Corso di Laurea in Matematica
a.a 2018-2019 - primo semestre

Diario delle lezioni del corso - da 8 CFU - di

ALGEBRA 1

(elencate in ordine cronologico inverso)

DOCENTE:   Fabio Gavarini

ORARIO

Lunedì 14:00-16:00   -   Martedì 9:00-11:00   -   Mercoledì 9:00-11:00   -   Giovedì 9:00-11:00

PROGRAMMA SVOLTO



BIBLIOGRAFIA:
[AaVv] - Autori Varî, Materiale vario disponibile in rete   (per gentile concessione degli autori)
[Ca1] - G. Campanella, Appunti di Algebra 1   (per gentile concessione dell'autore)
[Ca2] - G. Campanella, Appunti di Algebra 2   (per gentile concessione dell'autore)
[dR] - M. J. de Resmini, Appunti di Algebra [parziale!](M. J. de Resmini) [copia locale / copia in rete]   (per gentile concessione dei curatori)
[Gre] - E. Gregorio, Algebra   (per gentile concessione dell'autore)
[He] - I. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti University Press, Roma, 2010
[PC] - G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico, ed. Decibel/Zanichelli, Padova, 1996

  Materiale didattico vario (dispense, videolezioni, esercizi, compiti d'esame, ecc. ecc.) utile per questo corso  


                * * *                 * * *                 * * *                

QUARANTANOVESIMA LEZIONE - 24 Gennaio 2019:
    Riepilogo ragionato di tutto il programma del corso.
    FINE del CORSO  

QUARANTOTTESIMA LEZIONE - 23 Gennaio 2019:
    Esercizi varî su:
        - il sottogruppo delle permutazioni che stabilizzano un dato sottoinsieme;
        - il sottogruppo delle permutazioni che preservano una data relazione;
        - il gruppo delle simmetrie di un (di)grafo; gruppi diedrali (cenni);
        - sottogruppi (abeliani) in gruppi di matrici triangolari, questioni di normalità;
        - l'ordine di un prodotto di elementi mutualmente commutanti (in un gruppo qualsiasi) è il m.c.m. degli ordini dei fattori;
        - scomposizione di una permutazione (di n elementi) in prodotto di cicli disgiunti, e suo ordine;
        - il gruppo degli invertibili nel prodotto diretto di due anelli unitari.
      Esercizi:   Anelli, sottoanelli   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente   -   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppoidi, morfismi

QUARANTASETTESIMA LEZIONE - 22 Gennaio 2019:
    Esercizi varî su:
        - morfismi tra anelli di matrici (quadrate) indotti da morfismi tra anelli dei coefficienti;
        - automorfismi di "coniugio" (o "coniugazione") in gruppo;
        - il centro di un gruppo, e sue caratterizzazioni;
        - gli automorfismi di "coniugio" (o "coniugazione") in un anello unitario A definiti dal gruppo U(A) degli elementi invertibili di A;
        - il gruppo moltiplicativo C* dei complessi non nulli è isomorfo al prodotto diretto S¹×R₊ del gruppo S¹ dei complessi di modulo 1 e del gruppo R₊ dei reali positivi.
      Esercizi:   Anelli, ideali, morfismi   -   Anelli, sottoanelli   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente   -   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppoidi, morfismi

QUARANTASEIESIMA LEZIONE - 21 Gennaio 2019:
    Esercizi varî su:
        - calcolo esplicito di MCD(a,b) in un anello euclideo tramite l'algoritmo delle divisioni successive;
        - calcolo esplicito di una fattorizzazione in irriducibili in un dominio a fattorizzazione;
        - calcolo esplicito di MCD(a,b) in un dominio a fattorizzazione tramite il calcolo esplicito di una fattorizzazione in irriducibili;
        - calcolo esplicito di un generatore per un ideale finitamente generato in un anello euclideo;
        - caratterizzazione dei quozienti A/(a) di un anello commutativo A modulo un ideale principale (a) che siano domini: il quoziente A/(a) è un dominio se e soltanto se il generatore a dell'ideale (a) è un elemento irriducibile;
        - descrizione delle estensioni quadratiche Q[√z] di Q come quozienti Q[x]/(x²-z) .
      Esercizi:   Divisibilità, fattorizzazione   -   Anelli euclidei, anelli principali   -   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli, ideali, morfismi   -   Anelli, sottoanelli

QUARANTACINQUESIMA LEZIONE - 16 Gennaio 2019:
    Esercizi varî su:
        - calcolo esplicito della divisione con resto tra due elementi in un anello euclideo;
        - calcolo esplicito di MCD(a,b) e di una identità di Bézout per esso in un anello euclideo;
        - fattorizzazione in irriducibili di un polinomio a coefficienti in un campo;
        - calcolo esplicito di inversi e soluzione di equazioni (modulari) in anelli quoziente di un anello K[x] con K campo.
      Esercizi:   Divisibilità, fattorizzazione   -   Anelli euclidei, anelli principali

QUARANTAQUATTRESIMA LEZIONE - 15 Gennaio 2019:
    Teorema di Euclide: Sia A uno degli anelli Z, Z[i], Z[√-2] e k[x] - per ogni campo k. Allora A contiene infiniti elementi irriducibili a due a due non associati tra loro; in altre parole, esistono infinite classi di ∼-equivalenza di elementi irriducibili in A.
    Controesempi: Z_(p) - per ogni intero primo p - e k[[x]] - per ogni campo k - sono anelli euclidei per i quali non vale il Teorema di Euclide: ognuno di essi ha - a meno di associati - un solo elemento irriducibile.
    Esempi di domini a fattorizzazione che non sono domini a fattorizzazione unica.
    Esercizi varî sugli anelli euclidei e i domini a fattorizzazione: calcolo esplicito della divisione con resto tra due elementi, fattorizzazione in irriducibili, inversi in anelli quoziente, ecc. ecc.
    FINE del PROGRAMMA (seguono soltanto esercitazioni e/o ripasso)
      Bibliografia:   [Ca2] Capitolo 3, paragrafo 3   -   [He] Capitolo 3, paragrafi 7-9   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 8-9
      Esercizi:   Divisibilità, fattorizzazione   -   Anelli euclidei, anelli principali

QUARANTATREESIMA LEZIONE - 14 Gennaio 2019:
    Domini a fattorizzazione (o "domini atomici"), domini a fattorizzazione unica.
    Lemma: In un anello euclideo, la moltiplicazione per un invertibile non cambia la valutazione; in altre parole, due elementi associati tra loro hanno la stessa valutazione.
    Lemma: In un dominio unitario a ideali principali, ogni irriducibile è primo.
    Teorema:
      (a) Ogni anello euclideo è dominio a fattorizzazione unica;
      (b) ogni dominio unitario a ideali principali è dominio a fattorizzazione unica.
    Corollario: Z[i] e k[x] - per ogni campo k - sono domini a fattorizzazione unica.
    Esercizi sul calcolo esplicito di una fattorizzazione in irriducibili di un intero di Gauss.
      Bibliografia:   [Ca2] Capitolo 3, paragrafo 3   -   [He] Capitolo 3, paragrafi 7-9   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 8-9
      Esercizi:   Divisibilità, fattorizzazione   -   Anelli euclidei, anelli principali

