniti; insiemi (infiniti) numerabili: la cardinalità del numerabile ℵ₀ := |N| . Insiemi contabili.
      Relazione d'ordine tra numeri cardinali: il Teorema di Schroeder-Bernstein (senza dimostrazione della antisimmetria).
      Proprietà degli insiemi numerabili: (a) Ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile; (b) in un insieme numerabile, ogni sottoinsieme o è finito oppure è numerabile.
      Corollario: La cardinalità del numerabile ℵ₀ := |N| è strettamente maggiore di ogni cardinale finito, ed è minore o uguale ad ogni cardinale infinito.
      Caratterizzazione degli insiemi infiniti: Per ogni insieme X le seguenti proprietà sono equivalenti:   (a) X è infinito,   (b) esiste una funzione iniettiva dall'insieme dei numeri naturali ad X,   (c) esiste un sottoinsieme proprio di X che è equipotente ad X stesso.
      Proposizione: L'insieme N×N è numerabile.
    Bibliografia:   [AaVv] file Cardinalità (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 6   -   [dR] pp. 139-141, 153-156   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 5
    Videolezione:   Cardinalità 1   (insiemi equipotenti, cardinalità; Primo Teorema di Cantor)
    Esercizi:   Cardinalità

DODICESIMA LEZIONE - 25 Marzo 2024:
    Esercitazione sulla scrittura posizionale in base arbitraria: cambiamenti di base, conversioni "facili", algoritmi di calcolo di somma, prodotto e divisione con resto usando la scrittura posizionale in base arbitraria, ecc. ecc.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo II, paragrafo 2   -   [dR] Capitolo 3, paragrafo 8  
    Videolezioni:   Numerazione (numerazione in base arbitraria / scrittura posizionale)
    Esercizi:   Scrittura posizionale

UNDICESIMA LEZIONE (prof. Santi) - 22 Marzo 2024:
    Esercitazione complessiva su: funzioni caratteristiche, relazioni, equivalenze, dimostrazioni per induzione.
    Esercizi specifici per questa lezione: testo , soluzioni
    Altri esercizi sul tema:   Corrispondenze   -   Funzioni, Corrispondenze   -   Insiemi, Funzioni, Relazioni   -   Funzioni   -   Relazioni 1   -   Relazioni 2

DECIMA LEZIONE - 21 Marzo 2024:
    Contenuto della lezione:
      Formulazioni alternative del Principio di Induzione (Debole): il Principio di Induzione Forte (=Pr.I.F.) e il Principio del Minimo (=Pr.M.).
      Teorema: Se si assumono gli altri assiomi di Peano, il Pr.I.D., il Pr.I.F. e il Pr. M. sono a due a due equivalenti.
      Corollario: L'ordinamento canonico in un S.N.N. è buono.
      Il metodo di Dimostrazione per Induzione, dei vari tipi (debole, forte - base dell'induzione, passo induttivo - o con principio del minimo).
      Esempio fondamentale di dimostrazione per induzione: la divisione con resto tra numeri naturali - esistenza e unicità di quoziente e resto (dimostrazione dell'unicità e dimostrazione dell'esistenza per induzione in tre modi diversi: col Pr.I.D., col Pr.I.F. e col Pr.M.).
      Numerazione posizionale in base arbitraria: definizione, esistenza e unicità della scrittura posizionale di un numero naturale in base b (>1) arbitraria.
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri naturali (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 5; Capitolo II, paragrafi 1 e 2   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 4 e 10
    Videolezioni:   Naturali (sistema dei numeri naturali: assiomi di Peano, ordine, operazioni)   -   Induzione (metodo di dimostrazione per induzione [debole / forte / minimo])   -   Divisione (divisione con resto tra numeri naturali)   -   Numerazione (numerazione in base arbitraria / scrittura posizionale)
    Esercizi:   Induzione   -   Scrittura posizionale

