Corso di Laurea in Matematica
a.a 2020-2021 - primo semestre

Diario delle lezioni del corso - da 8 CFU - di

ALGEBRA 1

(elencate in ordine cronologico inverso)

DOCENTE:   Fabio GAVARINI

Codocente:   Martina LANINI

ORARIO

Lunedì 14:00-17:00   -   Martedì 11:00-12:00 (on-line su Teams)   -   Mercoledì 11:00-13:00   -   Venerdì 11:00-13:00

PROGRAMMA (versione definitiva)



BIBLIOGRAFIA:
[AaVv] - Autori Varî, Materiale vario disponibile in rete   (per gentile concessione degli autori)
[Ca1] - G. Campanella, Appunti di Algebra 1   (per gentile concessione dell'autore)
[Ca2] - G. Campanella, Appunti di Algebra 2   (per gentile concessione dell'autore)
[dR] - M. J. de Resmini, Appunti di Algebra [parziale!]   (per gentile concessione dei curatori)
[Gre] - E. Gregorio, Algebra   (per gentile concessione dell'autore)
[He] - I. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti University Press, Roma, 2010
[PC] - G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico, ed. Decibel/Zanichelli, Padova, 1996

  Materiale didattico vario (dispense, videolezioni, esercizi, compiti d'esame, ecc. ecc.) utile per questo corso  


                * * *                 * * *                 * * *                

QUARANTESIMA LEZIONE (prof.ssa Lanini) - 22 Gennaio 2021:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Esercitazione complessiva su anelli, ideali, morfismi e quozienti di anelli.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (2h:22'02" - su Stream)   -   versione compattata: prima parte (193 MB), seconda parte (194 MB)
    Esercizi:   Esercizi specifici per questa lezione (foglio 12)   -   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli, morfismi e ideali di anelli   -   Anelli e sottoanelli
    FINE del CORSO  

TRENTANOVESIMA LEZIONE - 20 Gennaio 2021:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Anelli.
      Le corrispondenze tra sottoanelli, o tra ideali (sinistri/destri/bilateri), nel dominio e nel codominio di un morfismo tra anelli. Il caso particolare degli anelli quoziente.
      Il campo dei quozienti di un dominio: costruzione e relazione col dominio di partenza, esempi.
      L'ideale sinistro/destro/bilatero generato da un sottoinsieme: definizione, esistenza, descrizione (insiemistica e "puntuale").
      Ideali principali, anelli a ideali principali: esempi e controesempi.
    FINE del PROGRAMMA (seguono soltanto esercitazioni e/o ripasso)
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:45'14" - su Stream)   -   versione compattata (115 MB)   -   solo parte scritta (10,3 MB)
    Bibliografia:   [Ca2] Capitolo 1, paragrafi 2, 3; Capitolo 3, paragrafo 2   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 4, 5, 6
    Esercizi:   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli, morfismi e ideali di anelli   -   Anelli e sottoanelli

TRENTOTTESIMA LEZIONE - 18 Gennaio 2021:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Teorema di Cayley (per anelli): Per ogni anello A, la rappresentazione (regolare sinistra) associata al prodotto è un morfismo λ da A all'anello End(A;+) degli endomorfismi di (A;+). Se inoltre A è unitario, allora λ manda l'elemento unità di A nell'endomorfismo identità ed è iniettivo. In particolare, in tal modo ogni anello unitario è isomorfo ad un sottoanello unitario di un anello di endomorfismi di un gruppo abeliano.
      Congruenze in un anello. Anelli quoziente. Proprietà di un anello ereditate (o non ereditate) dai suoi quozienti.
      Proposizione: Le congruenze in un anello A sono tutte e sole le equivalenze associate morfismi di anelli con dominio A.
      Ideali sinistri, ideali destri, ideali (bilateri) in un anello.
      Lemma: In un anello A, se ρ è una equivalenza compatibile con la somma e I è il corrispondente sottogruppo di (A;+), allora ρ è compatibile col prodotto a sinistra, risp. a destra, risp. a sinistra e a destra ⇔ I è un ideale sinistro, risp. destro, risp. bilatero.
      Proposizione: Le congruenze in un anello A sono in biiezione con gli ideali (bilateri) di A.
      Proposizione: Gli ideali in un anello A sono tutti e soli i nuclei dei morfismi di anelli con dominio A.
      Esempi e controesempi varî di anelli (generali e di sottoclassi particolari):
        - il centro di un anello;
        - l'anello delle matrici quadrate (a coefficienti in un anello qualsiasi);
        - il sottoinsieme delle funzioni aventi limite finito in un punto e il sottoinsieme delle funzioni continue in ogni punto sono sottoanelli dell'anello delle funzioni reali di una variabile reale; il sottoinsieme delle funzioni lineari non è un sottoanello;
        - il sottoinsieme delle successioni reali convergenti è un sottoanello dell'anello delle successioni reali; il sottoinsieme delle successioni divergenti non è un sottoanello;
        - l'anello dei polinomi, l'anello delle serie (formali di potenze), l'anello dei polinomi di Laurent e l'anello delle serie di Laurent in una variabile (a coefficienti in un anello qualsiasi).
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream): prima parte (1h:15'11")   -   seconda parte (0h:51'01")   -   versione compattata: prima parte (83,4 MB), seconda parte (57,2 MB)   -   solo parte scritta (14,3 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4; Capitolo III, paragrafo 1   -   [Ca2] Capitolo 1, paragrafo 2   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 1, 2, 3
    Esercizi:   Anelli, morfismi e ideali di anelli   -   Anelli e sottoanelli   -   Esercizi specifici per il tutorato di martedì 19 Gennaio 2021 (foglio 12)

TRENTASETTESIMA LEZIONE (prof.ssa Lanini) - 15 Gennaio 2021:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Esercitazione complessiva su gruppi simmetrici, gruppi diedrali, anelli.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:38'33" - su Stream)   -   versione compattata: prima parte (127 MB), seconda parte (93,1 MB)
    Esercizi:   Esercizi specifici per questa lezione (foglio 11)   -   Gruppi simmetrici, gruppi diedrali   -   Anelli e sottoanelli