QUARANTADUESIMA LEZIONE - 10 Gennaio 2019:
    Teorema: Sia A un anello euclideo. Allora:
      - (a) A è unitario e a ideali principali;
      - (b) ogni ideale non nullo di A è generato da qualunque suo elemento non nullo di valutazione minima, e viceversa generatore dell'ideale ha valutazione minima (tra gli elementi non nulli dell'ideale);
      - (c) l'unità di A ha valutazione minima possibile (tra tutti gli elementi non nulli di A);
      - (d) il gruppo U(A) degli invertibili di A è formato dagli elementi non nulli di A con valutazione minima.
    Teorema: Sia D un dominio a ideali principali. Allora per ogni a e b non nulli in D si ha:
      - (a) esiste d := MCD(a,b) e una identità di Bézout per esso, con   (d) = (a) + (b) = ({a,b}) =: (a,b) ;
      - (b) esiste m := mcm(a,b) , con   (m) = (a) ∩ (b) ;
      - (c) vale in D la relazione   m d ∼ a b ,   cioè   MCD(a,b) mcm(a,b) ∼ a b  .
    Esercizi sul calcolo esplicito del M.C.D. tra due elementi, e di una identità di Bé per esso, tramite l'algoritmo euclideo delle divisioni successive in un anello euclideo.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo III, paragrafo 2   -   [Ca2] Capitolo 3, paragrafo 3   -   [He] Capitolo 3, paragrafi 7-9   -   [PC] Capitolo 4, paragrafo 7; capitolo 3, paragrafo 2
      Esercizi:   Anelli euclidei, anelli principali   -   Anelli, campi, divisibilità

QUARANTUNESIMA LEZIONE - 9 Gennaio 2019:
    Esempi di anelli euclidei (continua):   (5) l'anello k[[x]] delle serie formali in una variabile x a coefficienti in un campo k,   (6) l'anello Z[i] degli interi di Gauss.
    Esercizi varî di calcolo esplicito della divisione con resto tra due elementi in un anello euclideo (interi di Gauss, polinomi in una variabile a coefficienti in un campo, ecc.).
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo III, paragrafo 2   -   [He] Capitolo 3, paragrafi 7-9   -   [PC] Capitolo 4, paragrafo 7; capitolo 3, paragrafo 2
      Esercizi:   Anelli, campi, divisibilità

QUARANTESIMA LEZIONE - 8 Gennaio 2019:
    Lemma: Sia A un anello commutativo in cui ogni ideale sia l'insieme dei multipli di un qualche elemento di A. Allora A è un anello unitario a ideali principali.
    La relazione di divisibilità e la relazione di "essere associati" in un anello commutativo: definizione e proprietà fondamentali.
    Fattorizzazione in un anello commutativo; elementi riducibili, elementi irriducibili, elementi primi.
    Lemma: In un anello commutativo, ogni elemento primo è irriducibile.
    Massimo comun divisore (=M.C.D.) e minimo comune multiplo (=m.c.m.) tra due elementi in un anello commutativo: definizione e proprietà fondamentali.
    Anelli euclidei: definizione, casi di valutazioni particolari (moltiplicative o additive).   Lemma: Ogni anello euclideo è un dominio.
    Esempi di anelli euclidei:   (1) i campi,   (2) l'anello Z dei numeri interi,   (3) l'anello Z_(p) , per ogni intero primo p,   (4) l'anello k[x] dei polinomi in una variabile x a coefficienti in un campo.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo III, paragrafo 2   -   [Ca2] Capitolo 3, paragrafo 3   -   [He] Capitolo 3, paragrafi 7 e 9   -   [PC] Capitolo 4, paragrafo 7; capitolo 3, paragrafo 2
      Esercizi:   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli, ideali, morfismi

TRENTANOVESIMA LEZIONE - 7 Gennaio 2019:
    Campo dei quozienti di un dominio. Ogni campo è campo dei quozienti di sé stesso. Domini isomorfi hanno campi dei quozienti isomorfi; i campi dei quozienti di uno stesso dominio sono a due a due isomorfi.
    Costruzione esplicita del campo dei quozienti Q(D) di un dominio D e del monomorfismo canonico da D in Q(D).
    Esempi di campo dei quozienti di un dominio: il campo dei numeri razionali Q come Q(Z) e come Q(Z_(p)) - per ogni intero primo p - il campo k(x₁,...,x_n) delle funzioni razionali (in n variabili) a coefficienti in un campo k come Q(k[x₁,...,x_n]), il campo Q[i] dei "razionali di Gauss" come Q(Z[i]).
    L'ideale sinistro/destro/bilatero di un anello A generato da un sottoinsieme S di A: definizione, esistenza, descrizione (insiemistica e "puntuale"); il caso speciale di un anello unitario. Ideali principali; caso generale, caso commutativo, caso unitario.
    Anelli a ideali principali: definizione, esempi, controesempi.
      Bibliografia:   [Ca2] Capitolo 3, paragrafo 2   -   [He] Capitolo 3, paragrafo 6   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 5-6
      Esercizi:   Anelli, campi, divisibilità   -   Anelli, ideali, morfismi   -   Anelli, sottoanelli

TRENTOTTESIMA LEZIONE - 20 Dicembre 2018:
    Esempi ed esercizi varî su anelli, sottoanelli, ideali, morfismi tra anelli. In particolare:
      - ideali in anelli di polinomi, di serie, di polinomi di Laurent, di serie di Laurent,
      - caratterizzazione delle serie formali (in una variabile) invertibili, e calcolo della serie inversa,
      - caratterizzazione dei polinomi (in una variabile) invertibili, e calcolo del polinomio inverso,
      - anelli di funzioni a valore in un anello (in generale),
      - anelli di successioni a valori numerici, loro sottoanelli notevoli, loro ideali notevoli: i casi delle successioni divergenti, delle successioni limitate, delle successioni convergenti, delle successioni infinitesime.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4; capitolo III, paragrafo 1   -   [Ca2] Capitolo 1, paragrafi 2 e 3   -   [He] Capitolo 3, paragrafi 1-5   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 1-4
      Esercizi:   Anelli, ideali, morfismi   -   Anelli, sottoanelli

