Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
a.a 2025-2026 - primo semestre

Diario delle lezioni del corso (6 CFU) di

ALGEBRA E LOGICA
Canale 2 (M-Z)

Docente:   Fabio GAVARINI

( pagina web del corso )

PROGRAMMA
(versione definitiva)

                                       

BIBLIOGRAFIA:
[AaVv] - Autori Varî, Materiale vario disponibile in rete   (per gentile concessione degli autori)
[Ca] - G. Campanella, Appunti di Algebra 1   (per gentile concessione dell'autore)
[G-P] - L. Geatti, G. Pareschi, Dispense varîe   (per gentile concessione degli autori)
[L-L] - S. Lipschutz, M. Lipson, Discrete Mathematics, Third Edition, Schaum's Outlines, McGraw-Hill, 2007
[PC] - G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico, ed. Decibel/Zanichelli, Padova, 1996

  TRENTESIMA LEZIONE (soltanto esercizi) - 15 Gennaio 2026:
      Esercizi varî su:
        - calcolo della Forma Normale Disgiuntiva, della somma di tutti gli implicanti primi e di forme minimali per un polinomio booleano;
        - scrittura posizionale di un numero naturale in base arbitraria, e cambiamenti di basi;
        - equazioni diofantee, congruenziali, modulari: discussione e risoluzione;
        - elementi invertibili in un anello di interi modulari: determinazione dell'invertibilità, calcolo dell'inverso;
        - calcolo di potenze in un anello di interi modulari;
        - insiemi ordinati e loro diagrammi di Hasse.
      FINE del CORSO
    Esercizi:   Polinomi booleani   -   Induzione, Scrittura posizionale   -   Scrittura posizionale   -   Scrittura posizionale, M.C.D., equazioni diofantee   -   M.C.D., equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali e modulari   -   Equazioni diofantee, congruenziali, modulari; aritmetica modulare   -   Aritmetica modulare   -   Insiemi ordinati, Reticoli

  VENTINOVESIMA LEZIONE (soltanto esercizi) - 12 Gennaio 2026:
      Esercizi varî su:
        - calcolo della forma normale disgiuntiva (=F.N.D.), della somma di tutti gli implicanti primi (=s.t.i.p.) e di una forma minimale (=f.m.) per un polinomio booleano;
        - l'operazione di "addizione" in un'algebra di Boole (vista come anello booleano unitario); dimostrazione dell'equivalenza delle due definizioni e dell'associatività;
        - identità combinatorie notevoli: tecniche di dimostrazione;
        - risoluzione di un sistema di equazioni congruenziali.
    Esercizi:   Polinomi booleani   -   Combinatoria   -   Equazioni congruenziali e modulari   -   Equazioni diofantee, congruenziali, modulari; aritmetica modulare

  VENTOTTESIMA LEZIONE - 8 Gennaio 2026:
      Elementi di calcolo combinatorio:
        - calcolo del numero di funzioni da un insieme finito ad un altro ("disposizioni" - o "prelievi", o "campionamenti" - con ripetizioni);
        - calcolo del numero di funzioni iniettive da un insieme finito con k ad un altro con n elementi ("disposizioni" - o "prelievi", o "campionamenti" - senza ripetizioni);
        - la funzione "fattoriale" f(n) = n! (∀ n ∈ N);
        - calcolo del numero di biiezioni tra due insieme finiti con n elementi (è n!); il numero di permutazioni di un insieme con n elementi è n! ;
        - calcolo del numero dei sottoinsiemi con k elementi in un insieme con n elementi ("combinazioni di k elementi scelti tra n"): i coefficienti binomiali;
        - proprietà notevoli dei coefficienti binomiali: casi speciali, il triangolo di Pascal-Tartaglia;
        - calcolo del numero di partizioni in s sottoinsiemi per un insieme con n elementi: i coefficienti multinomiali.
      Applicazioni:   le formule di Newton per
        (a) lo sviluppo della potenza di un binomio in termini di coefficienti binomiali,
        (b) lo sviluppo della potenza di un multinomio in termini di coefficienti multinomiali.
        FINE del PROGRAMMA (seguono sole esercitazioni)
    Bibliografia:   [Cam] Capitolo I, paragrafo 2 - [L-L] Chapter 5, sections 1 to 5; Chapter 6, sections 1 to 3 - [PC] Capitolo 1, paragrafo 6 - Calcolo combinatorio
    Esercizi:   Combinatoria

  VENTISETTESIMA LEZIONE - 22 Dicembre 2025:
      La nozione di consenso tra due prodotti (fondamentali).
      Lemma: La somma di due polinomi in consenso tra loro è equivalente alla loro somma con il loro consenso.
      Il Metodo del Consenso: algoritmo di calcolo della somma di tutti gli implicanti primi di un polinomio booleano in n variabili.
      Algoritmo di selezione di una forma minimale di un polinomio booleano a partire dalla somma di tutti gli implicanti primi del polinomio stesso.
      Esempi espliciti di calcolo della della somma di tutti gli implicanti primi (=s.t.i.p.) e di una forma minimale (=f.m.) per un polinomio booleano.
      Esempi espliciti di polinomi booleani che hanno diverse forme minimali.
    Bibliografia:   [G-P] file Forme minimali di una funzione polinomiale - [L-L] Chapter 15, section 9
    Esercizi:   Polinomi booleani
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Metodo del Consenso per il calcolo della s.t.i.p.(f) - metodo di calcolo delle forme minimali di un polinomio booleano - esempi di calcolo della s.t.i.p. e di forme minimali di un polinomio booleano (3 Giugno 2021) (videoregistrazione [1h:52'19"] / versione scritta [7,99 MB])

  VENTISEIESIMA LEZIONE - 18 Dicembre 2025:
      Corollario (del Teorema di ∃! della F.N.D.: F_n(2) = P_n(2) , cioè ogni funzione booleana su 2 è polinomiale.
      Esempi di calcolo della F.N.D. di un polinomio booleano.
      Misura della "grandezza" di una somma di prodotti; la relazione di "maggior semplicità" tra somme di prodotti.
      Forme minimali di un polinomio booleano: definizione, esistenza e (in generale) non unicità.
      La relazione di "implicazione" tra polinomi booleani; il legame tra la relazione di implicazione e quella di equivalenza.
      Gli implicanti primi di un polinomio booleano.
      Proposizione: Ogni somma di prodotti è equivalente alla somma di tutti i suoi implicanti primi (soltanto l'idea della dimostrazione).
      Proposizione: Ogni forma minimale di un polinomio booleano f è una somma di (alcuni) implicanti primi di f dalla quale non si può cancellare nessun termine.
    Bibliografia:   [G-P] file Funzioni booleane; file Forme minimali di una funzione polinomiale - [L-L] Chapter 15, sections 8, 9 and 11
    Esercizi:   Polinomi booleani
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Ogni funzione booleana è polinomiale - Forme Minimali di un polinomio booleano: esistenza e non unicità - implicazione tra polinomi; implicanti primi (31 Maggio 2021) (videoregistrazione [1h:47'31"] / versione scritta [7,33 MB])