TRENTASEIESIMA LEZIONE - 13 Gennaio 2021:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Anelli: definizione generale, (sotto)classi particolari (anelli commutativi / unitari / integri; corpi e campi). Proprietà elementari in un anello. Ogni corpo è integro, ogni campo è un dominio.
      Sottoanelli di un anello; criterio perché un sottoinsieme sia un sottoanello.
      Proposizione: L'intersezione di una qualunque famiglia di sottoanelli è un sottoanello.
      Il sottoanello generato da un sottoinsieme: definizione, esistenza, descrizione (insiemistica e "puntuale").
      Morfismi di anelli; immagine e nucleo di un morfismo di anelli.
      Proposizione: Per un morfismo di anelli φ : A → R si ha:
          (a) φ è banale (=costante) ⇔ Im(φ) = {0_R} ⇔ Ker(φ) = A ;
          (b) φ è suriettivo ⇔ Im(φ) = R ;
          (c) φ è iniettivo ⇔ Ker(φ) = {0_A} .
      Esempi e controesempi varî di anelli (generali e di sottoclassi particolari): anelli numerici; l'insieme delle parti P(E) di un insieme E (rispetto alla differenza simmetrica e all'intersezione); l'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano; il prodotto diretto di anelli; l'anello delle funzioni a valori in un anello.
      Per ogni insieme E, la biiezione canonica dall'insieme delle parti P(E) all'insieme delle funzioni caratteristiche 2^E = Z₂ è un isomorfismo di anelli.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream) (1h:42'26")   -   versione compattata (95,4 MB)   -   solo parte scritta (5,72 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 1, 2
    Esercizi:     Anelli e sottoanelli

TRENTACINQUESIMA LEZIONE - 11 Gennaio 2021:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Proposizione: In ogni fattorizzazione di una permutazione σ data in prodotto di trasposizioni, la parità del numero di fattori dipende soltanto da σ , e non dalla singola fattorizzazione.
      Permutazioni pari, permutazioni dispari. L'insieme delle permutazioni pari è un sottogruppo normale in S_n di indice 2, detto (sotto)gruppo alterno A_n su n elementi.
      Calcolo della coniugazione nel gruppo S_n . Partizioni di un numero naturale n. La partizione di n associata ad una permutazione in S_n .
      Teorema (classi coniugate nel gruppo S_n): La funzione che associa ad una permutazione in S_n la corrispondente partizione di n induce (tramite il Teorema Fondamentale delle Applicazioni) una biiezione canonica tra l'insieme delle classi coniugate in S_n e l'insieme delle partizioni di n.
      Cenni sui grafi orientati (o "digrafi") e sui grafi (non orientati). Il gruppo degli automorfismi di un digrafo (e di un grafo). Il gruppo diedrale D_n come gruppo degli automorfismi del grafo ciclico su n vertici. Descrizione di D_n : rotazioni e riflessioni.
      Applicazioni del Teorema di Burnside a particolari azioni del gruppo diedrale D_n .
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream): prima parte (1h:12'17"), seconda parte (1h:10'58")   -   versione compattata: prima parte (64,1 MB), seconda parte (63,7 MB)   -   solo parte scritta (6,80 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 3, 4   -   [Ca2] Capitolo 2, paragrafo 3   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 2, 3, 11
    Esercizi:     Gruppi simmetrici, gruppi diedrali   -   G-spazi

TRENTAQUATTRESIMA LEZIONE - 8 Gennaio 2021:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Proposizione: Se due insiemi sono equipotenti, allora i loro gruppi di permutazioni sono isomorfi.
      Gruppi di permutazioni di insiemi finiti: il gruppo simmetrico S_n = S({1,...,n}) . Notazioni standard per la descrizione di una permutazione; calcolo dell'inverso, calcolo del prodotto con le diverse notazioni. Permutazioni cicliche (o "cicli"), trasposizioni.
      Teorema (decomposizione ciclica di una permutazione): Ogni permutazione σ in S_n si fattorizza in cicli disgiunti, ciascuno corrispondente ad un'orbita in {1,...,n} per l'azione del sottogruppo generato da σ.
      Lemma:
        (a) L'ordine di una permutazione ciclica è pari alla sua lunghezza (come ciclo).
        (b) L'ordine di una permutazione (generica) è pari al m.c.m. degli ordini dei suoi cicli (nella decomposizione in cicli disgiunti), quindi è pari al m.c.m. delle lunghezze di tali cicli.
      Lemma: Ogni permutazione si fattorizza in prodotto di trasposizioni. In caso di permutazione ciclica, esiste una tale fattorizzazione con numero di fattori pari alla lunghezza del ciclo.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream) (1h:39'50")   -   versione compattata (90,4 MB)   -   solo parte scritta (4,31 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafo 3   -   [PC] Capitolo 5, paragrafo 2
    Esercizi:     Gruppi simmetrici   -   G-spazi

TRENTATREESIMA LEZIONE - 21 Dicembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Proposizione: Per ogni punto e in un G-spazio, c'è   una biiezione canonica G/St_e ≅ O_G(e) . In particolare, la cardinalità di un'orbita è pari all'indice in G dello stabilizzatore di un qualunque suo punto.
      Applicazione: Calcolo del numero di anagrammi di una parola.
      La Equazione delle Classi in un gruppo finito   -   Applicazione della Equazione delle Classi: in ogni gruppo finito G di ordine una potenza di un primo il centro Z(G) è non banale.
      Il Teorema di Burnside per il calcolo del numero di G-orbite in un G-spazio finito (con G gruppo finito).
      Il (sotto)gruppo delle permutazioni di un insieme E che preservano una relazione ρ in E.
      Digrafi (o "grafi orientati"), grafi (non orientati); il gruppo degli automorfismi di un grafo orientato, il gruppo degli automorfismi di un grafo.
      Il gruppo diedrale D_n come gruppo degli automorfismi del grafo ciclico con n vertici.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream): prima parte (1h:10'54"), seconda parte (1h:02'24")   -   versione compattata: prima parte (63,4 MB), seconda parte (54,1 MB)   -   solo parte scritta (8,46 MB)
    Bibliografia:   [Ca2] Capitolo 2, paragrafo 3   -   [PC] Capitolo 5, paragrafo 11
    Esercizi:   G-spazi   -   Esercizi specifici per il tutorato di martedì 22 Dicembre 2020 (foglio 10)