TRENTASETTESIMA LEZIONE - 19 Dicembre 2018:
    Esempi ed esercizi varî su anelli, sottoanelli, ideali, morfismi tra anelli. In particolare:
      - descrizione di tutti i sottoanelli di Q contenenti 1,
      - gli ideali di un anello di matrici (quadrate) sono tutti e soli i sottoinsiemi di matrici a coefficienti in un ideale,
      - ogni morfismo tra anelli induce canonicamente un morfismo tra i corrispondenti anelli di matrici (quadrate),
      - l'insieme degli elementi nilpotenti in un anello commutativo (detto "radicale nilpotente" dell'anello) è un ideale dell'anello,
      - il radicale nilpotente di un anello di polinomi A[x] è il sottoanello di tutti i polinomi a coefficienti nel radicale nilpotente dell'anello A; analogo risultato vale anche per il radicale nilpotente di un anello di polinomi di Laurent A[x,x^-1].
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4; capitolo III, paragrafo 1   -   [Ca2] Capitolo 1, paragrafi 2 e 3   -   [He] Capitolo 3, paragrafi 1-5   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 1-4
      Esercizi:   Anelli, ideali, morfismi   -   Anelli, sottoanelli

TRENTASEIESIMA LEZIONE - 18 Dicembre 2018:
    Relazioni di equivalenza compatibili (="congruenze") in un anello: anello quoziente e proiezione canonica associati ad una congruenza in un anello.
    Esempi e controesempi di proprietà di un anello che vengono ereditate dai suoi quozienti.
    Ideali sinistri, risp. destri, risp. bilateri, in un anello; ogni idale è un sottoanello.
    Proposizione: Sia A un anello.
      - (a) l'equivalenza associata in A (come gruppo additivo) ad un ideale è compatibile (con le due operazioni di A);
      - (b) per ogni equivalenza compatibile in A, il sottogruppo associato (=la classe di equivalenza di 0_A) è un ideale.
      Pertanto, le congruenze in A sono in biiezione con gli ideali (bilateri) di A.
    Corrispondenze tra sottoanelli, risp. ideali (bilateri), di A e sottoanelli, risp. ideali (bilateri) di Im(ϕ) rispetto a un morfismo di anelli   ϕ: A → B. La biiezione indotta tra sottoanelli, risp. ideali (bilateri) contenenti Ker(ϕ) e sottoanelli, risp. ideali (bilateri) del sottoanello Im(ϕ) di B. Il caso suriettivo.
    Il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Anelli.
      Bibliografia:   [Ca2] Capitolo 1, paragrafi 2 e 3   -   [He] Capitolo 3, paragrafi 4-5   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 3-4
      Esercizi:   Anelli, ideali, morfismi   -   Anelli, sottoanelli

TRENTACINQUESIMA LEZIONE - 17 Dicembre 2018:
    Esempio: l'anello delle matrici quadrate a coefficienti in un anello dato; non-commutatività e non integrità (salvo casi eccezionali) dell'anello delle matrici quadrate.
    Esempio: l'anello dei polinomi, o dei polinomi di Laurent, o delle serie (formali), o delle serie (formali) di Laurent, in una o più variabili a coefficienti in un anello dato.
    Morfismi tra anelli; immagine e nucleo di un morfismo tra anelli.
    Proposizione: Un morfismo di gruppi è suriettivo, risp. iniettivo, risp. costante, se e soltanto se l'immagine è tutto il codominio, risp. il nucleo è il sottoanello zero, risp. l'immagine è il sottoanello zero oppure (equivalentemente) il nucleo è il sottoanello totale.
    Teorema di Cayley (per anelli): Per ogni anello A, c'è un morfismo λ da A all'anello End(A;+) degli endomorfismi di (A;+), dato dalla moltiplicazione a sinistra. Se inoltre A è unitario, allora λ manda l'elemento unità di A nell'endomorfismo identità ed è iniettivo.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4; capitolo III, paragrafo 1   -   [He] Capitolo 3, paragrafi 1-3   -   [PC] Capitolo 4, paragrafi 1-2
      Esercizi:   Anelli, sottoanelli

TRENTAQUATTRESIMA LEZIONE - 13 Dicembre 2018:
    Anelli: definizione generale, (sotto)classi particolari (commutativi, unitari, integri; corpi e campi). Proprietà elementari in un anello.   Lemma: Ogni corpo è integro.
    Sottoanelli di un anello; criterio perché un sottoinsieme sia un sottoanello. L'intersezione di una qualunque famiglia di sottoanelli è un sottoanello.
    Il sottoanello generato da un sottoinsieme: definizione, esistenza, descrizione (insiemistica e "puntuale").
    Esempi e controesempi varî di anelli (generali e di sottoclassi particolari): l'insieme delle parti come anello; anelli numerici; l'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano; prodotto diretto di anelli; l'anello delle funzioni a valori in un anello.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4   -   [He] Capitolo 3, paragrafi 1-2   -   [PC] Capitolo 4, paragrafo 1
      Videolezione:   Insiemi con più operazioni       Esercizi:   Anelli, sottoanelli

TRENTATREESIMA LEZIONE - 12 Dicembre 2018:
    Proposizione: Se due insiemi sono equipotenti, allora i loro gruppi di permutazioni sono isomorfi.
    Gruppi di permutazioni di insiemi finiti. Notazioni standard per la descrizione di una permutazione. Permutazioni cicliche; decomposizione di una permutazione in cicli disgiunti.
    Esempi ed esercizi varî su permutazioni di insiemi finiti, gruppi, sottogruppi normali, morfismi tra gruppi.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafo 3   -   [Gre] Capitolo 2, paragrafo 9   -   [He] Capitolo 2, paragrafo 10   -   [PC] Capitolo 5, paragrafo 2
      Esercizi:   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente

TRENTADUESIMA LEZIONE - 11 Dicembre 2018:
    Immagine e nucleo di un morfismo di gruppi: l'immagine è sottogruppo del codominio, il nucleo è sottogruppo normale del dominio; le fibre sono tutte e sole le classi laterali del nucleo.
    Proposizione: Un morfismo di gruppi è suriettivo, risp. iniettivo, se e soltanto se l'immagine è tutto il codominio, risp. il nucleo è il sottogruppo banale.
    Proposizione: I sottogruppi normali di un gruppo G sono tutti e soli i nuclei dei morfismi con G come dominio.
    Il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Gruppi.
    Corrispondenze tra sottogruppi (eventualmente normali) di G e sottogruppi (eventualmente normali) di G' rispetto a un morfismo di gruppi   ϕ: G → G'. La biiezione indotta tra sottogruppi (ev. normali) contenenti Ker(ϕ) e sottogruppi (ev. normali) contenuti in Im(ϕ). Il caso suriettivo.
      Bibliografia:   [Ca2] Capitolo 1, paragrafi 1 e 3   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 2-3 e 5-6   -   [He] Capitolo 2, paragrafi 6-7   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 7-10
      Esercizi:   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente

TRENTUNESIMA LEZIONE - 6 Dicembre 2018:
    Sottogruppi vs. equivalenze compatibili a destra / sinistra (in un gruppo):
      - l'equivalenza destra, risp. sinistra, associata ad un sottogruppo è compatibile a destra, risp. a sinistra, con l'operazione del gruppo;
      - viceversa, ogni equivalenza compatibile a destra, risp. a sinistra, è associata ad un sottogruppo, che è la classe di equivalenza dell'elemento neutro.
    Condizioni equivalenti perché le due equivalenze associate ad un sottogruppo siano compatibili. Sottogruppi normali in un gruppo. La biiezione tra equivalenze compatibili (o "congruenze") in un gruppo e suoi e sottogruppi normali. Gruppi quoziente (per un sottogruppo normale). Nel caso abeliano tutti i sottogruppi sono normali.
    Applicazione: le equivalenze compatibili nel gruppo (Z;+) sono tutte e sole le congruenze modulo n.
    Esempi, controesempi ed esercizi varî su gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 5 e 7   -   [Ca2] Capitolo 1, paragrafo 1   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 2, 3, 5 e 7   -   [He] Capitolo 2, paragrafo 6   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 5 e 8
      Esercizi:   Gruppi, sottogruppi   -   Gruppi, morfismi, sottogruppi normali, gruppi quoziente

TRENTESIMA LEZIONE - 5 Dicembre 2018:
    Proposizione: Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è a sua volta ciclico, ed esiste una formula esplicita per un suo generatore.
    Teorema: In un gruppo ciclico finito G, la funzione "ordine" è una biiezione dall'insieme dei sottogruppi di G all'insieme dei divisori dell'ordine di G.
    Proposizione: In un gruppo ciclico finito di ordine n, i generatori sono in biiezione - tramite un isomorfismo standard - con gli elementi di U(Z_n; ⋅ ).
    Le relazioni di equivalenza (destra e sinistra) in un gruppo G associate ad un sottogruppo H; classi laterali (destre o sinistre) come classi di equivalenza di tali equivalenze.
    Proposizione: Le classi laterali (destre e/o sinistre) di un sottogruppo H hanno tutte la cardinalità di H stesso.
    Gli insiemi di classi laterali (destre o sinistre) G/H e H\G hanno la stessa cardinalità, detta indice di H in G e indicata con (G:H).
    Teorema di Lagrange: Per ogni gruppo finito G si ha o(G) = (G:H) o(H) .
    Conseguenze del Teorema di Lagrange: (1) il Teorema di Eulero, (2) ogni gruppo finito di ordine primo è ciclico, (3) in un gruppo finito, l'ordine di ogni elemento divide l'ordine del gruppo.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 2 e 5   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 2, 3, 4 e 8   -   [He] Capitolo 2, paragrafo 4   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 1 e 5
      Esercizi:   Gruppi, sottogruppi

VENTINOVESIMA LEZIONE - 4 Dicembre 2018:
    Sottogruppi di un gruppo. Criterio perché un sottoinsieme di un gruppo sia un sottogruppo.
    Unione e intersezione di sottogruppi: l'unione non è (in generale) un sottogruppo, l'intersezione è (sempre) un sottogruppo.
    Il sottogruppo generato da un sottoinsieme: definizione, esistenza, descrizione (insiemistica e "puntuale").
    Gruppi (e sottogruppi) ciclici: definizione, proprietà elementari.
    Ordine di un gruppo; ordine di un elemento in un gruppo.
    Teorema di Struttura dei Gruppi Ciclici: Ogni gruppo ciclico è isomorfo a Z - se è infinito - oppure a Z_n - se è finito di ordine n.
    Corollario: Le classi di isomorfismo dei gruppi ciclici sono in biiezione con i numeri naturali.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo IV, paragrafi 1-2   -   [Gre] Capitolo 4, paragrafi 2 e 8   -   [He] Capitolo 2, paragrafi 1-4   -   [PC] Capitolo 5, paragrafo 1
      Esercizi:   Gruppi, sottogruppi

VENTOTTESIMA LEZIONE - 29 Novembre 2018:
    Esempi ed esercizi varî su gruppoidi e morfismi.
    Prodotti (diretto) di gruppoidi. Il prodotto di gruppoidi commutativi è commutativo; il prodotto di semigruppi, risp. di monoidi, risp. di gruppi, è un semigruppo, risp. un monoide, risp. un gruppo. Il gruppo degli invertibili in un prodotto di monoidi è il prodotto dei gruppi degli invertibili nei monoidi fattori.
    Gruppoidi di funzioni: la struttura canonica di gruppoide nell'insieme K^X delle funzioni da un insieme X a un gruppoide K.
    Se K è commutativo, risp. è un semigruppo, risp. è un monoide, risp. è un gruppo, allora anche K^X è a sua volta commutativo, risp. è un semigruppo, risp. è un monoide, risp. è un gruppo.
    Il gruppo U(K^X) degli elementi invertibili in K^X è il gruppo di funzioni U(K)^X da X al gruppo U(K) degli elementi invertibili in K.
      Bibliografia:   [Gre] Capitolo 3
      Esercizi:   Gruppoidi, morfismi

VENTISETTESIMA LEZIONE - 28 Novembre 2017:
    Operazioni (binarie) e relazioni (binarie) compatibili in un insieme.
    Proposizione-Definizione: Dato un gruppoide e una equivalenza compatibile in esso, l'insieme quoziente ha una e una sola struttura di gruppoide tale che la proiezione canonica sia un morfismo. Tale gruppoide si dice "gruppoide quoziente".
    Corollario: Il quoziente di un gruppoide che sia commutativo, risp. sia un semigruppo, risp. sia un monoide, risp. sia un gruppo, è a sua volta commutativo, risp. un semigruppo, risp. un monoide, risp. un gruppo.
    Proposizione: Per ogni morfismo di gruppoidi, l'equivalenza ad esso canonicamente associata nel dominio è compatibile con l'operazione assegnata.
    Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Gruppoidi: Ogni morfismo di gruppoidi φ da S a T si fattorizza nel prodotto di un epimorfismo - la proiezione canonica S sul gruppoide quoziente per l'equivalenza associata ad f - seguita da un isomorfismo - dal quoziente all'immagine Im(φ) di φ - seguita a sua volta da un monomorfismo - l'immersione di Im(φ) in T.
    Gruppoidi cancellativi: definizione, esempi, controesempi.
    Teorema: Per ogni semigruppo cancellativo abeliano S, esiste un gruppo abeliano G(S) e un monomorfismo   j : S → G(S)   tale che ogni elemento g di G(S) esistano due elementi s₊ e s_- in S tali che g sia il prodotto di s₊ per s_-.
    Applicazioni: Costruzione di (Z ; + ), risp. di (Q₊ ; ⋅ ), risp. di (Q\{0} ; ⋅ ), come gruppo abeliano G(S) associato al semigruppo abeliano cancellativo (S ; ∗ ) := (N ; + ) , risp. (S ; ∗ ) := (N₊ ; ⋅ ) , risp. (S ; ∗ ) := (Z\{0} ; ⋅ ) .
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4   -   [Gre] Capitolo 3   -   [PC] Capitolo 5, paragrafo 8; capitolo 2, paragrafo 1
      Esercizi:   Gruppoidi, morfismi