NONA LEZIONE - 19 Marzo 2024:
    Contenuto della lezione:
      Sistema dei Numeri Naturali (=S.N.N.): definizione tramite assiomi di Peano. Controesempi di S.N.N.
      Il problema della esistenza di un S.N.N.: l'Assioma dell'Infinito. Il Teorema di Unicità di un S.N.N.
      La relazione d'ordine "canonica" in un S.N.N. Le operazioni di somma e prodotto in un S.N.N.
      Relazioni d'ordine "buone" (o "buoni ordinamenti"). Ogni relazione d'ordine buona è totale (esercizio).
      La relazione d'ordine canonica in un S.N.N. è un buon ordinamento (e quindi è totale).
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri naturali (D'Andrea)   -   [Ca1]:
    Contenuto della lezione:
      Sistema dei Numeri Naturali (=S.N.N.): definizione tramite assiomi di Peano. Controesempi di S.N.N.
      Il problema della esistenza di un S.N.N.: l'Assioma dell'Infinito. Il Teorema di Unicità di un S.N.N.
      La relazione d'ordine "canonica" in un S.N.N. Le operazioni di somma e prodotto in un S.N.N.
      Relazioni d'ordine "buone" (o "buoni ordinamenti"). Ogni relazione d'ordine buona è totale (esercizio).
      La relazione d'ordine canonica in un S.N.N. è un buon ordinamento (e quindi è totale).
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri naturali (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 5   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 4
    Videolezioni:   Naturali (sistema dei numeri naturali: assiomi di Peano, ordine, operazioni)

OTTAVA LEZIONE - 18 Marzo 2024:
    Contenuto della lezione:
      Teorema Fondamentale delle Applicazioni: Ogni funzione f da A a B si fattorizza in modo unico nel prodotto di una funzione suriettiva - la proiezione canonica A sul quoziente per l'equivalenza ϱ_f associata ad f - seguita da una biiettiva - dal quoziente all'immagine Im(f ) di f - seguita a sua volta da una iniettiva - l'immersione di Im(f ) in B.
      Esempi di applicazioni del Teorema Fondamentale delle Applicazioni.
      Le congruenze ≡_n modulo n nell'insieme Z dei numeri interi: definizione, caratterizzazione in termini della funzione r_n := "resto nella divisione per n". Casi particolari.
      Ogni congruenza ≡_n è una equivalenza in Z. Descrizione delle classi di ≡_n-equivalenza, descrizione dell'insieme quoziente   Z_n := Z / ≡_n .
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafi 2-3; capitolo II, paragrafo 1   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 10-11; capitolo 2, paragrafo 0   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 2-3
    Videolezioni:   Equivalenze 1 (equivalenze e partizioni)   -   Equivalenze 2 (equivalenze e funzioni)
    Esercizi:   Relazioni 1   -   Relazioni 2

SETTIMA LEZIONE (prof. Santi) - 15 Marzo 2024:
    Esercitazione complessiva su: insiemi, corrispondenze, funzioni.
    Esercizi specifici per questa lezione: testo , soluzioni
    Altri esercizi sul tema:   Insiemi   -   Corrispondenze   -   Funzioni, Corrispondenze   -   Funzioni   -   Insiemi, Funzioni, Relazioni

SESTA LEZIONE - 14 Marzo 2024:
    Contenuto della lezione:
      La famiglia delle ρ-classi associata una relazione. Il caso delle equivalenze: η-classi di equivalenza; collegamento tra il rapporto tra due elementi e il rapporto tra le corrispondenti η-classi di equivalenza; ogni η-classe di equivalenza è completamente determinata da un suo qualunque elemento (detto allora "rappresentante" di tale classe).
      Esercizio: Per ogni funzione f da A a B, l'equivalenza associata (in E) ρ_f  coincide con f ^-1 ∘ f.
      Proposizione: Per ogni equivalenza in un insieme E, la famiglia delle η-classi di equivalenza è una partizione di E.
      Corollario: Ogni equivalenza in un insieme E coincide con la relazione (di equivalenza) associata ad una opportuna funzione con dominio E (ad esempio, la proiezione canonica sul quoziente associato alla partizione di E in classi di equivalenza).
      Teorema: La funzione h che ad un quoziente di E associa la corrispondente equivalenza in E e la funzione k che ad una equivalenza in E associa il corrispondente quoziente di E sono l'una l'inversa dell'altra; in particolare, esse sono invertibili, dunque biiettive.
      Teorema Fondamentale delle Applicazioni: Ogni funzione f da A a B si fattorizza in modo unico nel prodotto di una funzione suriettiva - la proiezione canonica da A sul quoziente per l'equivalenza ρ_f  associata ad f - seguita da una biiettiva - dal quoziente all'immagine Im( f ) di f - seguita a sua volta da una iniettiva - l'immersione di Im( f ) in B.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafi 2-3   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 10, 12; capitolo 2, paragrafo 0   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 2-3
    Videolezioni:   Equivalenze 1 (equivalenze e partizioni)   -   Equivalenze 2 (equivalenze e funzioni)
    Esercizi:   Relazioni 1   -   Relazioni 2