TRENTADUESIMA LEZIONE - 18 Dicembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Rappresentazioni / Azioni di un gruppoide (o monoidi, o gruppi) Γ in/su un insieme, azioni di gruppoidi (o monoidi, o gruppi) su un insieme: equivalenza delle due nozioni. Γ-spazi (o Γ-insiemi).
      G-spazi di un gruppo G: equivalenza canonica indotta in un G-spazio, G-orbite, spazio delle G-orbite. G-spazi omogenei, azioni transitive.
      Esempi di Γ-spazi:
          (1) la rappresentazione banale di un gruppoide in un insieme;
          (2) ogni insieme E è un E^E-spazio - fedele e omogeneo - in modo canonico;
          (3) per ogni sottogruppoide H di Γ, ogni Γ-spazio è anche H-spazio (per restrizione);
          (4) per ogni morfismo di gruppoidi ψ:Ω→Γ, ogni Γ-spazio è anche Ω-spazio (per composizione di ψ con la rappresentazione di φ di Γ in E);
          (5) l'azione regolare sinistra di un semigruppo S su sé stesso, che è fedele se S è un monoide (per il Teorema di Cayley), ed è transitiva se S è un gruppo;
          (6) l'azione regolare destra di un gruppo su sé stesso (che è fedele e transitiva);
          (7) l'azione per coniugio (o per coniugazione) di un gruppo su sé stesso (che è transitiva ⇔ il gruppo è banale);
          (8) l'azione di M_n(K) := Mat_n×n(K) - monoide rispetto al prodotto righe per colonne - su Kⁿ data dalla moltiplicazione di una matrice (n×n) per un vettore colonna (n×1): tale azione è fedele, e si restringe ad un'azione fedele di GL_n(K) su Kⁿ che ha esattamente due GL_n(K)-orbite, una composta dal solo vettore nullo in Kⁿ e un'altra composta da tutti i vettori non nulli.
      Lo stabilizzatore St_e di un punto e in un G-spazio; punti fissi di un G-spazio.
      Proposizione: Sia E un G-spazio. Allora:
        (a) un punto e è fisso ⇔ la G-orbita di e è {e} ⇔ lo stabilizzatore di e è G ;
        (b)   St_e è sottogruppo di G, per ogni e ∈ E ;
        (c)   St_g.e = g St_e g^-1   per ogni e ∈ E ed ogni g ∈ G ;
        (d) l'intersezione di tutti gli stabilizzatori St_e - al variare di e ∈ E - è inl nucleo della rappresentazione di GE.
      Il centralizzante C_G(x) di un elemento x in un gruppo G: definizione (come stabilizzatore rispetto all'azione per coniugio) e caratterizzazioni.
      Il centro Z(G) di un gruppo G: definizione (come nucleo della rappresentazione di coniugio) e caratterizzazioni. Il centro di un gruppo coincide con l'intersezione di tutti i centralizzanti dei vari elementi del gruppo.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream) (1h:45'52")   -   versione compattata (96,2 MB)   -   solo parte scritta (5,27 MB)
    Bibliografia:   [Ca2] Capitolo 2, paragrafo 3   -   [PC] Capitolo 5, paragrafo 11
    Esercizi:   G-spazi

TRENTUNESIMA LEZIONE - 16 Dicembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Immagine Im(φ) e nucleo Ker(φ) di un morfismo di gruppi φ : G → K . L'immagine è sottogruppo del codominio, il nucleo è sottogruppo normale del dominio; le fibre sono tutte e sole le classi laterali del nucleo.
      Proposizione: Per un morfismo di gruppi φ : G → K si ha:
          (a) φ è banale (=costante) ⇔ Im(φ) = {1_K} ⇔ Ker(φ) = G ;
          (b) φ è suriettivo ⇔ Im(φ) = K ;
          (c) φ è iniettivo ⇔ Ker(φ) = {1_G} .
      Proposizione: Sia G un gruppo.
          (a) Le congruenze in G sono tutte e sole le equivalenze associate a morfismi con dominio G.
          (b) I sottogruppi normali di G sono tutti e soli i nuclei dei morfismi con dominio G.
      Il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Gruppi.
      Corrispondenze tra sottogruppi (eventualmente normali) di G e sottogruppi (eventualmente normali) di G' rispetto a un morfismo di gruppi   ϕ: G → G'. La biiezione indotta tra sottogruppi (ev. normali) contenenti Ker(ϕ) e sottogruppi (ev. normali) contenuti in Im(ϕ). Il caso suriettivo.
      Sottogruppi e sottogruppi normali in un gruppo quoziente.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream): prima parte (0h:46'20"), seconda parte (0h:40'42")   -   versione compattata: prima parte (52,1 MB), seconda parte (43,8 MB)   -   solo parte scritta (8,04 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo 4, paragrafi 6 e 7   -   [Ca2] Capitolo 1, paragrafi 1 e 3   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 2-3 e 5-6   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 7-10
    Esercizi:   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente

TRENTESIMA LEZIONE (prof.ssa Lanini) - 14 Dicembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Esercitazione complessiva su gruppoidi, gruppoidi quoziente, morfismi, gruppi, sottogruppi, sottogruppi normali, gruppi quoziente, morfismi tra gruppi.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (2h:24'50" - su Stream)   -   versione compattata: prima parte (164 MB), seconda parte (182 MB)
    Esercizi:   Esercizi specifici per questa lezione (foglio 8)   -   Gruppoidi, morfismi   -   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente   -   Esercizi specifici per il tutorato di martedì 15 Dicembre 2021 (foglio 9)

VENTINOVESIMA LEZIONE - 11 Dicembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Sottogruppi vs. equivalenze compatibili a destra / sinistra (in un gruppo):
          - l'equivalenza destra, risp. sinistra, associata ad un sottogruppo è compatibile a destra, risp. a sinistra, con l'operazione del gruppo;
          - viceversa, ogni equivalenza compatibile a destra, risp. a sinistra, è associata ad un sottogruppo, che è la classe di equivalenza dell'elemento neutro.
      Condizioni equivalenti perché le due equivalenze associate ad un sottogruppo siano compatibili. Sottogruppi normali in un gruppo; nel caso abeliano tutti i sottogruppi sono normali.
      La biiezione tra equivalenze compatibili (o "congruenze") in un gruppo e i suoi sottogruppi normali. Gruppi quoziente (modulo un sottogruppo normale).
      Applicazione: (a) i sottogruppi (normali) N del gruppo (Z;+) sono tutti e soli quelli della forma N = nZ, per ogni n in Z; (b) le equivalenze compatibili nel gruppo (Z;+) sono tutte e sole le congruenze modulo n, per ogni n in Z.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream): prima parte (0h:44'12"), seconda parte (0h:44'12")   -   versione compattata: prima parte (43,0 MB), seconda parte (45,9 MB)   -   solo parte scritta (5,83 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 5 e 7   -   [Ca2] Capitolo 1, paragrafo 1   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 3, 5 e 7   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 5 e 8
    Esercizi:   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente

VENTOTTESIMA LEZIONE - 9 Dicembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Proposizione: Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è a sua volta ciclico, ed esiste una formula esplicita per un suo generatore.
      Teorema: In un gruppo ciclico finito G, la funzione "ordine" è una biiezione dall'insieme dei sottogruppi di G all'insieme dei divisori dell'ordine di G.
      Proposizione: In un gruppo ciclico finito di ordine n, i generatori sono in biiezione - tramite l'isomorfismo standard - con gli elementi di U(Z_n; ⋅ ).
      Le relazioni di equivalenza (destra e sinistra) in un gruppo G associate ad un sottogruppo H; classi laterali (destre o sinistre) come classi di equivalenza di tali equivalenze.
      Proposizione: (a) Le classi laterali (destre e/o sinistre) di un sottogruppo H hanno tutti la stessa cardinalità di H stesso. (b) Gli insiemi di classi laterali (destre o sinistre) G/H e H\G hanno la stessa cardinalità, detta indice di H in G e indicata con (G:H).
      Teorema di Lagrange: Per ogni gruppo finito G si ha ω(G) = (G:H) ω(H) , cioè |G| = (G:H) |H| .
      Conseguenze del Teorema di Lagrange:
          (1) In ogni gruppo finito, l'ordine di ogni elemento divide l'ordine del gruppo;
          (2) ogni gruppo finito di ordine primo è privo di sottogruppi non banali, ed è ciclico;
          (3) il Piccolo Teorema di Fermat;
          (4) il Teorema di Eulero-Fermat.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream): prima parte (0h:48'21"), seconda parte (0h:47'15")   -   versione compattata: prima parte (53,6 MB), seconda parte (52,3 MB)   -   solo parte scritta (6,98 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 2 e 5   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 3, 4, 7 e 8   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 1 e 5
    Esercizi:   Gruppi, sottogruppi

VENTISETTESIMA LEZIONE - 4 Dicembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Potenze in un semigruppo, in un monoide, in un gruppo: definizione, proprietà fondamentali.
      Sottogruppi di un gruppo. Criterio perché un sottoinsieme di un gruppo sia un sottogruppo.
      Unione e intersezione di sottogruppi: l'unione non è (in generale) un sottogruppo, l'intersezione è (sempre) un sottogruppo.
      Il sottogruppo generato da un sottoinsieme: definizione, esistenza, descrizione (insiemistica e "puntuale").
      Gruppi (e sottogruppi) ciclici: definizione, proprietà elementari.
      L'ordine ω(G) := |G| di un gruppo G ; l'ordine ω(g) di un elemento g in un gruppo.
      Teorema di Struttura dei Gruppi Ciclici: Ogni gruppo ciclico è isomorfo a Z - se è infinito - oppure a Z_n - se è finito di ordine n; in ogni caso, l'ordine di un gruppo ciclico coincide con l'ordine di un suo qualsiasi generatore.
      Corollario: Le classi di isomorfismo dei gruppi ciclici sono in biiezione con i numeri naturali.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream) (1h:44'58")   -   versione compattata (149 MB)   -   solo parte scritta (6,04 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 1-2   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 1, 2 e 8   -   [PC] Capitolo 5, paragrafo 1
    Esercizi:   Gruppi, sottogruppi

VENTISEIESIMA LEZIONE - 2 Dicembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Prodotto diretto di gruppoidi, proiezioni coordinate.
      Relazioni compatibili in un gruppoide, congruenze in un gruppoide: definizione, esempi, controesempi.
      Proposizione: Per ogni morfismo di gruppoidi φ, l'equivalenza ρ_φ ad esso canonicamente associata nel dominio di φ è compatibile con l'operazione data in tale dominio.
      Proposizione-Definizione: Dato un gruppoide Γ e una congruenza (:= equivalenza compatibile) χ in esso, l'insieme quoziente ha una e una sola struttura di gruppoide tale che la proiezione canonica sia un morfismo. Tale gruppoide si dice "gruppoide quoziente" di Γ modulo χ.
      Corollario: Il quoziente di un gruppoide che sia commutativo, risp. sia un semigruppo, risp. sia un monoide, risp. sia un gruppo, è a sua volta commutativo, risp. un semigruppo, risp. un monoide, risp. un gruppo.
      Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Gruppoidi: Ogni morfismo di gruppoidi φ da Γ a K si fattorizza nel prodotto di un epimorfismo - la proiezione canonica Γ sul gruppoide Γ/ρ_φ quoziente di Γ per la congruenza ρ_φ a φ - seguita da un isomorfismo - dal quoziente Γ/ρ_φ all'immagine Im(φ) di φ - seguita a sua volta da un monomorfismo - l'immersione di Im(φ) in K. In particolare, Γ/ρ_φ e Im(φ) sono gruppoidi isomorfi.
      Gruppoidi cancellativi: definizione, esempi, controesempi.
      Lemma: Ogni gruppo è cancellativo (come gruppoide).
      Teorema: Per ogni semigruppo cancellativo abeliano S, esiste un gruppo abeliano G(S) e un monomorfismo   j : S → G(S)   tali che per ogni elemento g di G(S) esistano due elementi s₊ e s_- in S tali che g sia il prodotto di s₊ per s_-.
      Applicazioni: Costruzione di (Z ; + ), risp. di (Q₊ ; ⋅ ), risp. di (Q\{0} ; ⋅ ), come gruppo abeliano G(S) associato al semigruppo abeliano cancellativo (S ; ∗ ) := (N ; + ) , risp. (S ; ∗ ) := (N₊ ; ⋅ ) , risp. (S ; ∗ ) := (Z\{0} ; ⋅ ) .
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream): prima parte (0h:56'35"), seconda parte (0h:36'52")   -   versione compattata: prima parte (58,6 MB), seconda parte (39,5 MB)   -   solo parte scritta (6,38 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4   -   [Gre] Capitolo 3   -   [PC] Capitolo 5, paragrafo 8; capitolo 2, paragrafo 1
    Esercizi:   Gruppoidi, morfismi

VENTICINQUESIMA LEZIONE - 30 Novembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Operazioni (binarie) in un insieme; gruppoidi. Proprietà speciali e elementi speciali per gruppoidi: semigruppi, monoidi, gruppi.
      Unicità di elemento neutro e inversi (se esistono) in un semigruppo.
      Lemma: Il sottoinsieme degli elementi invertibili in un monoide è un gruppo, rispetto alla restrizione dell'operazione data (esercizio).
      (Omo)Morfismi tra gruppoidi; epimorfismi, monomorfismi, isomorfismi, endomorfismi, automorfismi. Gruppoidi isomorfi.
      Proprietà di base dei morfismi:
          (a) l'identità (di un gruppoide in sé) è un automorfismo;
          (b) la composizione di morfismi è un morfismo;
          (c) la relazione "è isomorfo a" tra gruppoidi è una equivalenza;
          (d) un morfismo è isomorfismo se e soltanto se è invertibile come funzione;
          (e) gli endomorfismi, risp. gli automorfismi, di un gruppoide formano un monoide, risp. un gruppo, rispetto al prodotto di composizione;
          (f) l'immagine tramite un morfismo di un gruppoide, risp. di un semigruppo, risp. di un monoide, risp. di un gruppo, è un semigruppo, risp. un monoide, risp. un gruppo (rispetto all'operazione).
      Teorema di Cayley (per semigruppi): Per ogni semigruppo S, c'è un morfismo λ da S a S^S (monoide rispetto alla composizione) dato dalla moltiplicazione a sinistra. Se inoltre S è un monoide, allora λ manda l'elemento neutro nell'elemento neutro ed è iniettivo.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (su Stream): prima parte (0h:54'50"), seconda parte (1h:00'26")   -   versione compattata: prima parte (51,4 MB), seconda parte (59,8 MB)   -   solo parte scritta (7,43 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4   -   [Ca2] Capitolo 2, paragrafo 1   -   [Gre] Capitolo 3   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 1 e 6
    Videolezione:   Insiemi con operazioni
    Esercizi:   Gruppoidi, morfismi