  VENTICINQUESIMA LEZIONE - 15 Dicembre 2025:
      Prodotti, prodotti fondamentali, prodotti completi in P_n.
      Lemma: Ogni prodotto in P_n è equivalente a un prodotto fondamentale oppure a 0.
      Somme di prodotti; somme di prodotti (fondamentali/completi) ridondanti / non ridondanti.
      Lemma: Ogni somma di prodotti è equivalente ad una somma di prodotti fondamentali completi non ridondante.
      La Forma Normale Disgiuntiva di un polinomio booleano (=F.N.D.).
      Teorema di Esistenza e Unicità della F.N.D. di un polinomio booleano. Metodi operativi per il calcolo della F.N.D. (tramite manipolazioni successive o tramite "tavole di verità").
    Bibliografia:   [G-P] file Funzioni booleane - [L-L] Chapter 15, sections 7, 8 and 11
    Esercizi:   Polinomi booleani   -   Algebre di Boole
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Prodotti (booleani), somme di prodotti - Forma Normale Disgiuntiva di un polinomio booleano: esistenza e unicità (27 Maggio 2021) (videoregistrazione [1h:59'17"] / versione scritta [9,41 MB])

  VENTIQUATTRESIMA LEZIONE - 11 Dicembre 2025:
      Dimostrazione del Teorema di Rappresentazione di Stone (caso finito).
      Controesempio al Teorema di Stone: l'algebra di Boole dei sottoinsiemi finiti o cofiniti di N non è isomorfa a nessuna algebra di Boole della forma P(X).
      Sottoalgebre di Boole di un'algebra di Boole; esempi, controesempi.
      Teorema di Rappresentazione di Stone (caso generale): Ogni algebra di Boole è isomorfa ad una sottoalgebra di Boole dell'insieme delle parti di un opportuno insieme (senza dimostrazione).
      L'insieme F_n(B) delle funzioni booleane in n variabili su un'algebra di Boole B; struttura di algebra di Boole.
      L'insieme P_n dei polinomi booleani in n variabili; funzioni booleane indotte da un polinomio booleano. L'insieme P_n(B) delle funzioni polinomiali su B; P_n(B) è sottoalgebra di Boole di F_n(B).
      Equivalenza tra polinomi booleani (quando inducono la stessa funzione booleana su 2:={0,1}).
      Teorema: Due polinomi booleani sono equivalenti se e soltanto se inducono la stessa funzione booleana su qualsiasi algebra di Boole.
    Bibliografia:   [G-P] file Algebre di Boole; file Funzioni booleane - [L-L] Chapter 15, sections 6, 7 and 8
    Esercizi:   Algebre di Boole   -   Reticoli, Algebre di Boole
    Videolezione:   Algebre di Boole 2 (isomorfismi tra algebre di Boole, sottoalgebre di Boole; Teorema di Rappresentazione di Stone [caso finito, caso generale])
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Dimostrazione del Teorema di Rappresentazione di Stone [caso finito] - Sottoalgebre di Boole - Teorema di Rappresentazione di Stone [caso generale] - Funzioni booleane, polinomi booleani; equivalenza tra polinomi booleani (24 Maggio 2021) (videoregistrazione [2h:08'33"] / versione scritta [10,4 MB])

  VENTITREESIMA LEZIONE - 9 Dicembre 2026:
      Teorema (caratterizzazione dei reticoli distributivi): Un reticolo è distributivo se e soltanto se non contiene sottoreticoli isomorfi a 𝔑₅ oppure a 𝔐₅ (cenni).
      Algebre di Boole: definizione come reticoli, definizione come insiemi con due operazioni; equivalenza delle due definizioni (idea della dimostrazione).
      Il Principio di Dualità per algebre di Boole.
      Esempi di algebre di Boole: l'insieme delle parti P(X); le funzioni a valori in un'algebra di Boole; prodotti diretti di algebre di Boole. Il caso degli insiemi totalmente ordinati.
      Anelli booleani. Teorema di Equivalenza (Stone): Ogni algebra di Boole corrisponde a un anello booleano unitario, e viceversa (forma esplicita della corrispondenza e idea della dimostrazione). L'esempio fondamentale: P(X) come anello booleano unitario con la "differenza simmetrica" come somma.
      Isomorfismi tra algebre di Boole, algebre di Boole isomorfe; la relazione di "essere isomorfe" tra algebre di Boole è un'equivalenza.
      Esempio: per ogni insieme E, le biiezioni canoniche da P(E) a 2^E e viceversa sono isomorfismi di algebre di Boole.
      Teorema di Rappresentazione di Stone (caso finito): Ogni algebra di Boole finita è isomorfa all'insieme delle parti dell'insieme dei suoi atomi, tramite un isomorfismo canonico esplicito.
      Corollario: Ogni algebra di Boole finita è isomorfa all'insieme delle funzioni caratteristiche dell'insieme dei suoi atomi. In particolare, la cardinalità di un'algebra di Boole è sempre una potenza di 2.
    Bibliografia:   [G-P] file Algebre di Boole - [L-L] Chapter 15, sections 1 to 6
    Esercizi:   Reticoli, Algebre di Boole
    Videolezioni:   Reticoli 3 (sottoreticoli; isomorfismi di reticoli, reticoli isomorfi)   -   Algebre di Boole 1 (definizioni; esempi, controesempi; Teorema di Equivalenza [con anelli booleani unitari])   -   Algebre di Boole 2 (isomorfismi tra algebre di Boole, sottoalgebre di Boole; Teorema di Rappresentazione di Stone [caso finito, caso generale])
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   ∨-fattorizzazione in un reticolo [esistenza e unicità] - Sottoreticoli - Isomorfismi tra reticoli (17 Maggio 2021) (videoregistrazione [1h:59'30"] / versione scritta [9,60 MB])   -   Algebre di Boole; presentazioni equivalenti - Isomorfismi tra algebre di Boole - Teorema di Rappresentazione di Stone [caso finito] (20 Maggio 2021) (videoregistrazione [1h:54'32"] / versione scritta [8,02 MB])