QUINTA LEZIONE - 12 Marzo 2024:
    Contenuto della lezione:
      Relazioni (binarie) in un insieme; definizione, descrizione grafica (come "grafo orientato"). Proprietà notevoli possibili per una relazione: riflessività, transitività, simmetricità, antisimmetricità. Esempi e controesempi. Relazioni di preordine; relazioni d'ordine, totali o non totali; relazioni di equivalenza.
      La relazione di inclusione - nell'insieme delle parti di un insieme X - è un ordine, che è non totale se X ha almeno due elementi. La relazione di divisibilità in Z è un preordine, ma non un ordine; la relazione di divisibilità in N è un ordine, non totale. La relazione ρ_f  in A associata ad una funzione f  da A a B è una equivalenza.
      Famiglie di sottoinsiemi di un insieme: insieme quoziente E//π e corrispondenza p_π associati a una tale famiglia π. Partizioni di un insieme: definizione, esempi, controesempi.
      Teorema: Una famiglia π di sottoinsiemi di E è una partizione di E ⇔ la corrispondenza p_π associata a π è una funzione suriettiva.
      La relazione ρ_π in E associata a una famiglia π di sottoinsiemi di E.
      Teorema: Se la famiglia π di sottoinsiemi in E è una partizione, allora la relazione associata ρ_π in E è un'equivalenza.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 3   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 7-10, 12, 13   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 2, 3
    Videolezioni:   Relazioni (relazioni in un insieme: generalità, esempi)   -   Ordini (relazioni d'ordine)   -   Equivalenze 1 (equivalenze e partizioni)
    Esercizi:   Insiemi, Funzioni, Relazioni   -   Relazioni 1   -   Relazioni 2

QUARTA LEZIONE - 11 Marzo 2024:
      Esercizi varî su operazioni insiemistiche, corrispondenze e loro composizione, funzioni (iniettività, suriettività, invertibiilità) e loro composizione.
      Funzioni caratteristiche in un insieme. La funzione caratteristica di un sottoinsieme in un insieme.
      La biiezione canonica tra l'insieme P(E) delle parti di un insieme X e l'insieme 2^E delle funzioni caratteristiche in A (con descrizione esplicita delle due funzioni inverse l'una dell'altra).
      Famiglie (di oggetti in un insieme E, indicizzati da un insieme I) come funzioni da I a E.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafi 2, 3   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 4, 7   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 2, 3
    Videolezioni:   Corrispondenze (corrispondenze tra insiemi e operazioni tra di esse)   -   Funzioni 1 (funzioni; iniettività, suriettività, biiettività)   -   Funzioni 2 (composizione di funzioni, funzioni invertibili)   -   Funzioni caratteristiche (funzioni caratteristiche in un insieme)
    Esercizi:   Insiemi   -   Corrispondenze   -   Funzioni, Corrispondenze   -   Funzioni   -   Insiemi, Funzioni, Relazioni