VENTISEIESIMA LEZIONE - 27 Novembre 2017:
    Operazioni n-arie in un insieme. Proprietà speciali e elementi speciali per insiemi con una operazione binaria. Gruppoidi, semigruppi, monoidi, gruppi.
    Unicità di elemento neutro e inversi (se esistono) in un semigruppo.
    Lemma: Il sottoinsieme degli elementi invertibili in un monoide è un gruppo (rispetto alla restrizione dell'operazione data).
    (Omo)Morfismi tra gruppoidi; epimorfismi, monomorfismi, isomorfismi, endomorfismi, automorfismi.
    Proprietà di base dei morfismi:
        (a) la composizione di morfismi è un morfismo;
        (b) l'identità (di un gruppoide in sé) è un automorfismo;
        (c) un morfismo è isomorfismo se e soltanto se è invertibile come funzione;
        (d) l'immagine tramite un morfismo di un semigruppo, risp. di un monoide, risp. di un gruppo, è un semigruppo, risp. un monoide, risp. un gruppo;
        (e) gli endomorfismi, risp. gli automorfismi, di un gruppoide formano un monoide, risp. un gruppo, rispetto al prodotto di composizione.
    Teorema di Cayley (per semigruppi): Per ogni semigruppo S, c'è un morfismo f da S a S^S dato dalla moltiplicazione a sinistra. Se inoltre S è un monoide, allora f manda l'elemento neutro nell'elemento neutro ed è iniettivo.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 4   -   [Gre] Capitolo 3   -   [PC] Capitolo 5, paragrafi 1 e 6
      Videolezione:   Insiemi con operazioni
      Esercizi:   Gruppoidi, morfismi

VENTICINQUESIMA LEZIONE - 15 Novembre 2018:
    Esercizi varî su:
        - equazioni diofantee, equazioni congruenziali, equazioni modulari,
        - sistemi di equazioni congruenziali,
        - calcolo di inversi e calcolo di potenze in Z_n ,
        - relazioni, equivalenze, classi di equivalenza, insiemi quozienti, applicazioni del Teorema Fondamentale delle Applicazioni.
      Esercizi:   MCD, equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali e equazioni modulari   -   Aritmetica modulare   -   Relazioni 1   -   Relazioni 2

VENTIQUATTRESIMA LEZIONE - 14 Novembre 2018:
    La funzione φ di Eulero: definizione. L'insieme U(Z_n) degli elementi invertibili in Z_n ha esattamente φ(n) elementi.
    Semimoltiplicatività della funzione di Eulero; formula esplicita del valore della funzione di Eulero in termini di una fattorizzazione in primi.
    Potenze in Z_n : ripetitività, algoritmo di riduzione degli esponenti. Il Piccolo Teorema di Fermat e il Teorema di Eulero (senza dimostrazione).
    Applicazione del Teorema di Eulero all'algoritmo di riduzione dell'esponente di una potenza di una classe invertibile in Z_n .
    Esempi espliciti di calcolo di potenze in Z_n .
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo II, paragrafo 6   -   [PC] Capitolo 2, paragrafo 8
      Esercizi:   Equazioni congruenziali e equazioni modulari

VENTITREESIMA LEZIONE - 13 Novembre 2018:
    Esercizi varî sulle equazioni diofantee, sulle equazioni congruenziali, sulle equazioni modulari.
    Esercizi varî sui sistemi di equazioni congruenziali.
    Esercizi varî sul calcolo di inversi in Z_n .
      Esercizi:   MCD, equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali e equazioni modulari   -   Aritmetica modulare

VENTIDUESIMA LEZIONE - 12 Novembre 2018:
    L'insieme U(Z_n) degli elementi invertibili di Z_n ; definizione, proprietà, descrizione esplicita.
    Proposizione:   Le seguenti proprietà sono equivalenti:
        (a)   n è primo;
        (b)   n è irriducibile;
        (c)   U(Z_n) = Z_n \ {0} (cioè Z_n è un campo);
        (d)   Z_n è privo di divisori di zero (cioè Z_n è un dominio).
    Sistemi di equazioni congruenziali (lineari): discussione, sistemi equivalenti. Sistemi in forma cinese.
    Teorema Cinese del Resto (per sistemi cinesi e per sistemi generali).
    Per interi r₁ , r₂ , ... , r_k a due a due coprimi, esiste una biiezione canonica (di anelli) da Z_{r1 r2 ... rk} a Z_r1 x Z_r2 x ... x Z_rk che rispetta somma e prodotto. Tale biiezione si restringe ad una biiezione U(Z_{r1 r2 ... rk}) a U(Z_r1) x U(Z_r2) x ... x U(Z_rk) che rispetta il prodotto.
      Bibliografia:   [AaVv] file Congruenze, aritmetica modulare(D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafo 5   -   [PC] Capitolo 2, paragrafo 7
      Esercizi:   Equazioni congruenziali e equazioni modulari   -   Aritmetica modulare

VENTUNESIMA LEZIONE - 8 Novembre 2018:
    Proprietà notevoli delle operazioni di somma e prodotto in Z_n .
    Proposizione: Z_n è privo di divisori di zero <=> n è primo.
    Criteri di divisibilità in Z: strategia generale (calcolo di una classe in Z_n) ed esempi specifici.
    Equazioni congruenziali in Z, equazioni modulari in Z_n: definizione, connessione tra equazioni congruenziali, equazioni modulari ed equazioni diofantee (in ZxZ).
    Criterio di esistenza di soluzioni e metodo risolutivo (completo) per equazioni congruenziali o modulari.
    Classi invertibili in Z_n . Calcolo dell'inverso di una classe invertibile mediante risoluzione di una equazione congruenziale.
    Esempi di calcolo di classi inverse; esempi di risoluzione di equazioni modulari o congruenziali.
      Bibliografia:   [AaVv] file Congruenze, aritmetica modulare(D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 4-5   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 6-7
      Esercizi:   Equazioni congruenziali e equazioni modulari   -   Aritmetica modulare

VENTESIMA LEZIONE - 7 Novembre 2018:
    Esercizi varî sul M.C.D. tra due interi e identità di Bézout per esso.
    Esercizi varî sulle equazioni diofantee. Equivalenza tra equazioni diofantee; semplificazione di un'equazione diofantea.
    Descrizione esplicita dell'insieme delle soluzioni di un'equazione diofantea omogenea. Risoluzione (completa) di un'equazione diofantea qualsiasi.
    Richiami sulle congruenze modulo n in Z; descrizione delle classi di congruenza modulo n e dell'insieme quoziente Z_n .
    Lemma: Le operazioni di somma e prodotto in Z sono compatibili con ogni congruenza modulo n.
    Definizione di somma e prodotto in Z_n .
      Bibliografia:   [AaVv] file Congruenze, aritmetica modulare(D'Andrea), paragrafi 1-2   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 3-4   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 3 e 6
      Esercizi:   Numeri interi   -   MCD, equazioni diofantee