  VENTIDUESIMA LEZIONE - 4 Dicembre 2025:
      ∨-Fattorizzazione in un reticolo; elementi ∨-riducibili o ∨-irriducibili; atomi (in un reticolo limitato inferiormente). Esempi e controesempi di ∨-riducibili, di ∨-irriducibili e di atomi.
      Proposizione: In un reticolo finito, (a) un elemento è ∨-irriducibile ⇔ copre al più un atomo, e (b) ogni atomo è ∨-irriducibile.
      Teorema: In un reticolo finito, ogni elemento ha una ∨-fattorizzazione in fattori ∨-irriducibili non ridondante (cioè i fattori sono a due a due non comparabili).
      Proposizione: In un reticolo distributivo, una ∨-fattorizzazione non ridondante in fattori ∨-irriducibili - se esiste - è unica, a meno dell'ordine dei fattori.
      Teorema di ∨-Fattorizzazione Unica (in ∨-irriducibili, non ridondante) per reticoli finiti distributivi.
      Proposizione: In un reticolo finito unicamente complementato, ogni elemento ∨-irriducibile è un atomo.
      Teorema di ∨-Fattorizzazione Unica (in atomi a due a due distinti) per reticoli finiti distributivi complementati.
      Sottoreticoli in un reticolo; ogni sottoreticolo è a sua volta un reticolo.
      Isomorfismi tra reticoli, proprietà fondamentali. Reticoli isomorfi; l'essere isomorfi è una relazione di equivalenza tra reticoli.
      La "forma" di un reticolo D_n (n > 0). Criterio di isomorfismo tra un reticolo D_r e un reticolo D_s .
      Esempi di sottoreticoli:
          (a)   X è sottoinsieme di Y ⇔ P(X) è sottoreticolo diP(Y) ;     (b)   d è divisore di n ⇔ D_d è sottoreticolo di D_d   .
    Bibliografia:   [G-P] file Reticoli, paragrafi da 4 a 6 - [L-L] Chapter 14, sections 8 to 11
    Esercizi:   Reticoli, Algebre di Boole   -   Insiemi ordinati, Reticoli
    Videolezioni:   Reticoli 2 (∨-fattorizzazione: ∨-irriducibili, atomi, esistenza/unicità di ∨-fattorizzazioni)   -   Reticoli 3 (sottoreticoli; isomorfismi di reticoli, reticoli isomorfi)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Reticoli limitati - Complementi - Reticoli distributivi - ∨-fattorizzazione in un reticolo [generalità] (13 Maggio 2021) (videoregistrazione [1h:55'11"] / versione scritta [5,17 MB])   -   ∨-fattorizzazione in un reticolo [esistenza e unicità] - Sottoreticoli - Isomorfismi tra reticoli (17 Maggio 2021) (videoregistrazione [1h:59'30"] / versione scritta [9,60 MB])

  VENTUNESIMA LEZIONE - 2 Dicembre 2025:
      Sottoinsiemi (semi)limitati in un insieme ordinato.
      Proposizione: Ogni reticolo finito è limitato.   -   Controesempi alla proposizione.
      Complementi in un reticolo limitato; reticoli complementati. Questioni di esistenza e unicità del complemento, esempi e controesempi. I reticoli 𝔑₅ e 𝔐₅ sono complementati, in modo non unico (in generale).
      Reticoli distributivi. Esempi e controesempi: P(X) e D_n sono distributivi, 𝔑₅ e 𝔐₅ non sono distributivi.
      Il Principio di Dualità per reticoli (in termini di relazione d'ordine e in termini di operazioni). Limitatezza, complementazione e distributività sono preservate dalla dualità.
      Proposizione: In un reticolo distributivo, il complemento - se esiste - è unico, e valgono le Leggi di De Morgan per il complemento di x∨y e di x∧y .
    Bibliografia:   [G-P] file Reticoli, paragrafo 3 - [L-L] Chapter 14, sections from 8 to 10
    Esercizi:   Reticoli, Algebre di Boole   -   Insiemi ordinati, Reticoli
    Videolezione:   Reticoli 1 (generalità, esempi; complementi in un reticolo; distributività)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Reticoli limitati - Complementi - Reticoli distributivi - ∨-fattorizzazione in un reticolo [generalità] (13 Maggio 2021) (videoregistrazione [1h:55'11"] / versione scritta [5,17 MB])

  VENTESIMA LEZIONE - 1 Dicembre 2025:
      L'ordine indotto (tramite restrizione) in un sottoinsieme E' di un insieme ordinato E.
      L'ordine indotto nell'insieme E^S delle funzioni da un insieme qualsiasi S a un insieme ordinato E.
      L'ordine prodotto e l'ordine lessicografico in un prodotto cartesiano di insiemi ordinati.
      Reticoli: definizione come insiemi ordinati e definizione come insiemi con due operazioni binarie.
      Teorema di Corrispondenza (per reticoli): Le due definizioni di reticolo sono equivalenti (con cenni di dimostrazione).
      Esempi di reticoli: gli insiemi con ordinamento totale, l'insieme delle parti di un insieme, N e N₊ con la divisibilità, ogni intervallo in un reticolo, il reticolo dei divisori di n. Prodotti diretti di reticoli; reticoli di funzioni.
      Controesempi: insiemi ordinati che non sono reticoli.
    Bibliografia:   [G-P] file Relazioni - 2; file Reticoli, paragrafi 1 e 2 - [L-L] Chapter 14, section 8
    Esercizi:   Reticoli, Algebre di Boole   -   Insiemi ordinati, Reticoli
    Videolezioni:   Reticoli 1 (generalità, esempi; complementi in un reticolo; distributività)   -   Insiemi ordinati (generalità, esempi, elementi speciali)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Ordine prodotto, ordine lessicografico - Reticoli - Esempi e controesempi (10 Maggio 2021) (videoregistrazione [1h:50'02"] / versione scritta [5,09 MB])