VENTIQUATTRESIMA LEZIONE - 20 Novembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      La funzione φ di Eulero. L'insieme U(Z_n) degli elementi invertibili in Z_n ha cardinalità φ(n). Moltiplicatività e formula esplicita della funzione di Eulero.
      Potenze in Z_n : ripetitività, algoritmo di riduzione degli esponenti. Il Piccolo Teorema di Fermat e il Teorema di Eulero (solo l'enunciato).
      Esempi espliciti di calcolo di potenze in Z_n .
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:44'16" - su Stream)   -   versione compattata (97,1 MB)   -   solo parte scritta (4,95 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo II, paragrafo 6   -   [PC] Capitolo 2, paragrafo 8
    Esercizi:   Equazioni congruenziali e equazioni modulari   -   Aritmetica modulare

VENTITREESIMA LEZIONE - 18 Novembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Risoluzione completa di un'equazione diofantea qualsiasi.
      Sistemi di equazioni congruenziali (lineari): discussione, sistemi equivalenti. Sistemi in forma cinese.
      Teorema Cinese del Resto (per sistemi cinesi e per sistemi generali).
      Somma e prodotto in   Z_r1 × Z_r2 × ··· × Z_rk   (per interi r₁ , r₂ , ... , r_k arbitrari).
      Per interi r₁ , r₂ , ... , r_k a due a due coprimi, esiste una biiezione canonica da Z_{r1 r2 ··· rk} a Z_r1 × Z_r2 × ··· × Z_rk che rispetta somma e prodotto. Tale biiezione si restringe ad una biiezione U(Z_{r1 r2 ··· rk}) a U(Z_r1) × U(Z_r2) × ··· × U(Z_rk) che rispetta il prodotto.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:31'51" - su Stream)   -   versione compattata (101 MB)   -   solo parte scritta (6,30 MB)
    Bibliografia:   [AaVv] file Congruenze, aritmetica modulare(D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafo 5   -   [PC] Capitolo 2, paragrafo 7
    Esercizi:   Equazioni congruenziali e equazioni modulari   -   Aritmetica modulare

VENTIDUESIMA LEZIONE (prof.ssa Lanini) - 16 Novembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Esercitazione complessiva su equazioni diofantee, equazioni congruenziali, equazioni modulari, aritmetica modulare.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (2h:37'51" - su Stream)   -   versione compattata: prima parte (197 MB), seconda parte (191 MB)
    Esercizi:   Esercizi specifici per questa lezione (foglio 7)   -   MCD, equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali e equazioni modulari   -   Aritmetica modulare

VENTUNESIMA LEZIONE - 13 Novembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Proprietà notevoli delle operazioni di somma e prodotto in Z_n : (Z_n ; + , · ) è un anello commutativo unitario.
      Proposizione: L'anello (Z_n ; + , · ) è privo di divisori di zero ⇔ n è primo.
      Classi di congruenza e scrittura posizionale. Criteri di divisibilità in Z in termini della scrittura posizionale (in base arbitraria): strategia generale ed esempi specifici.
      Equazioni diofantee in Z, equazioni congruenziali in Z, equazioni modulari in Z_n: definizione, connessione tra i tre tipi di equazioni; discussione, equazioni equivalenti, semplificazione, criterio di risolubilità, metodo per il calcolo di una soluzione.
      Descrizione esplicita dell'insieme delle soluzioni di un'equazione congruenziale o di un'equazione modulare (in funzione di una soluzione particolare).
      L'insieme U(Z_n) degli elementi invertibili in Z_n . Criterio di invertibilità di una classe in Z_n , calcolo dell'inverso di una classe invertibile mediante risoluzione di una equazione congruenziale; descrizione esplicita di U(Z_n).
      Proposizione: L'anello (Z_n ; + , · ) è un campo ⇔ n è irriducibile.
      Esempi di calcolo di classi inverse; esempi di risoluzione di equazioni modulari o congruenziali.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:42'18" - su Stream)   -   versione compattata (102 MB)   -   solo parte scritta [dell'11 e 13 Novembre] (9,65 MB)
    Bibliografia:   [AaVv] file Congruenze, aritmetica modulare(D'Andrea), paragrafi 1-3   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 4-5   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 6-7
    Esercizi:   MCD, equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali e equazioni modulari   -   Aritmetica modulare

VENTESIMA LEZIONE - 11 Novembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: Esistenza e unicità di una fattorizzazione in irriducibili per interi non nulli e non invertibili.
      Teorema di Euclide: Esistono infiniti numeri interi irriducibili.
      Numeri interi coprimi (o "primi tra loro").
      L'espressione unica di un intero non nullo come prodotto di un invertibile e di potenze di potenze di irriducibili prefissati.
      Divisibilità tra un intero e un altro in termini delle loro fattorizzazioni in irriducibili (come sopra).
      Esistenza e forma esplicita di MCD(a,b) e di mcm(a,b) in termini di fattorizzazioni di a e di b ; la relazione MCD(a,b) mcm(a,b) = a b ; calcolo di mcm(a,b) tramite il calcolo - mediante l'algoritmo euclideo delle divisioni successive - di MCD(a,b).
      Equazioni diofantee; equazioni diofantee equivalenti. Criterio di esistenza di soluzioni per una equazione diofantea; algoritmo per il calcolo esplicito di una soluzione.
      Richiami sulle congruenze modulo n in Z; descrizione delle classi di congruenza modulo n e dell'insieme quoziente Z_n := Z_/≡_n .
      Lemma: Le operazioni di somma e prodotto in Z sono compatibili con ogni congruenza modulo n.
      Definizione di somma e prodotto in Z_n .
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:39'57" - su Stream)   -   versione compattata (100 MB)   -   solo parte scritta (5,12 MB)
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri interi (D'Andrea), paragrafo 4; file Congruenze, aritmetica modulare(D'Andrea), paragrafo 2   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 2-4   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 2, 3 e 6
    Esercizi:   MCD, equazioni diofantee

DICIANNOVESIMA LEZIONE (prof.ssa Lanini) - 9 Novembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Esercitazione complessiva su divisibilità (tra numeri interi), M.C.D. e identità di Bézout.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (2h:28'56" - su Stream)   -   versione compattata (188 MB)
    Esercizi:   Esercizi specifici per questa lezione (foglio 6)   -   MCD, equazioni diofantee