TERZA LEZIONE - 7 Marzo 2024:
    Contenuto della lezione:
      Funzioni iniettive, funzioni suriettive, funzioni biiettive; definizione, esempi e controesempi.
      Funzioni invertibili. Unicità della funzione inversa f '  inversa di una funzione f che sia invertibile.
      Proposizione: Per ogni funzione f , le seguenti proprietà sono equivalenti:
          (1)   f è biiettiva;
          (2)   la corrispondenza f ^-1 inversa di f è una funzione;
          (3)   f è invertibile.
          In tal caso, la funzione f ' inversa di f coincide con la corrispondenza inversa f ^-1.
      Terminologia e notazioni particolari per funzioni: l'insieme B^A di tutte le funzioni da A a B, le endofunzioni di un insieme in sé stesso, le permutazioni di un insieme in sé stesso.
      Lemma: Se una composizione di funzioni k◦h è iniettiva, rispettivamente suriettiva, allora h è iniettiva, rispettivamente k è suriettiva.
      Esercizi varî su operazioni tra insiemi.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 2   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 13-14   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 3   -  
    Videolezioni:   Corrispondenze (corrispondenze tra insiemi e operazioni tra di esse)   -   Funzioni 1 (funzioni; iniettività, suriettività, biiettività)   -   Funzioni 2 (composizione di funzioni, funzioni invertibili)
    Esercizi:   Corrispondenze   -   Funzioni, Corrispondenze   -   Funzioni

SECONDA LEZIONE - 5 Marzo 2024:
    Contenuto della lezione:
      Proprietà notevoli delle operazioni tra insiemi (continua):
        - (4) leggi di De Morgan (generali), leggi di De Morgan per il complementare.
        - (5) distributività (destra e sinistra) del prodotto cartesiano rispetto all'unione, rispetto all'intersezione, rispetto alla differenza simmetrica.
      Insiemi disgiunti; l'operazione "unione disgiunta" tra insiemi.
      Corrispondenze tra insiemi: definizione, esempi. Casi speciali: relazioni e funzioni (o "applicazioni"); esempi e controesempi.
      Immagine di un sottoinsieme del dominio, controimmagine di un sottoinsieme del codominio (per una corrispondenza data).
      Le corrispondenza "vuota", "totale", "identità". Corrispondenza "inversa" e corrispondenza "complementare" di una corrispondenza data.
      Legame tra funzioni e corrispondenze: la "funzione canonica" associata ad una corrispondenza.
      Composizione - o "prodotto (operatorio)" - di due corrispondenze: definizione, esempi. Caso speciale: La composizione di due funzioni è (a sua volta) una funzione.
      Proprietà notevoli di inversione e composizione: associatività, le identità sono "elementi neutri", l'inversa di un prodotto, ecc. La composizione non è commutativa.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafi 1-3   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 6-7, 13-14   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 2-3
    Videolezione:   Corrispondenze (corrispondenze tra insiemi e operazioni tra di esse)
    Esercizi:   Insiemi   -   Corrispondenze   -   Funzioni, Corrispondenze   -   Funzioni

  PRIMA LEZIONE - 4 Marzo 2024:
    Contenuto della lezione:
      Considerazioni generali sul corso, modalità d'esame, ecc.
      Insiemi: definizione (naturale, o "ingenua"), descrizioni possibili, paradosso di Russel.
      Sottoinsiemi, sovrainsiemi; inclusione tra insiemi. L'uguaglianza tra insiemi come doppia inclusione. L'insieme vuoto. L'insieme delle parti di un insieme.
      Operazioni tra (sotto)insiemi: intersezione, unione, differenza, complementare, differenza simmetrica. Prodotto cartesiano di due insiemi.
      Proprietà notevoli delle operazioni tra insiemi:
        - (1) commutatività e associatività di intersezione, unione e differenza simmetrica;
        - (2) esistenza di elementi speciali per intersezione, unione e differenza simmetrica;
        - (3) distributività dell'intersezione rispetto all'unione, dell'unione rispetto all'intersezione, dell'intersezione rispetto alla differenza simmetrica.
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 1   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 1-6   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 1
    Videolezione:   Insiemi (insiemi, sottoinsiemi, insieme delle parti, operazioni tra insiemi)
    Esercizi:   Insiemi