  DICIANNOVESIMA LEZIONE - 24 Novembre 2025:
      Relazioni d'ordine, insiemi ordinati. Ordini totali, ordini buoni: ogni ordine buono è totale. Il Principio di Dualità per insiemi ordinati.
      Il grafo di una relazione (in generale); il grafo di una relazione (in particolare). Relazione di copertura e diagramma di Hasse per un insieme ordinato.
      Elementi minimali - risp. massimali - minimo min(E') - risp. massimo max(E') - per un sottoinsieme E' in un insieme ordinato E; unicità di min(E') - risp. di max(E') - se esiste.
      Minoranti - risp. maggioranti - estremo inferiore inf(E') - risp. estremo superiore sup(E') - per un sottoinsieme E' in un insieme ordinato E; unicità di inf(E') - risp. di sup(E') - se esiste.
      Intervalli - chiusi, aperti, semi-chiusi/aperti, limitati o illimitati - in un insieme ordinato qualsiasi.
      Esempi importanti di insiemi ordinati e dei relativi diagrammi di Hasse: l'insieme N dei naturali con la relazione d'ordine standard, l'insieme N con la relazione di divisibilità, l'insieme delle parti P(X) di un insieme X con la relazione di inclusione.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo 1, paragrafo 3(B) - [G-P] file Relazioni - 2 - [L-L] Chapter 14, sections 1, 2, 3, 5 and 7
    Esercizi:   Insiemi ordinati, Reticoli
    Videolezione:   Insiemi ordinati (generalità, esempi, elementi speciali)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Insiemi ordinati - diagrammi di Hasse - elementi speciali (6 Maggio 2021) (videoregistrazione [1h:52'58"] / versione scritta [5,02 MB])

  DICIOTTESIMA LEZIONE - 20 Novembre 2025:
      Criteri di divisibilità in Z: strategia generale (calcolo di una classe in Z_n) esempi specifici.
      Sistemi di equazioni congruenziali: discussione, sistemi in forma risolta, sistemi in forma cinese (o "sistemi cinesi").
      Il Teorema Cinese del Resto (senza dimostrazione) per sistemi in forma cinese.
      Metodo di risoluzione di un sistema tramite sostituzioni successive oppure - sotto le ipotesi del caso - tramite la procedura fornita dal Teorema Cinese del Resto.
      Applicazione del Teorema Cinese del Resto: Se d₁, ... , d_k sono a due a due coprimi, allora c'è una biiezione canonica tra l'anello Z_d1⋯dk e l'anello Z_d1 × ⋯ × Z_dk che conserva la somma e il prodotto (dove somma e prodotto in Z_d1 × ⋯ × Z_dk sono definite componente per componente).
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo II, paragrafo 5 - [G-P] file Aritmetica sugli interi, congruenze, Teorema Cinese del Resto - [L-L] Chapter 11, section 9 - [PC] Capitolo 2, paragrafo 7
    Esercizi:   Equazioni congruenziali e modulari   -   Aritmetica modulare   -   MCD tra interi, Equazioni diofantee   -   Equazioni diofantee, congruenziali, modulari; aritmetica modulare
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Interi modulari invertibili - Potenze di interi modulari - Criteri di divisibilità (29 Aprile 2021) (videoregistrazione [2h:01'28"] / versione scritta [7,64 MB])   -   Sistemi di equazioni congruenziali - Teorema Cinese del Resto (3 Maggio 2021) (videoregistrazione [2h:01'29"] / versione scritta [6,85 Mb])

  DICIASSETTESIMA LEZIONE - 17 Novembre 2025:
      Il gruppo U(Z_n) degli elementi invertibili in Z_n: criterio di invertibilità e descrizione esplicita di U(Z_n). Calcolo dell'inverso - di una classe invertibile - mediante risoluzione di una equazione modulare (dunque congruenziale, dunque diofantea).
      Proposizione: Z_n è un campo ⇔ n è irriducibile.
      La funzione φ di Eulero: definizione, proprietà, formula esplicita.
      Ripetitività delle potenze in Z_n: generalità, caratterizzazione del caso delle potenze con base una classe invertibile;
      Il Teorema di Eulero (senza dimostrazione).
      L'algoritmo di riduzione dell'esponente di una potenza in Z_n . Caso generale, caso speciale di una classe invertibile.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo II, paragrafi 4, 5 e 6 - [G-P] file Aritmetica sugli interi, congruenze, Teorema Cinese del Resto; file Aritmetica sugli interi, etc. (complementi) - [L-L] Chapter 11, sections 8 and 9 - [PC] Capitolo 2, paragrafi 6-9
    Esercizi:   Aritmetica modulare   -   M.C.D. e equazioni diofantee   -   Scrittura posizionale, M.C.D., equazioni diofantee
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Interi modulari invertibili - Potenze di interi modulari - Criteri di divisibilità (29 Aprile 2021) (videoregistrazione [2h:01'28"] / versione scritta [7,64 MB])

  SEDICESIMA LEZIONE - 13 Novembre 2025:
      Compatibilità di somma e prodotto con ogni congruenza modulo n. Aritmetica modulare: somma e prodotto in Z_n.
      Teorema: Z_n è un anello commutativo unitario (esercizio - cenni di dimostrazione).
      Esercizio:   (a) non esistono divisori di zero in Z_n ⇔ n è primo;  
        (b) non esistono divisori di zero in Z_n ⇔ Z_n è un campo;  
        (c) Z_n è un campo ⇔ n è irriducibile.
      Equazioni congruenziali, equazioni modulari, equazioni diofantee: connessioni tra le une e le altre.
      Criterio di esistenza di soluzioni, algoritmo per il calcolo di una soluzione, insieme completo di soluzioni per equazioni congruenziali e per equazioni modulari.
      Elementi invertibili - o "unità" - in Z_n.
      Formula esplicita della soluzione di un'equazione modulare in caso di esistenza e unicità.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo II, paragrafi 4 e 5 - [G-P] file Aritmetica sugli interi, congruenze, Teorema Cinese del Resto; file Aritmetica sugli interi, etc. (complementi) - [L-L] Chapter 11, sections 8 and 9 - [PC] Capitolo 2, paragrafi 6 e 7
    Esercizi:   MCD tra interi, Equazioni diofantee   -   Equazioni congruenziali, Equazioni modulari
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Operazioni tra numeri modulari: l'anello degli interi modulari - Equazioni congruenziali, equazioni modulari: discussione e risoluzione (26 Aprile 2021) (videoregistrazione [2h:06'23"] / versione scritta [5,50 MB])