DICIOTTESIMA LEZIONE - 6 Novembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      La relazione di divisibilità in Z. Elementi invertibili, elementi associati. Elementi riducibili, elementi irriducibili, elementi primi.
      Lemma: Ogni primo è irriducibile.
      Massimo comun divisore (=M.C.D.) e minimo comun multiplo (=m.c.m.) di due numeri interi.
      La divisione euclidea (o "divisione con resto") tra numeri interi.
      Esistenza del MCD in Z, e identità di Bézout per esso.
      L'algoritmo euclideo delle divisioni successive per il calcolo di M.C.D.(a,b) e di un'identità di Bézout per esso.
      Proposizione: Tra i numeri interi, ogni irriducibile è primo.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:48'15" - su Stream)   -   versione compattata (105 MB)   -   solo parte scritta (3,80 MB)
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri interi (D'Andrea), paragrafo 4   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 1-3   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 1-2
    Esercizi:   Numeri Interi   -   MCD, equazioni diofantee

DICIASSETTESIMA LEZIONE - 4 Novembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Costruzione dei numeri interi a partire dai numeri naturali: l'insieme Z dei numeri interi, operazioni e ordine in Z, valore assoluto (da Z a N).
      Proprietà fondamentali delle operazioni, dell'ordine e del valore assoluto per numeri interi.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams: prima parte (1h:00'27" - su Stream), seconda parte (26'46" - su Stream)   -   versione compattata: prima parte (61,4 MB), seconda parte (26,0 MB)   -   solo parte scritta (5,92 MB)
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri interi (D'Andrea), paragrafo 4   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 5(B)   -   [PC] Capitolo 2, paragrafo 1
    Esercizi:   Numeri Interi

SEDICESIMA LEZIONE (prof.ssa Lanini) - 2 Novembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Esercitazione complessiva su equipotenza e numeri cardinali.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (2h:10'59" - su Stream)   -   versione compattata (140 MB)
    Esercizi:   Esercizi specifici per questa lezione (foglio 5)   -   Cardinalità

QUINDICESIMA LEZIONE - 30 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Proposizione: L'insieme N×N è numerabile.
      1^o Teorema di Cantor: L'unione disgiunta di una famiglia numerabile di insiemi numerabili è a sua volta numerabile.  
      Corollario: L'unione di una famiglia finita o numerabile di insiemi finiti o numerabili è a sua volta finita o numerabile; se almeno un insieme è numerabile, la famiglia è anch'essa numerabile.  
      Esempi: Gli insiemi Z, Q e Z×Z sono numerabili.
      2^o Teorema di Cantor: Per ogni insieme X, la cardinalità dell'insieme delle parti P(X) e la cardinalità dell'insieme delle funzioni caratteristiche 2^X sono strettamente maggiori della cardinalità di X.
      I numeri cardinali infiniti superiori "ℵ_n", per ogni n in N; la cardinalità del continuo ℵ₁ := |P(N)| . La cardinalità del continuo è la cardinalità dell'insieme dei numeri reali, cioè   |R| = ℵ₁ := |P(N)|   (senza dimostrazione).
      L'ordinamento tra numeri cardinali è buono, e quindi in particolare è totale (senza dimostrazione).
      L'ipotesi del continuo e l'ipotesi del continuo generalizzata; distribuzione (rispetto alla relazione d'ordine) dei numeri cardinali (cenni).
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:37'14" - su Stream)   -   versione compattata (90,8 MB)   -   solo parte scritta (10,3 MB)
    Bibliografia:   [AaVv] file Cardinalità (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 6   -   [dR] pp. 139-144, 153-156   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 5
    Videolezioni:   Cardinalità 1   (insiemi equipotenti, cardinalità; Primo Teorema di Cantor)   -   Cardinalità 2   (Secondo Teorema di Cantor)
    Esercizi:   Cardinalità

QUATTORDICESIMA LEZIONE - 28 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Equipotenza tra insiemi; l'equipotenza è una equivalenza nella classe di tutti gli insiemi.
      Cardinalità di un insieme, numeri cardinali. Insiemi finiti, insiemi infiniti; insiemi (infiniti) numerabili: la cardinalità del numerabile ℵ₀ := |N| .
      Relazione d'ordine tra numeri cardinali: il Teorema di Schroeder-Bernstein (senza dimostrazione della antisimmetria).
      Proprietà degli insiemi numerabili: (a) Ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile; (b) in un insieme numerabile, ogni sottoinsieme o è finito oppure è numerabile.
      Corollario: La cardinalità del numerabile ℵ₀ := |N| è strettamente maggiore di ogni cardinale finito, ed è minore o uguale ad ogni cardinale infinito.
      Caratterizzazione degli insiemi infiniti: Per ogni insieme X le seguenti proprietà sono equivalenti:   (a) X è infinito,   (b) esiste una funzione iniettiva dall'insieme dei numeri naturali ad X,   (c) esiste un sottoinsieme proprio di X che è equipotente ad X stesso.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams: prima parte (43'25" - su Stream), seconda parte (44'47" - su Stream)   -   versione compattata: prima parte (63,7 MB), seconda parte (43,5 MB)   -   solo parte scritta (4,67 MB)
    Bibliografia:   [AaVv] file Cardinalità (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 6   -   [dR] pp. 139-141, 153-156   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 5
    Videolezione:   Cardinalità 1   (insiemi equipotenti, cardinalità; Primo Teorema di Cantor)
    Esercizi:   Cardinalità

TREDICESIMA LEZIONE - 26 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Esercitazione complessiva sul metodo di dimostrazione per induzione, sulla numerazione posizionale in base arbitraria, algoritmi di calcolo di somma, prodotto e divisione con resto usando la scrittura posizionale in base arbitraria (cenni), ecc.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams: prima parte (1h:13'00" - su Stream), seconda parte (1h:14'47" - su Stream)   -   versione compattata: prima parte (63,7 MB), seconda parte (43,5 MB)
    Esercizi:   Esercizi specifici per questa lezione (foglio 4)   -   Induzione   -   Scrittura posizionale

DODICESIMA LEZIONE - 23 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Numerazione posizionale in base arbitraria: esistenza e unicità della scrittura posizionale, procedura operativa di calcolo.
      Esempi espliciti di scrittura posizionale in base arbitraria; calcolo di cambiamento di base.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:43'25" - su Stream)   -   versione compattata (97,0 MB)   -   solo parte scritta [del 21 e 23 Ottobre] (7,46 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo II, paragrafo 2   -   [PC] Capitolo 2, paragrafo 10
    Videolezioni:   Numerazione (numerazione in base arbitraria / scrittura posizionale)
    Esercizi:   Scrittura posizionale