DICIANNOVESIMA LEZIONE - 6 Novembre 2018:
    Numeri interi coprimi (o "primi tra loro").
    Proposizione: Tra i numeri interi, ogni irriducibile è primo.
    Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: esistenza e unicità di una fattorizzazione in irriducibili per interi non nulli e non invertibili (dimostrazione dell'unicità).
    L'espressione unica di un intero non nullo come prodotto di un invertibile (un segno) e di potenze di irriducibili prefissati.
    Divisibilità tra un intero e un altro in termini delle loro fattorizzazioni in irriducibili (come sopra).
    Esistenza e forma esplicita di MCD(a,b) e di mcm(a,b) in termini di fattorizzazioni di a e di b ; la relazione MCD(a,b) mcm(a,b) = a b ; calcolo di mcm(a,b) tramite il calcolo di MCD(a,b).
    Equazioni diofantee: definizione, criterio di esistenza di soluzioni, algoritmo per il calcolo esplicito di una soluzione. Esempi espliciti.
      Bibliografia:   [AaVv] file Numeri interi (D'Andrea), paragrafo 4; file Congruenze, aritmetica modulare(D'Andrea), paragrafo 2   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 2-4   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 2 e 6
      Esercizi:   MCD, equazioni diofantee

DICIOTTESIMA LEZIONE - 5 Novembre 2018:
    Elementi riducibili, elementi irriducibili, elementi primi.
    Lemma: Ogni primo è irriducibile.
    Il problema generale della fattorizzazione. Fattorizzazioni banali, fattorizzazioni "ottimali" (=in fattori irriducibili); fattorizzazioni equivalenti.
    Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: Esistenza e unicità di una fattorizzazione in irriducibili per interi non nulli e non invertibili (dimostrazione dell'esistenza).
    Teorema di Euclide: Esistono infiniti numeri interi irriducibili.
    Massimo comun divisore (=M.C.D.) e minimo comun multiplo (=m.c.m.) di due numeri interi.
    La divisione con resto tra numeri interi.
    Esistenza del MCD in Z, e identità di Bézout per esso.
    L'algoritmo euclideo delle divisioni successive per il calcolo di M.C.D.(a,b) e di un'identità di Bézout per esso.
      Bibliografia:   [AaVv] file Numeri interi (D'Andrea), paragrafo 4   -   [Ca1] Capitolo II, paragrafi 1-3   -   [PC] Capitolo 2, paragrafi 2-3
      Esercizi:   Numeri Interi   -   MCD, equazioni diofantee

DICIASSETTESIMA LEZIONE - 31 Ottobre 2018:
    Costruzione dei numeri interi a partire dai numeri naturali: l'insieme Z dei numeri interi, operazioni e ordine in Z, valore assoluto (da Z a N).
    Proprietà fondamentali delle operazioni, dell'ordine e del valore assoluto per numeri interi.
    La relazione di divisibilità in Z. Elementi invertibili, elementi associati.
      Bibliografia:   [AaVv] file Numeri interi (D'Andrea), paragrafo 4   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 5(B); Capitolo II, paragrafi 2-3   -   [He] Capitolo 1, paragrafo 3   -   [PC] Capitolo 2, paragrafo 1
      Esercizi:   Numeri Interi

SEDICESIMA LEZIONE - 25 Novembre 2018:
    Esercizi varî sulla combinatoria, sul principio di induzione, sulla scrittura posizionale.
      Esercizi:   Combinatoria   -   Induzione   -   Scrittura posizionale

QUINDICESIMA LEZIONE - 24 Ottobre 2018:
    I numeri cardinali infiniti superiori "Aleph_n" (per ogni n in N). La cardinalità del continuo: |R| = |P(N)| .
    L'ipotesi del continuo e l'ipotesi del continuo generalizzata. Distribuzione (rispetto alla relazione d'ordine) dei numeri cardinali.
    Esercizi varî sulla cardinalità e sulla combinatoria.
      Bibliografia:   [AaVv] file Cardinalità (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 6   -   [dR] (copia locale / copia in rete) pp. 141-144
      Videolezioni:   Cardinalità 2   (Secondo Teorema di Cantor)
      Esercizi:   Cardinalità

QUATTORDICESIMA LEZIONE - 23 Ottobre 2018:
    Proposizione: L'insieme NxN è numerabile.
    1^o Teorema di Cantor: L'unione di una famiglia numerabile di insiemi numerabili è a sua volta numerabile.  
    Corollario: L'unione di una famiglia finita o numerabile di insiemi finiti o numerabili è a sua volta finita o numerabile; se almeno un insieme è numerabile, la famiglia è anch'essa numerabile.  
    Esempi: Gli insiemi Z e Q sono numerabili.
    2^o Teorema di Cantor: Per ogni insieme X, la cardinalità dell'insieme delle parti P(X) e la cardinalità dell'insieme delle funzioni caratteristiche 2^X è strettamente maggiore della cardinalità di X.
      Bibliografia:   [AaVv] file Cardinalità (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 6   -   [dR] (copia locale / copia in rete) pp. 139-141, 153-156   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 5
      Videolezioni:   Cardinalità 1   (insiemi equipotenti, cardinalità; Primo Teorema di Cantor)   -   Cardinalità 2   (Secondo Teorema di Cantor)
      Esercizi:   Cardinalità

TREDICESIMA LEZIONE - 22 Ottobre 2018:
    Equipotenza tra insiemi; l'equipotenza è riflessiva, simmetrica, transitiva. Cardinalità di un insieme, numeri cardinali. Insiemi finiti, insiemi infiniti; insiemi (infiniti) numerabili.
    Relazione d'ordine tra numeri cardinali: il Teorema di Schroeder-Bernstein (senza dimostrazione della antisimmetria).
    Proprietà degli insiemi numerabili: (a) Ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile; (b) in un insieme numerabile, ogni sottoinsieme o è finito oppure è numerabile.
    Corollario: La cardinalità del numerabile è strettamente maggiore di ogni cardinale finito, ed è minore o uguale ad ogni cardinale infinito.
    Caratterizzazione degli insiemi infiniti: Per ogni insieme X le seguenti proprietà sono equivalenti:
      - X è infinito,
      - esiste una funzione iniettiva dall'insieme dei numeri naturali ad X,
      - esiste un sottoinsieme proprio di X che è equipotente ad X stesso.
      Bibliografia:   [AaVv] file Cardinalità (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 6   -   [dR] (copia locale / copia in rete) pp. 136-140   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 5
      Videolezione:   Cardinalità 1   (insiemi equipotenti, cardinalità; Primo Teorema di Cantor)
      Esercizi:   Cardinalità