  QUINDICESIMA LEZIONE - 11 Novembre 2025:
      La fattorizzazione "canonica" di un intero. La relazione tra la fattorizzazione "canonica" di un intero e quella di un suo qualunque divisore o multiplo.
      Forma esplicita di MCD(a,b) e di mcm(a,b) in termini di fattorizzazioni di a e di b ; la relazione   MCD(a,b) mcm(a,b) = a b
      Calcolo di mcm(a,b) tramite il calcolo di MCD(a,b) - con l'algoritmo euclideo delle divisioni successive - e la formula   mcm(a,b) = a b / MCD(a,b)
      Equazioni diofantee: definizione, criterio per l'esistenza di soluzioni, procedura per il calcolo esplicito di una soluzione. Esempi.
      Congruenze ≡_n in Z (richiami). Ogni congruenza è una equivalenza.
      Descrizione delle classi di congruenza (modulo n) e dell'insieme quoziente   Z_n := Z / ≡_n   , detto insieme degli interi modulari (modulo n).
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo II, paragrafi 2-4 - [G-P] file Aritmetica sugli interi, congruenze, Teorema Cinese del Resto - [L-L] Chapter 11, sections 6-8 - [PC] Capitolo 2, paragrafi 2-3, 6-7
    Esercizi:   Scrittura posizionale, MCD, Equazioni diofantee   -   MCD tra interi, Equazioni diofantee
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Fattorizzazione "canonica" di un intero non nullo - MCD e mcm in termini di fattorizzazioni canoniche - equazioni diofantee e loro risoluzione - congruenze modulo n tra interi: proprietà fondamentali, descrizione delle classi e dell'insieme quoziente (22 Aprile 2021) (videoregistrazione [1h:52'48"] / versione scritta [6,46 MB])

  QUATTORDICESIMA LEZIONE - 10 Novembre 2025:
      Teorema di Euclide: Esistono infiniti interi irriducibili.
      Massimo comun divisore (=M.C.D.) e minimo comun multiplo (=m.c.m.). Identità di Bézout per M.C.D.(a,b). Interi primi tra loro (o "coprimi").
      La "quasi unicità" del M.C.D. e del m.c.m.: se due interi hanno entrambi le proprietà che definiscono M.C.D.(a,b), oppure che definiscono m.c.m.(a,b), allora essi sono tra loro associati.
      Divisione con resto tra numeri interi: esistenza e unicità di quoziente e resto (positivo).
      Esistenza del MCD in Z, e identità di Bézout per esso: dimostrazione e calcolo mediante l'algoritmo euclideo delle divisioni successive.
      Proposizione: In Z, ogni irriducibile è primo (senza dimostrazione).
      Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: esistenza e unicità di una fattorizzazione in irriducibili per interi (non nulli) non invertibili (dimostrazione dell'unicità).
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri interi (D'Andrea), paragrafo 4 - [Ca] Capitolo II, paragrafi 1-3 - [G-P] file Aritmetica sugli interi, congruenze, Teorema Cinese del Resto - [L-L] Chapter 11, sections 4-7 - [PC] Capitolo 2, paragrafi 2-3
    Esercizi:   MCD tra interi, Equazioni diofantee
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Divisione euclidea tra interi - Esistenza e algoritmo di calcolo di MCD(a,b) e di una sua identità di Bézout - Teorema Fondamentale dell'Aritmetica [completo] - Forma "canonica" della fattorizzazione di un intero (19 Aprile 2021) (videoregistrazione [1h:50'01"] / versione scritta [6,78 MB])

  TREDICESIMA LEZIONE - 6 Novembre 2025:
      I numeri cardinali infiniti superiori ℵ_n (per ogni n in N). La cardinalità del continuo: |R| = |P(N)| (senza dimostrazione).
      L'ipotesi del continuo generalizzata (cenni). La "distribuzione" dei numeri cardinali rispetto alla relazione d'ordine (cenni).
      L'insieme Z dei numeri interi: relazione coi numeri naturali, operazioni (somma e prodotto), ordinamento, valore assoluto.
      Z è un anello commutativo unitario senza divisori di zero, e la relazione d'ordine in esso è totale.
      Divisibilità, multipli e divisori in Z. Elementi unità (=invertibili) in Z; elementi associati. Elementi riducibili, irriducibili, primi.
      Lemma: Ogni primo è irriducibile.
      Fattorizzazioni di un elemento, fattorizzazioni banali.
      Teorema Fondamentale dell'Aritmetica - 1^a parte (esistenza): Per ogni intero non nullo e non invertibile esiste una fattorizzazione in prodotto di interi irriducibili.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo II, paragrafi 2 e 3 - [G-P] file Aritmetica sugli interi, congruenze, Teorema Cinese del Resto - [L-L] Chapter 11, sections 1-3, 5-7 - [PC] Capitolo 2, paragrafi 1-3
    Esercizi:   Numeri Interi
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Cardinalità: Primo e Secondo Teorema di Cantor (e loro conseguenze), cardinali infiniti superiori (12 Aprile 2021) (videoregistrazione [1h:59'26"] / versione scritta [8,95 MB])   -   Numeri interi - divisibilità e elementi speciali - Teorema Fondamentale dell'Aritmetica [1a parte: esistenza] - Teorema di Euclide - MCD e mcm di due interi (15 Aprile 2021) (videoregistrazione [1h:49'34"] / versione scritta [7,05 MB])

  DODICESIMA LEZIONE - 3 Novembre 2025:
      Caratterizzazione degli insiemi infiniti: Per ogni insieme X, le seguenti proprietà sono a due a due equivalenti:
        - X è infinito,
        - esiste una funzione iniettiva dall'insieme N dei numeri naturali ad X,
        - esiste un sottoinsieme proprio X' di X che è equipotente ad X stesso.
      Proposizione: N × N è equipotente a N.
      1^o Teorema di Cantor: L'unione di una famiglia finita (non vuota) o numerabile di insiemi numerabili è numerabile.
      Applicazioni del Primo Teorema di Cantor: Z e Q sono numerabili.
      2^o Teorema di Cantor: Per ogni insieme X, la cardinalità dell'insieme P(X) delle parti di X e la cardinalit` dell'insieme 2^X delle funzioni caratteristiche su X sono (uguali tra loro e) strettamente maggiori della cardinalità dell'insieme X stesso.
    Bibliografia:   [AaVv] file Cardinalità (D'Andrea) - [Ca] Capitolo I, paragrafo 6 - [G-P] file Funzioni e cardinalità, paragrafo 5 - [L-L] Chapter 3, section 7 - [PC] Capitolo 1, paragrafo 5
    Esercizi:   Cardinalità (N.B.: in linea di massima, questi esercizi sono un po' più difficili della media)
    Videolezioni:   Cardinalità 1 (insiemi equipotenti, cardinalità; Primo Teorema di Cantor)   -   Cardinalità 2 (Secondo Teorema di Cantor)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Cardinalità: relazione d'ordine tra numeri cardinali, proprietà dei cardinali infiniti (8 Aprile 2021) (videoregistrazione [1h:46'24"] / versione scritta [4,96 MB])   -   Cardinalità: Primo e Secondo Teorema di Cantor (e loro conseguenze), cardinali infiniti superiori (12 Aprile 2021) (videoregistrazione [1h:59'26"] / versione scritta [8,95 MB])