UNDICESIMA LEZIONE - 21 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Ordinamenti "buoni"   -   Esercizio: ogni ordinamento buono è totale.
      Proprietà fondamentali di somma, prodotto e relazione d'ordine in un S.N.N. (senza dimostrazione).
      Formulazioni alternative del Principio di Induzione (Debole): il Principio di Induzione Forte (=Pr.I.F.) e il Principio del Minimo (=Pr.M.).
      Teorema: Se si assumono gli altri assiomi di Peano, il Pr.I.D., il Pr.I.F. e il Pr. M. sono a due a due equivalenti. In conseguenza, l'ordinamento canonico in un S.N.N. è buono.
      Il metodo di dimostrazione per induzione, dei vari tipi (debole, forte - base dell'induzione, passo induttivo - o con principio del minimo).
      Esempio fondamentale di dimostrazione per induzione: la divisione con resto tra numeri naturali - esistenza e unicità di quoziente e resto (dimostrazione per induzione in tre modi diversi: col Pr.I.D., col Pr.I.F. e col Pr.M.).
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:32'33" - su Stream)   -   versione compattata (101 MB)   -   solo parte scritta (3,95 MB)
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri naturali (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 5; Capitolo II, paragrafo 1   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 4
    Videolezioni:   Naturali (sistema dei numeri naturali: assiomi di Peano, ordine, operazioni)   -   Induzione (metodo di dimostrazione per induzione [debole / forte / minimo])   -   Divisione (divisione con resto tra numeri naturali)
    Esercizi:   Induzione

DECIMA LEZIONE - 19 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Esercitazione complessiva su relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, insiemi quoziente, applicazioni del Teorema Fondamentale delle Applicazioni.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (2h:13'52" - su Stream)   -   versione compattata: prima parte (140 MB), seconda parte (104 MB)
    Esercizi:   Esercizi specifici per questa lezione (foglio 3)   -   Relazioni 1   -   Relazioni 2

NONA LEZIONE - 16 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Sistema dei Numeri Naturali (=S.N.N.): definizione tramite assiomi di Peano. Controesempi di S.N.N.
      Il problema della esistenza di un S.N.N.: l'Assioma dell'Infinito.
      Il Teorema di Unicità di un S.N.N.
      La relazione d'ordine "canonica" in un S.N.N. Le operazioni di somma e prodotto in un S.N.N.
      Proprietà notevoli delle operazioni e e della relazione d'ordine in un S.N.N. (cenni - senza dimostrazione). La relazione d'ordine è totale.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:44'36" - su Stream)   -   versione compattata (92,8 MB)   -   solo parte scritta (3,90 MB)
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri naturali (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 5   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 4
    Videolezioni:   Naturali (sistema dei numeri naturali: assiomi di Peano, ordine, operazioni)

OTTAVA LEZIONE - 14 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Esercizio: Per l'equivalenza in X associata ad una funzione f con dominio X, la classe di equivalenza di un elemento è la controimmagine della sua immagine per la funzione f.
      Proposizione: Per ogni equivalenza in un insieme E, fa famiglia delle η-classi di equivalenza è una partizione di E.
      Corollario: Ogni equivalenza in un insieme E coincide con la relazione (di equivalenza) associata ad una opportuna funzione con dominio E.
      Teorema: La funzione h che ad un quoziente di E associa la corrispondente equivalenza in E e la funzione k che ad una equivalenza in E associa il corrispondente quoziente di E sono l'una l'inversa dell'altra; in particolare, esse sono invertibili, dunque biiettive.
      Teorema Fondamentale delle Applicazioni: Ogni funzione f da A a B si fattorizza in modo unico nel prodotto di una funzione suriettiva - la proiezione canonica A sul quoziente per l'equivalenza associata ad f - seguita da una biiettiva - dal quoziente all'immagine Im(f) di f - seguita a sua volta da una iniettiva - l'immersione di Im(f) in B.
      Esempi di applicazioni del Teorema Fondamentale delle Applicazioni.
      Le congruenze modulo n ≡_n nell'insieme Z dei numeri interi: definizione, caratterizzazione in termini della funzione r_n := "resto nella divisione per n". proprietà casi particolari, descrizione delle classi di ≡_n-equivalenza, descrizione dell'insieme quoziente   Z_n := Z / ≡_n .
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:46'03" - su Stream)   -   versione compattata (149 MB)   -   solo parte scritta (3,90 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafi 2-3   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 10-12, 14   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 2-3
    Videolezioni:   Equivalenze 1 (equivalenze e partizioni)   -   Equivalenze 2 (equivalenze e funzioni)
    Esercizi:   Relazioni 1   -   Relazioni 2

SETTIMA LEZIONE (prof.ssa Lanini) - 12 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Esercitazione complessiva su funzioni caratteristiche, relazioni, preordini, ordini, equivalenze, classi di equivalenza.
    Registrazione della lezione:   versione da Teams (2h:13'52" - su Stream)   -   versione compattata (161 MB)
    Esercizi:   Esercizi specifici per questa lezione (foglio 2)   -   Insiemi, Funzioni, Relazioni   -   Relazioni 1   -   Relazioni 2

SESTA LEZIONE - 9 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Esercizio: Per ogni funzione f da A a B, l'equivalenza associata (in E) ρ_f  coincide con f ∘ f ^-1.
      Famiglie (di oggetti in un insieme), definite come funzioni. Famiglie di sottoinsiemi di un insieme, insieme quoziente e corrispondenza associati.
      Partizioni di un insieme: definizione, esempi, controesempi. Caratterizzazione delle partizioni in termini della corrispondenza - con l'insieme quoziente - associata (deve essere una funzione suriettiva).
      La relazione in E associata a una famiglia di sottoinsiemi di E.
      Proposizione: La relazione in E associata a una partizione di E è un'equivalenza.
      Classi di equivalenza; rappresentante di una classe di equivalenza.
      Collegamento tra il rapporto tra due elementi e il rapporto tra le corrispondenti classi di equivalenza. Ogni classe di equivalenza è completamente determinata da un suo qualunque elemento - che per questo è detto "rappresentante" di tale classe.
    Registrazione della lezione (ripetuta in differita):   versione originale Teams (1h:52'23" - su Stream)   -   versione compattata (108 MB)   -   solo parte scritta (4,14 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 3   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 7-10, 12   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 2-3
    Videolezioni:   Equivalenze 1 (equivalenze e partizioni)   -   Equivalenze 2 (equivalenze e funzioni)
    Esercizi:   Relazioni 1   -   Relazioni 2

