Settimana (Week)

Lezione (Lecture)

Argomenti (Topics)

Settimana 1

1 (2 ore) - 5/3/2025

· Descrizione di contenuti ed obiettivi del corso.

[T] Par. 2.1 e 1.1

· Spazio affine A^n(IK) ed anello dei polinomi A^(n):= IK[x_1,…,x_n], su un campo IK.

· Insiemi algebrici affini (IAA) Z_a(I) in A^n(IK) dove I ideale dell’anello A^(n).

· Corrispondenza Ideali in A^(n) ed  IAA in A^n(IK): esempi di “non buona” corrispondenza biunivoca tra IAA ed ideali sia per colpa del campo (non algebricamente chiuso) che per colpa degli ideali (non radicali).

· Ideali finitamente generati in A^(n)

· Richiami su anelli commutativi unitari Noetheriani e su Teorema della base di Hilbert (solo enunciato)

· Radicale di un ideale I = rad(I)

· Prime corrispondenze tra IAA e ideali in A^(n) nel caso di IK qualsiasi campo:

(i) reversing inclusion: I < J fornisce Z_a(I) > Z_a(J)

(ii) unioni (intersezioni) di IAA ed intersezioni (somme) di ideali in A^(n)

(iii) Z_a(I) = Z_a(rad(I))

· Ideali radicali: ideali radicali ed anelli quozienti ridotti

· Per ogni ideale I, rad(I) è un ideale radicale

Settimana 1

2 (2 ore) - 6/3/2025

[T] Par. 2.1

· m_b = (x_1-b_1, …. ,x_n-b_n) è ideale massimale in A^(n)  (IK qualsiasi campo) inoltre  Z_a (m_b) ={b} <  A^n(IK).

· Un ideale primo (oppure massimale) è sicuramente un ideale radicale.

· IAA come “chiusi” di A^n(IK) rispetto alla topologia di Zariski Zar(a,n) sullo spazio affine A^n(IK).

· Prime proprietà della topologia Zar(a,n):

(i) soddisfa l’assioma di separazione T1 (i punti sono chiusi)

(ii) se IK è infinito,  Zar(a,1)  non è  T_2.

· Corrispondenza non-iniettiva tra ideali e chiusi di Zariski.

· Se IK non algebricamente chiuso, la corrispondenza non è iniettiva nemmeno limitandosi ad ideali radicali. Esempi.

· Esempi elementari di IAA:

(1) Sottospazi affini in A^n(IK). L’ideale definito dalle equazioni del sottospazio affine è un ideale radicale perchè ideale primo. Omeomorfismi nella topologia di Zariski

(2) Ipersuperfici algebriche in A^n(IK). Equazione ridotta di un’ipersuperficie algebrica. Se f è un polinomio irriducibile su IK, allora Z_a(f) è una ipersuperficie algebrica affine irriducibile. Componenti irriducibili di un’ipersuperficie algebrica di A^n(IK).  

· Aperti principali della topologia di Zariski di A^n(IK): gli aperti principali formano una base per gli aperti della topologia di Zariski di A^n(IK).

Settimana 1

3 (2 ore) - 7/3/2025

[T] Par. 1.5, 2.2, 2.3

· Enunciato di Hilbert Nullstellensatz forma debole (HNfd) e  significati geometrici.

· Controesempi quando il campo IK non è algebricamente chiuso.

· Ideale I_a(Y) in A^(n) di un sottoinsieme qualsiasi Y di A^n(IK)  (IK qualsiasi campo). 

· Corrispondenza sottoinsiemi – ideali: corrispondenza non biunivoca.

· Chiusura (di Zariski) di un sottoinsieme Y in A^n(IK) nella topologia  Zar(a,n): Z_a(I_a(Y))

· Enunciato di Hilbert Nullstellensatz  forma forte (HNff)

· Conseguenza: se IK algebricamente chiuso si ha una corrispondenza biunivoca tra ideali radicali di A^(n) e chiusi di Zariski di A^n(IK). In questa corrispondenza biunivoca, gli ideali massimali di A^(n) corrispondono ad i punti di A^n(IK) (conseguenza di Hnfd)

· Preliminari algebrici per la dimostrazione di (HNfd) e (HNff)

· Nozioni di finitezza: IK-algebra finita, IK-algebra di tipo finito, Ampliamento di campi finitamente generato.  Legami tra le tre nozioni

· Legami tra le tre nozioni nel caso di ampliamento di campi IK < L campi: L IK-algebra finita implica L IK-algebra di tipo finito implica IK<L ampliamento di campi f.g.  

· Rivisitazione del caso delle estensioni semplici di campi: L = IK(v) dove v trascendente su IK oppure v algebrico su IK.

· Le implicazioni in generale non si invertono: se x è un’indeterminata su IK, il campo IK(x) = Q(IK[x]) è un ampliamento di IK f.g.  che non è una IK-algebra di tipo finito né tantomeno finita.

Settimana 2

4 (2 ore) – 12/3/2025

[T] Par. 2.3

· Lemma di Zariski: (solo enunciato)

· Dimostrazione di HNfd con l’utilizzo del Lemma di Zariski.

· Dimostrazione di HNff con l’utilizzo di HNfd.

· Proprietà degli ideali I_a(X) per IK algebricamente chiuso:

(i) I_a(-) di una unione finita di chiusi

(ii) I_a(-) di una intersezione qualsiasi di chiusi (Osservazione: l’ideale somma di ideali radicale non è necessariamente radicale; esempio esplicito)

(iii) I_a(-) e proprietà di “reversing inclusion”

(iv) per ogni sottoinsieme X di A^n(IK), si ha I_a(X) = I_a(chiusura di X). 