  UNDICESIMA LEZIONE - 30 Ottobre 2025:
      Relazione d'ordine (buono) tra numeri cardinali; il Teorema di Schroeder-Bernstein (senza dimostrazione della transitività e dell'essere buono).
      Lemma: Siano A e B due insiemi finiti. Allora:
        (a) se |A|<|B|, allora non esistono funzioni suriettive da A a B né funzioni iniettive da B ad A;
        (b) se |A|=|B| e f è una funzione da A a B, allora   f è iniettiva ⇔ f è suriettiva.
      Corollario: L'insieme N dei numeri naturali è infinito numerabile è infinito (e quindi anche ogni insieme numerabile è infinito).
      La relazione d'ordine tra cardinali finiti ristretta ai numeri naturali coincide con l'ordine standard.
      Proposizione:
        (a) Ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile.
        (b) Ogni sottoinsieme di un insieme numerabile o è finito oppure è numerabile.
    Bibliografia:   [AaVv] file Cardinalità (D'Andrea) - [Ca] Capitolo I, paragrafo 6 - [G-P] file Funzioni e cardinalità, paragrafo 5 - [L-L] Chapter 3, section 7 - [PC] Capitolo 1, paragrafo 5
    Esercizi:   Cardinalità (N.B.: in linea di massima, questi esercizi sono un po' più difficili della media)
    Videolezioni:   Cardinalità 1 (insiemi equipotenti, cardinalità; Primo Teorema di Cantor)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Cardinalità: relazione d'ordine tra numeri cardinali, proprietà dei cardinali infiniti (8 Aprile 2021) (videoregistrazione [1h:46'24"] / versione scritta [4,96 MB])

  DECIMA LEZIONE - 27 Ottobre 2025:
      Teorema di Esistenza e Unicità per la scrittura posizionale di un numero naturale in base b (>1) arbitraria.
      Algoritmo effettivo per il calcolo della scrittura posizionale di un numero naturale (in base arbitraria).
      Esempi espliciti di calcolo della scrittura posizionale di un numero dato.
      Esempi espliciti di calcolo di somma e prodotto con scrittura posizionale in base arbitraria (cenni).
      La relazione di equipotenza tra insiemi; l'equipotenza è una equivalenza.
      La cardinalità (o "potenza") di un insieme come classe di equipotenza dell'insieme stesso; i numeri cardinali.
      Insiemi finiti e insiemi infiniti. La cardinalità del numerabile ℵ₀ ; gli insiemi numerabili.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo II, paragrafo 2 - [PC] Capitolo 1, paragrafo 5; Capitolo 2, paragrafo 10
    Esercizi:   Scrittura posizionale
    Videolezioni:   Numerazione (numerazione in base arbitraria / scrittura posizionale)   -   Cardinalità 1 (insiemi equipotenti, cardinalità; Primo Teorema di Cantor)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Principio di Induzione; Divisione con resto tra numeri naturali; Scrittura posizionale in base arbitraria (29 Marzo 2021) (videoregistrazione [1h:58'24"] / versione scritta [4,85 MB])   -   Scrittura posizionale in base arbitraria; Cardinalità (29 Marzo 2021) (videoregistrazione [1h:44'22"] / versione scritta [8,56 MB])

  NONA LEZIONE - 23 Ottobre 2025:
      Esistenza e unicità di un S.N.N.: l'esistenza si postula (Assioma dell'Infinito), l'unicità si dimostra (cenni).
      Il Principio di Induzione Forte (=Pr.I.F.), il Principio del Minimo (=Pr.M.); l'equivalenza tra Pr.I.D., Pr.I.F. e Pr. M. (senza dimostrazione)
      Il metodo di dimostrazione per induzione (debole o forte o mediante principio del minimo): idea, strategia - base, passo induttivo (con ipotesi induttiva), ecc.
      Divisione (euclidea) con resto tra numeri naturali. Esistenza e unicità di quoziente e resto nella divisione: dimostrazione dell'unicità, dimostrazione dell'esistenza per induzione in tre modi diversi (col Pr.I.D., col Pr.I.F. e col Pr.M.).
      Scrittura posizionale (di un numero naturale) in base b (>1) arbitraria: idee e definizioni preliminari.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo II, paragrafi 1 e 2 - [G-P] files Induzione e Aritmetica sugli interi, etc. (complementi), paragrafo 1 - [L-L] Chapter 1, section 8; Chapter 11, section 3 - [PC] Capitolo 2, paragrafo 10
    Esercizi:   Principio di Induzione   -   Induzione, scrittura posizionale   -   Scrittura posizionale
    Videolezioni:   Induzione (metodo di dimostrazione per induzione [semplice / forte / minimo])   -   Divisione (divisione con resto tra numeri naturali)   -   Numerazione (numerazione in base arbitraria / scrittura posizionale)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Principio di Induzione; Divisione con resto tra numeri naturali; Scrittura posizionale in base arbitraria (29 Marzo 2021) (videoregistrazione [1h:58'24"] / versione scritta [4,85 MB])