QUINTA LEZIONE - 7 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Terminologia e notazioni particolari per funzioni: restrizione di una funzione ad un sottoinsieme del dominio, l'insieme B^A di tutte le funzioni da A a B, endofunzioni di un insieme in sé stesso, permutazioni di un insieme in sé stesso.
      Funzioni caratteristiche in un insieme. La funzione caratteristica di un sottoinsieme in un insieme.
      La biiezione canonica tra l'insieme P(X) delle parti di un insieme X e l'insieme 2^X delle funzioni caratteristiche in A (con descrizione esplicita delle due funzioni inverse l'una dell'altra).
      Relazioni (binarie) in un insieme; definizione, descrizione grafica (come "grafo orientato"), proprietà notevoli possibili per una relazione: riflessività, transitività, simmetricità, antisimmetricità. Esempi e controesempi.
      Relazioni di preordine; relazioni d'ordine - totali o non totali - relazioni di equivalenza.
      La relazione di inclusione - nell'insieme delle parti di un insieme X - è un ordine, che è non totale se X ha almeno due elementi. La relazione di divisibilità in Z è un preordine ma non un ordine; la relazione di divisibilità in N è un ordine non totale.
      La relazione ρ_f  in A associata ad una funzione f  da A a B è una equivalenza.   -   Generalizzazione: La relazione in A controimmagine, per una funzione f  da A a B, di una relazione in B, è riflessiva, risp. simmetrica, risp. transitiva, se tale è la relazione iniziale in B
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:50'00" - su Stream)   -   versione compattata (152 MB)   -   solo parte scritta (3,45 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafi 2, 3   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 7-10, 13   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 2, 3
    Videolezioni:   Funzioni caratteristiche (funzioni caratteristiche in un insieme)   -   Relazioni (relazioni in un insieme: generalità, esempi)   -   Ordini (relazioni d'ordine)   -   Equivalenze 1 (equivalenze e partizioni)
    Esercizi:   Funzioni   -   Funzioni, Corrispondenze   -   Insiemi, Funzioni, Relazioni   -   Relazioni 1   -   Relazioni 2

QUARTA LEZIONE (prof.ssa Lanini) - 5 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Esercitazione complessiva su insiemi, sottoinsiemi, operazioni insiemistiche, corrispondenze e loro composizione, funzioni (iniettività, suriettività, composizione di funzioni).
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (1h:56'30" - su Stream)   -   versione compattata (160 MB)
    Esercizi:   Esercizi specifici per questa lezione (foglio 1)   -   Insiemi   -   Corrispondenze   -   Funzioni, Corrispondenze   -   Funzioni

TERZA LEZIONE - 2 Ottobre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Composizione - o "prodotto (operatorio)" - di due corrispondenze: definizione, esempi.
      Proprietà notevoli di inversione e composizione: associatività, le identità sono "elementi neutri", l'inversa di un prodotto, ecc. La composizione non è commutativa.
      Proposizione: La composizione di due funzioni è (a sua volta) una funzione.
      Funzioni iniettive, funzioni suriettive, funzioni biiettive; definizione, esempi e controesempi.
      Proposizione: Una funzione f  è biiettiva <=> la corrispondenza inversa f  ^-1 è (a sua volta) una funzione. In tal caso, f  ^-1 è a sua volta una funzione.
      Funzioni invertibili: definizione, unicità della funzione inversa f'  inversa di f.
      Teorema: Per ogni funzione f  si ha:   f   è invertibile <=> la corrispondenza inversa f^-1  è una funzione <=> f   è biiettiva.
      Nozione generale di "invertibilità" per corrispondenze e risultati in proposito (cenni).
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams: prima ora (0h:44'44" - su Stream) & seconda ora (0h:48'47" - su Stream)   -   versione compattata: prima ora (61,6 MB) & seconda ora (68,5 MB)   -   solo parte scritta (2,62 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 2   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 13-14   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 3   -  
    Videolezioni:   Corrispondenze (corrispondenze tra insiemi e operazioni tra di esse)   -   Funzioni 1 (funzioni; iniettività, suriettività, biiettività)   -   Funzioni 2 (composizione di funzioni, funzioni invertibili)
    Esercizi:   Corrispondenze   -   Funzioni, Corrispondenze   -   Funzioni

SECONDA LEZIONE - 30 Settembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams)
    Contenuto della lezione:
      Proprietà notevoli delle operazioni tra insiemi (continua):
        - (5) distributività (destra e sinistra) del prodotto cartesiano rispetto all'unione, rispetto all'intersezione, rispetto alla differenza simmetrica.
      Insiemi disgiunti; l'operazione "unione disgiunta" tra insiemi.
      Corrispondenze tra insiemi: definizione, esempi. Casi speciali: relazioni e funzioni (o "applicazioni"); esempi e controesempi.
      Immagine di un sottoinsieme del dominio, controimmagine di un sottoinsieme del codominio (per una corrispondenza data). La restrizione di una corrispondenza a un sottoinsieme del dominio.
      La corrispondenza "identità". Corrispondenza inversa di una corrispondenza data.
      Legame tra funzioni e corrispondenze: la "funzione canonica" associata ad una corrispondenza.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (0h:43'05" - su Stream), soltanto la seconda ora   -   versione compattata (31,7 MB), soltanto la seconda ora   -   registrazione audio+schermo: prima ora (0h:40'00" - 45,9 MB) & seconda ora (0h:43'13" - 52,0 MB)   -   solo parte scritta (2,38 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafi 1-3   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 6-7, 13-14   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 2-3
    Videolezione:   Corrispondenze (corrispondenze tra insiemi e operazioni tra di esse)
    Esercizi:   Insiemi   -   Corrispondenze   -   Funzioni, Corrispondenze   -   Funzioni

  PRIMA LEZIONE - 28 Settembre 2020:   trasmissione in diretta (via Teams).
    Contenuto della lezione:
      Considerazioni generali sul corso, modalità d'esame, ecc.
      Insiemi: definizione (naturale, o "ingenua"), descrizioni possibili; appartenenza e non appartenenza di elementi.
      Sottoinsiemi, sovrainsiemi; inclusione tra insiemi. L'uguaglianza tra insiemi come doppia inclusione. L'insieme vuoto. L'insieme delle parti di un insieme.
      Operazioni tra insiemi: intersezione, unione, differenza, complementare, differenza simmetrica. Prodotto cartesiano di due insiemi.
      Proprietà notevoli delle operazioni tra insiemi:
        - (1) commutatività e associatività di intersezione, unione e differenza simmetrica;
        - (2) esistenza di elementi speciali per intersezione, unione e differenza simmetrica;
        - (3) distributività dell'intersezione rispetto all'unione, dell'unione rispetto all'intersezione, dell'intersezione rispetto alla differenza simmetrica;
        - (4) leggi di De Morgan (generali), leggi di De Morgan per il complementare.
    Registrazione della lezione:   versione originale Teams (2h:19'45" - su Stream)   -   versione compattata (131 MB - sul sito di Tor Vergata)   -   solo parte scritta (5,12 MB)
    Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 1   -   [dR] Capitolo 1, paragrafi 1-6   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 1
    Videolezione:   Insiemi (insiemi, sottoinsiemi, insieme delle parti, operazioni tra insiemi)
    Esercizi:   Insiemi