DODICESIMA LEZIONE - 18 Ottobre 2018:
    La funzione (ricorsiva) fattoriale f(n) = n!
    Elementi di calcolo combinatorio:
      - calcolo del numero di funzioni da un insieme finito ad un altro;
      - calcolo del numero di funzioni iniettive da un insieme finito ad un altro;
      - calcolo del numero di biiezioni tra due insieme finiti con n elementi (è n!); il numero di permutazioni di un insieme con n elementi è n! ;
      - calcolo del numero dei sottoinsiemi con k elementi in un insieme con n elementi ("combinazioni di k elementi scelti tra n"): coefficienti binomiali (definizione combinatoria e calcolo della formula esplicita);
    Proprietà notevoli dei coefficienti binomiali: casi speciali, il triangolo di Pascal-Tartaglia. Esempi di identità combinatorie notevoli.
    Esercizio: la formula di Newton per lo sviluppo delle potenze di un binomio in termini di coefficienti binomiali.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 2   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 6
      Esercizi:   Combinatoria

UNDICESIMA LEZIONE - 17 Ottobre 2018:
    Numerazione in base arbitraria: esistenza e unicità della scrittura posizionale in base b (>1) arbitraria; procedura operativa di calcolo.
    Esempi espliciti di scrittura posizionale in base arbitraria; calcolo di cambiamento di base.
    "Conversioni facili": cambiamenti di base in cui una base sia potenza dell'altra.
    Gli algoritmi di calcolo di somma, prodotto e divisione con resto usando la scrittura posizionale in base arbitraria (cenni).
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo II, paragrafo 2   -   [PC] Capitolo 2, paragrafo 10
      Videolezioni:   Numerazione (numerazione in base arbitraria / scrittura posizionale)
      Esercizi:   Scrittura posizionale

DECIMA LEZIONE - 16 Ottobre 2018:
    Proprietà fondamentali di somma, prodotto e relazione d'ordine in un S.N.N. (senza dimostrazione).
    Formulazioni alternative del Principio di Induzione: il Principio di Induzione Debole (=Pr.I.D.), il Principio di Induzione Forte (=Pr.I.F.), il Principio del Minimo (=Pr.M.).
    Teorema: Se si assumono gli altri assiomi di Peano, il Pr.I.D., il Pr.I.F. e il Pr. M. sono a due a due equivalenti.
    Metodi di dimostrazione per induzione, dei vari tipi (debole, forte - base dell'induzione, passo induttivo - o con principio del minimo).
    Esempio fondamentale di dimostrazione per induzione: la divisione con resto tra numeri naturali (dimostrazione per induzione in tre modi diversi: col Pr.I.D., col Pr.I.F. e col Pr.M.).
      Bibliografia:   [AaVv] file Numeri naturali (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 5; Capitolo II, paragrafo 1   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 4
      Videolezioni:   Naturali (sistema dei numeri naturali: assiomi di Peano, ordine, operazioni)   -   Induzione (metodo di dimostrazione per induzione [debole / forte / minimo])   -   Divisione (divisione con resto tra numeri naturali)
      Esercizi:   Induzione

NONA LEZIONE - 15 Ottobre 2018:
    Sistema dei Numeri Naturali (=S.N.N.): definizione tramite assiomi di Peano. Controesempi di S.N.N.
    Il problema della esistenza di un S.N.N.: l'Assioma dell'Infinito. Il Teorema di Unicità di un S.N.N.
    La relazione d'ordine "canonica" in un S.N.N. Le operazioni di somma e prodotto in un S.N.N.
      Bibliografia:   [AaVv] file Numeri naturali (D'Andrea)   -   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 5   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 4
      Videolezioni:   Naturali (sistema dei numeri naturali: assiomi di Peano, ordine, operazioni)

OTTAVA LEZIONE - 11 Ottobre 2018:
    Prodotto (cartesiano) di relazioni. Il prodotto (cartesiano) di due relazioni d'ordine è a sua volta una relazione d'ordine.
    L'ordinamento lessicografico in un prodotto (cartesiano) di due insiemi ordinati.
    La relazione di congruenza modulo n in Z: definizione, caratterizzazione in termini della funzione "resto nella divisione per n", descrizione delle classi di congruenza, descrizione dell'insieme quoziente.
    Esercizi su relazioni di preordine, relazioni d'equivalenza, classi di equivalenza, insieme quoziente; applicazioni del Teorema Fondamentale delle Applicazioni.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 3   -   [dR] (copia locale / copia in rete) Capitolo 1, paragrafi 9-12; Capitolo 2
      Videolezioni:   Ordini (relazioni d'ordine)   -   Equivalenze 1 (equivalenze e partizioni)   -   Equivalenze 2 (equivalenze e funzioni)
      Esercizi:   Relazioni 1   -   Relazioni 2

SETTIMA LEZIONE - 10 Ottobre 2018:
    Classi di equivalenza; rappresentante di una classe di equivalenza. Insieme quoziente e proiezione canonica per una equivalenza.
    Per l'equivalenza in X associata ad una funzione f con dominio X, la classe di equivalenza di un elemento è la controimmagine della sua immagine per la funzione f.
    Collegamento tra il rapporto tra due elementi e il rapporto tra le corrispondenti classi di equivalenza. Ogni rappresentante di una classe di equivalenza determina univocamente la classe stessa.
    Proposizione: La famiglia delle classi di equivalenza in E è una partizione di E.
    Teorema: La funzione che ad un quoziente di E associa la corrispondente equivalenza in E e la funzione che ad una equivalenza in E associa il corrispondente quoziente di E sono l'una l'inversa dell'altra; in particolare, esse sono invertibili, dunque biiettive.
    Teorema Fondamentale delle Applicazioni: Ogni funzione f da A a B si fattorizza nel prodotto di una funzione suriettiva - la proiezione canonica A sul quoziente per l'equivalenza associata ad f - seguita da una biiettiva - dal quoziente all'immagine Im(f) di f - seguita a sua volta da una iniettiva - l'immersione di Im(f) in B.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 3   -   [dR] (copia locale / copia in rete) Capitolo 1, paragrafi 10, 12, 14; Capitolo 2   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 2-3
      Videolezioni:   Equivalenze 1 (equivalenze e partizioni)   -   Equivalenze 2 (equivalenze e funzioni)
      Esercizi:   Relazioni 1   -   Relazioni 2