  OTTAVA LEZIONE - 20 Ottobre 2025:
      Sistema dei numeri naturali (=S.N.N.): definizione tramite gli assiomi di Peano; il Principio di Induzione Debole, o Semplice (=Pr.I.D./S.).
      Relazioni d'ordine buone   -   Esercizio: ogni ordine buono è (anche) totale.
      La relazione d'ordine in un S.N.N. (definizione tramite il Pr.I.D.).
      Le operazioni di somma e prodotto in un S.N.N. (definizione ricorsiva, tramite il Pr.I.D.).
      Teorema: In un S.N.N., la relazione d'ordine è buona (quindi totale). Inoltre, un S.N.N. con somma e prodotto è un semianello commutativo unitario, e tali operazioni sono compatibili con la relazione d'ordine (senza dimostrazione).
      Esempio: l'insieme dei numeri interi è un S.N.N. rispetto a un'opportuna scelta della funzione "successivo".
    Bibliografia:   [AaVv] file Numeri naturali (D'Andrea) - [Ca] Capitolo I, paragrafo 5 - [PC] Capitolo 1, paragrafo 4
    Esercizi:   Principio di Induzione
    Videolezione:   Naturali (sistema dei numeri naturali: assiomi di Peano, ordine, operazioni)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Sistema dei Numeri Naturali e sue proprietà (25 Marzo 2021) (videoregistrazione [2h:03'30"] / versione scritta [4,02 MB])

  SETTIMA LEZIONE - 13 Ottobre 2025:
      Operazioni (binarie) in un insieme; proprietà speciali possibili. Elementi speciali: elemento neutro, elemento assassino.
      Elementi invertibili in un monoide: l'inverso di un elemento invertibile.
      Unicità di elemento neutro/assassino (se esiste); unicità dell'elemento inverso (se esiste).
      Semigruppi, monoidi, gruppi; definizione, esempi e controesempi. Il gruppo degli invertibili in un monoide.
      Il monoide E^E delle endofunzioni di un insieme E (per l'operazione di composizione); il suo gruppo degli invertibili è il gruppo S(E) delle permutazioni di E.
      Insiemi con due operazioni (binarie); casi speciali (semianelli, anelli, campi); esempi e controesempi.
      L'insieme delle parti (di un insieme) è un anello commutativo unitario - ma non un campo - per la differenza simmetrica e l'intersezione.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo I, paragrafo 4 - [G-P] file Gruppi, anelli, campi - [L-L] Appendix B - [PC] Capitolo 5, paragrafo 1; Capitolo 4, paragrafo 1
    Esercizi:   Gruppoidi e morfismi (N.B.: soltanto alcuni di questi esercizi sono pertinenti al programma svolto)
    Videolezioni:   Operazioni 1 (operazioni in un insieme; insiemi con una operazione)   -   Operazioni 2 (insiemi con più operazioni)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Insiemi con operazioni (22 Marzo 2021) (videoregistrazione [2h:01'29"] / versione scritta [6,66 MB])

  SESTA LEZIONE - 9 Ottobre 2025:
      Esercizio: la congruenza modulo n tra i numeri interi è una relazione di equivalenza.
      La relazione in E associata all'insieme quoziente di una partizione di E (e quindi alla partizione stessa).
      Classi di equivalenza e loro proprietà fondamentali.
      Teorema: (a) La relazione in E associata al quoziente di una partizione di E è un'equivalenza.
                (b) La famiglia delle classi di equivalenza (per una qualsiasi equivalenza data) in E è una partizione dell'insieme E.
          (c) Le due costruzioni precedenti sono una l'inversa dell'altra.
      Nota: ogni equivalenza in un insieme A è l'equivalenza indotta (canonicamente) da una qualche funzione il cui dominio è A stesso.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo I, paragrafo 3 - [G-P] file Relazioni 1 - [L-L] Chapter 2 - [PC] Capitolo 1, paragrafo 2
    Esercizi:   Relazioni 1   -   Relazioni 2
    Videolezioni:   Equivalenze 1 (equivalenze e partizioni)   -   Equivalenze 2 (equivalenze e funzioni)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Corrispondenza tra equivalenze e quozienti di partizioni (18 Marzo 2021) (videoregistrazione [1h:29'37"] / versione scritta [4,95 MB])
    Lezioni analoghe per altri corsi (un po' più in dettaglio):   prima parte (videoregistrazione [1h:52'23" - su Stream] / versione scritta [4,14 MB])   -   seconda parte (videoregistrazione [1h:46'03" - su Stream] / versione scritta [3,90 MB])

  QUINTA LEZIONE - 6 Ottobre 2025:
      Insiemi disgiunti.
      Relazioni (binarie) in un insieme; operazioni insiemistiche tra relazioni, inversa, composizione e potenze di relazioni (in uno stesso insieme).
      Proprietà notevoli per una relazione: riflessività, transitività, simmetricità, antisimmetricità.
      Relazioni di preordine; relazioni d'ordine, relazioni d'ordine totale; relazioni di equivalenza. Esempi e controesempi.
      In ogni insieme, la relazione identità è un ordine e un'equivalenza.
      La divisibilità tra numeri naturali è un ordine, ma non è totale; la divisibilità tra numeri interi è un preordine, ma non un ordine. Nell'insieme delle parti (di un insieme X qualunque), l'inclusione è un ordine, che è totale se e soltanto se X ha meno di due elementi.
      Teorema: Ad ogni funzione f da X a Y è associata in modo canonico una relazione in X che è una equivalenza.
      Partizioni in un insieme; l'insieme quoziente e la proiezione canonica associati ad una partizione.
      Esercizio: La proiezione canonica (definita come corrispondenza) è una funzione suriettiva.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo I, paragrafo 3 - [G-P] file Relazioni 1 - [L-L] Chapter 2 - [PC] Capitolo 1, paragrafo 2
    Esercizi:   Insiemi, funzioni, relazioni   -   Relazioni 1   -   Relazioni 2
    Videolezioni:   Relazioni (relazioni in un insieme: generalità, esempi)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Relazioni; ordini, equivalenze; partizioni (15 Marzo 2021) (videoregistrazione [1h:54'31"] / versione scritta [4,30 MB])

  QUARTA LEZIONE - 2 Ottobre 2025:
      Funzioni invertibili: definizione, unicità (quando esista) della funzione "inversa".
      Esercizio: Siano h una funzione da X a Y e k una funzione da Y a Z. Allora si ha:
          (1) se h e k sono iniettive, allora la loro composizione k ○ h è iniettiva;
          (2) se h e k sono suriettive, allora la loro composizione k ○ h è suriettiva;
          (3) se la composizione k ○ h è iniettiva, allora h è iniettiva;
          (4) se la composizione k ○ h è suriettiva, allora k è suriettiva;
          (5) (applicazione di (3) e (4)) Se h è una funzione da X a Y e k una funzione da Y a X tali che k ○ h = id_X , allora h è iniettiva e k è suriettiva.
      Teorema: Per una data funzione f, le seguenti proprietà sono equivalenti:
          (a) f è invertibile;   (b) f è biiettiva;   (c) la corrispondenza inversa f ^-1 è una funzione.
      Permutazioni in un insieme. L'insieme 2^E delle funzioni caratteristiche su un insieme E. La funzione caratteristica χ_F di un sottoinsieme F di un insieme E.
      Teorema: Dato un insieme E, la funzione   Φ : P(E) ⟶ 2^E, F ↦ χ_F ,   e la funzione   Ψ : 2^E ⟶ P(E) , η ↦ η ^-1(1) ,   sono l'una l'inversa dell'altra. In particolare, entrambe le funzioni Φ e Ψ sono invertibili, e quindi sono biiettive.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo I, paragrafo 2 - [G-P] file Funzioni e cardinalità - [L-L] Chapter 3, sections 3.1-3 - [PC] Capitolo 1, paragrafo 3
    Esercizi:   Funzioni
    Videolezioni:   Funzioni 2 (composizione di funzioni, funzioni invertibili)   -   Funzioni caratteristiche (funzioni caratteristiche in un insieme)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Funzioni invertibili; funzioni caratteristiche in un insieme; sottoinsiemi vs. funzioni caratteristiche (11 Marzo 2021) (videoregistrazione [1h:59'01"] / versione scritta [4,56 MB])

  TERZA LEZIONE - 29 Settembre 2025:
      La composizione - o prodotto (operatorio) - di due corrispondenze.
      Proprietà notevoli di inversione e composizione: associatività, esistenza di "elementi neutri" (le corrispondenze identità), non commutatività (in generale); la formula per l' inversa di una composizione. La composizione di due funzioni è a sua volta una funzione.
      Proposizione: Ogni corrispondenza da A a B equivale ad una ben precisa funzione (univocamente determinata) da A a P(B), l'insieme delle parti di B, dalla quale si può ricostruire la corrisopndenza di partenza.
      Famiglie (vs. "insiemi") - di oggetti in un insieme E indicizzati da elementi di un insieme I - come funzioni da I a E.
      Funzioni iniettive (o "iniezioni"), funzioni suriettive (o "suriezioni"), funzioni biiettive (o "biiezioni", o "corrispondenze biunivoche"): definizioni, esempi e controesempi.
      Proposizione: (caratterizzazione delle funzioni biiettivite tramite la corrispondenza inversa) Una funzione f è biiettiva se e soltanto se la sua corrispondenza inversa f^-1 è a sua volta una funzione.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo I, paragrafo 2 - [G-P] file Funzioni e cardinalità - [L-L] Chapter 2; Chapter 3, sections 3.1-5 - [PC] Capitolo 1, paragrafi 1-3
    Esercizi:   Corrispondenze   -   Funzioni
    Videolezioni:   Corrispondenze (corrispondenze tra insiemi e operazioni tra di esse)   -   Funzioni 1 (funzioni; iniettività, suriettività, biiettività)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Corrispondenze tra insiemi e costruzioni fondamentali su di esse (4 Marzo 2021) (videoregistrazione [1h:57'58"] / versione scritta [4,20 MB])   -   Funzioni; iniettività, suriettività, biiettività (8 Marzo 2021) (videoregistrazione [1h:57'58"] / versione scritta [4,85 MB])

  SECONDA LEZIONE - 25 Settembre 2025:
      Operazioni tra insiemi: intersezione, unione, differenza, complementare, differenza simmetrica, prodotto cartesiano.
      Proprietà notevoli delle operazioni tra insiemi:
          (1) commutatività e associatività di intersezione, unione e differenza simmetrica;
          (2) esistenza di elementi speciali;
          (3) distributività e leggi di De Morgan.
      Corrispondenze tra insiemi: definizione, notazione. Casi speciali: relazioni e funzioni.
      Esempi e controesempi: la corrispondenza vuota, la corrispondenza totale, la corrispondenza "identità" (che è una relazione e una funzione) id_A su un insieme A; la corrispondenza "sorella" (che non è una funzione), la corrispondenza "madre"(che è una funzione).
      Costruzioni sulle corrispondenze: operazioni insiemistiche tra corrispondenze, la corrispondenza inversa (di una corrispondenza data).
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo I, paragrafo 2 - [L-L] Chapter 2 - [PC] Capitolo 1, paragrafo 2
    Esercizi:   Insiemi   -   Corrispondenze
    Videolezioni:   Capitolo I, paragrafo 2 - [L-L] Chapter 2 - [PC] Capitolo 1, paragrafo 2
    Esercizi:   Insiemi   -   Corrispondenze
    Videolezioni:   Insiemi (insiemi, sottoinsiemi, insieme delle parti, operazioni tra insiemi)   -   Corrispondenze (corrispondenze tra insiemi e operazioni tra di esse)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Insiemi, sottoinsiemi, insieme delle parti, operazioni tra insiemi (1 Marzo 2021) (videoregistrazione [2h:01'00"] / versione scritta [9,70 MB])   -   Corrispondenze tra insiemi e costruzioni fondamentali su di esse (4 Marzo 2021) (videoregistrazione [1h:57'58"] / versione scritta [4,20 MB])

  PRIMA LEZIONE - 24 Settembre 2025:
      Presentazione generale del corso e spiegazione delle modalità d'esame.
      Insiemi: definizione (naturale, o "ingenua"), descrizioni possibili; appartenenza e non appartenenza di elementi. Famiglie (di oggetti in un insieme): definizione "ingenua".
      Il Paradosso di Russel e i limiti della teoria "ingenua" degli insiemi.
      Inclusione tra insiemi; sottoinsiemi, sovrainsiemi. L'uguaglianza tra insiemi come doppia inclusione.
      L'insieme vuoto. L'insieme delle parti di un insieme: definizione, esempi.
    Bibliografia:   [Ca] Capitolo I, paragrafo 1 - [G-P] file Insiemi - [L-L] Chapter 1 - [PC] Capitolo 1, paragrafo 1
    Esercizi:   Insiemi
    Videolezione:   Insiemi (insiemi, sottoinsiemi, insieme delle parti, operazioni tra insiemi)
    Lezioni analoghe del corso 2020/2021:   Insiemi, sottoinsiemi, insieme delle parti, operazioni tra insiemi (1 Marzo 2021) (videoregistrazione [2h:01'00"] / versione scritta [9,70 MB])