SESTA LEZIONE - 9 Ottobre 2018:
    Famiglie (di oggetti in un insieme), definite come funzioni.
    Relazioni (binarie) in un insieme; descrizione grafica di una relazione come "grafo orientato".
    Proprietà notevoli possibili per una relazione: riflessività, transitività, simmetricità, antisimmetricità. Esempi e controesempi.
    Chiusura riflessiva, chiusura simmetrica, chiusura transitivita di una relazione arbitraria: definizione e descrizione.
    Relazioni di preordine; relazioni d'ordine - totali o non totali - relazioni di equivalenza: definizione, esempi, controesempi.
    La relazione di divisibilità in Z è un preordine ma non un ordine; la relazione di divisibilità in N è un ordine non totale.
    La relazione in A controimmagine, per una funzione f da A a B, di una relazione in B, è riflessiva, risp. simmetrica, risp. transitiva, se tale è la relazione iniziale in B   -   Applicazione: La relazione in A associata ad una funzione f da A a B è una equivalenza.
    Partizioni di un insieme: definizione, esempi, controesempi; insieme quoziente e proiezione canonica associati a una partizione.
    Proposizione: La relazione in E associata a una partizione di E è un'equivalenza.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 3   -   [dR] (copia locale / copia in rete) Capitolo 1, paragrafi 7-12   -   [PC] Capitolo 1, paragrafi 2-3
      Videolezioni:   Relazioni (relazioni in un insieme: generalità, esempi)   -   Ordini (relazioni d'ordine)   -   Equivalenze 1 (equivalenze e partizioni)
      Esercizi:   Relazioni 1

QUINTA LEZIONE - 8 Ottobre 2018:
    Funzioni invertibili: definizione, unicità della funzione inversa.
    Caratterizzazione dell'invertibilità in termini intrinseci (biiettività) e in termini della corrispondenza inversa (dev'essere a sua volta una funzione).
    Permutazioni di un insieme in sé stesso.
    Funzioni caratteristiche in un insieme. La funzione caratteristica di un sottoinsieme in un insieme.
    La biiezione canonica tra l'insieme delle parti di un insieme A e l'insieme delle funzioni caratteristiche in A.
    Esercizi varî sulle funzioni invertibili, iniettive, suriettive.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 2   -   [dR] (copia locale / copia in rete) Capitolo 1, paragrafi 13-14   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 3
      Videolezioni:   Funzioni 2 (composizione di funzioni, funzioni invertibili)   -   Funzioni caratteristiche (funzioni caratteristiche in un insieme)
      Esercizi:   Funzioni

QUARTA LEZIONE - 4 Ottobre 2018:
    Esercizi varî su insiemi, sottoinsiemi, prodotto cartesiano.
    Esercizi varî sulle corrispondenze (operazioni insiemistiche e composizione tra corrispondenze);
    Esercizi varî sulle funzioni (iniettività, suriettivit&agdeolezioni:   Funzioni 2 (composizione di funzioni, funzioni invertibili)   -   Funzioni caratteristiche (funzioni caratteristiche in un insieme)
      Esercizi:   Funzioni

QUARTA LEZIONE - 4 Ottobre 2018:
    Esercizi varî su insiemi, sottoinsiemi, prodotto cartesiano.
    Esercizi varî sulle corrispondenze (operazioni insiemistiche e composizione tra corrispondenze);
    Esercizi varî sulle funzioni (iniettività, suriettività, composizione di funzioni).
    Esercizio: (a) la composizione di funzioni iniettive, risp. suriettive, è iniettiva, risp. suriettiva;
            (b) se la composizione di due funzioni è iniettiva, risp. suriettiva, allora la prima funzione è iniettiva, risp. la seconda funzione è suriettiva.
      Esercizi:   Insiemi   -   Corrispondenze   -   Funzioni

TERZA LEZIONE - 3 Ottobre 2018:
    Composizione - o "prodotto (operatorio)" - di due corrispondenze: definizione, esempi.
    Proprietà notevoli di inversione e composizione: associatività, le identità sono "elementi neutri", l'inversa di un prodotto, ecc. La composizione non è commutativa Potenze di una relazione.
    Proposizione: La composizione di due funzioni è (a sua volta) una funzione.
    Funzioni iniettive, funzioni suriettive, funzioni biiettive; definizione, esempi e controesempi.
    Proposizione: Una funzione f  è biiettiva <=> la corrispondenza inversa f  ^-1 è (a sua volta) una funzione. In tal caso, f  ^-1 è a sua volta una funzione.
    Restrizione di una funzione ad un sottoinsieme del dominio.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 2   -   [dR] (copia locale / copia in rete) Capitolo 1, paragrafi 13-14   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 3   -   [He] Capitolo 1, paragrafo 2
      Videolezioni:   Corrispondenze (corrispondenze tra insiemi e operazioni tra di esse)   -   Funzioni 1 (funzioni; iniettività, suriettività, biiettività)   -   Funzioni 2 (composizione di funzioni, funzioni invertibili)
      Esercizi:   Corrispondenze   -   Funzioni

SECONDA LEZIONE - 2 Ottobre 2018:
    Proprietà notevoli delle operazioni tra insiemi:
      - (1) associatività e commutatività di intersezione, unione e differenza simmetrica;
      - (2) esistenza di elementi speciali per intersezione, unione e differenza simmetrica;
      - (3) distributività, leggi di De Morgan.
    Corrispondenze tra insiemi: definizione, esempi. Casi speciali: relazioni e funzioni (o "applicazioni"); esempi e controesempi.
    Immagine di un sottoinsieme del dominio, controimmagine di un sottoinsieme del codominio (per una corrispondenza data).
    Legame tra funzioni e corrispondenze: la "funzione canonica" associata ad una corrispondenza.
    Corrispondenza vuota, corrispondenza totale; corrispondenza "identità".
    Corrispondenza complementare (o "opposta") e corrispondenza inversa di una corrispondenza. Operazioni insiemistiche sulle corrispondenze.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafi 1-3   -   [dR] (copia locale / copia in rete) Capitolo 1, paragrafi 5-7, 13-14   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 2   -   [He] Capitolo 1, paragrafi 1-2
      Videolezione:   Corrispondenze (corrispondenze tra insiemi e operazioni tra di esse)
      Esercizi:   Insiemi   -   Corrispondenze

  PRIMA LEZIONE - 1 Ottobre 2018:
    Considerazioni generali sul corso, modalità d'esame, ecc.
    Insiemi: definizione (naturale, o "ingenua"), descrizioni possibili; appartenenza e non appartenenza di elementi.
    Sottoinsiemi, sovrainsiemi. Inclusione tra insiemi; inclusione stretta. L'uguaglianza tra insiemi come doppia inclusione. L'insieme vuoto. L'insieme delle parti di un insieme.
    Operazioni tra insiemi: intersezione, unione, differenza, complementare, differenza simmetrica. Prodotto cartesiano. Insiemi disgiunti; unione disgiunta di insiemi.
      Bibliografia:   [Ca1] Capitolo I, paragrafo 1   -   [dR] (copia locale / copia in rete) Capitolo 1, paragrafi 1-4, 6   -   [PC] Capitolo 1, paragrafo 1
      Videolezione:   Insiemi (insiemi, sottoinsiemi, insieme delle parti, operazioni tra insiemi)
      Esercizi:   Insiemi