Settimana 2

5 (2 ore) - 13/3/2025

[T] Par. 1.3, 2.3 

· Se IK algebricamente chiuso, le applicazioni Z_a(-) ed I_a(-) inducono corrispondenze biunivoche tra ideali propri radicali principali di A^(n) ed ipersuperfici di A^n(IK); analogamente inducono corrispondenze biunivoche tra ideali primi principali di A^(n) ed ipersuperfici algebriche irriducibili di A^n(IK). 

· Ipersuperfici di A^2(IK) = curve algebriche piane affini; ipersuperfici algebriche irriducibili di A^2(IK) = curve algebriche piane affini irriducibili.  

· Se IK algebricamente chiuso, ogni curva algebrica irriducibile di A^2(IK) ha infiniti punti (controesempi se IK infinito ma non algebricamente chiuso)

· Conseguenza: i chiusi propri di A^2(IK) nella topologia di Zariski sono il vuoto, unioni finite di punti, unioni finite di curve algebriche irriducibili ed unioni finite di curve algebriche irriducibili e punti non appartenenti alle curve algebriche irriducibili.

· Principio di identità dei polinomi in A^(n).

· Conseguenze del principio di identità dei polinomi:

(i) se se IK è infinito A^n(IK) è irriducibile

(ii) se IK è infinito due aperti non vuoti di Zar(a,n) si intersecano sempre (i.e. la topologia di Zariski di A^n(IK) non è T2) 

(iii) se IK è infinito ogni aperto non vuoto è denso in A^n(IK)

(iv) se IK è infinito ed U è un aperto non vuoto di A^n(IK), allora I_a(U) = I_a(A^n(IK)) = (0). 

· Richiami sulla costruzione di spazi proiettivi e sulle sue coordinate omogenee. 

Settimana 2

6 (2 ore) - 14/3/2025

[T] Par. 2.3., 1.10

· Preliminari algebrici su anelli graduati ed ideali omogenei

· Anello dei polinomi omogenei S^(n):=IK[x_0,…,x_n].

· S^(n)_d = componente omogenea di grado d (insieme con il polinomio nullo) forma un IK-spazio vettoriale

· Formula binomiale per la dimensione su IK dello spazio vettoriale S^(n)_d

· Definizione ricorsiva sui monomi di derivata e derivata parziale di un polinomio a coefficienti in un campo IK.

· Caratterizzazione dei polinomi omogenei in S^(n) ed identità di Eulero.

· Fattori irriducibili in S^(n) di un polinomio omogeneo sono anch’essi omogenei

· Anelli graduati.

· Elementi omogenei in un anello graduato.

· Scritture uniche degli elementi di un anello graduato nella decomposizione in sue componenti omogenei

· Ideale irrilevante in un anello graduato.

Settimana 3

7 (2 ore) – 19/3/2025

[T] Par. 2.3., 1.10

· Ideali omogenei di un anello graduato.

· Caratterizzazione di ideali omogenei in termini dei suoi generatori.

· Somma, prodotto ed intersezione di ideali omogenei sono omogeni. Radicale di un ideale omogeneo è omogeneo.(solo enunciati)

· Anelli quozienti graduati ed ideali omogenei

· L’anello dei polinomi omogenei S^(n):=IK[x_0,…,x_n] è un anello graduato, di ideale irrilevante il massimale (X_0, X_1, …, X_n)

Settimana 3

8 (2 ore) - 20/3/2025

[T] Par. 3.1, 3.1 e 3.2

· Zeri in P^n di un polinomio omogeneo. Insieme degli zeri di un polinomio omogeneo.

· Se IK è infinito, zeri in P^n di un polinomio e legame con gli zeri delle sue componenti omogenee.

· Insiemi algebrici proiettivi (IAP): sono della forma Z_p(I) con I Ideale omogeneo nell’anello graduato S^(n).

· Ideali omogeneo I_p(X) in S^(n) di un sottoinsieme X di P^n.

· Proprietà di “reversing inclusion” come nel caso affine. Proprietà di intersezioni e somme come nel caso affine.

· IAP come chiusi di una topologia su P^n = Zar(p,n) topologia di Zariski su P^n.

· Ipersuperfici di P^n e loro complementari (aperti principali)

· Come nel caso affine, gli aperti principali formano una base per gli aperti della topologia di Zariski Zar(p,n) su P^n.

· Differenza sostanziale con il caso affine:

(i) l’ideale irrilevante di S^(n) è radicale ma Z_p(S_{+}) = Z_p((1)) = insieme vuoto in P^n

(ii) un punto di P^n è definito da un ideale I primo ma non massimale in S^(n)

· Analogie tra A^n e P^n: Zar(p,n) è T_1, i.e. i punti sono chiusi nella topologia di Zariski

· Omogeneizzazione e de-omogeneizzazione di polinomi.

· Proprietà di omogeneizzazione e de-omogeneizzazione e significati geometrici in P^n e A^n

Settimana 3

9 (2 ore) - 21/3/2025

[T] Par. 3.1, 3.2 e 3.3  

· HNfd omogeneo (i.e. in P^n): se IK è algebricamente chiuso ed I è un ideale proprio omogeneo in S^(n), allora Z_p(I) è vuoto se e solo se rad(I) = S_+.

· Cono affine C_a(X) in A^{n+1} di un sottoinsieme X di P^n.

· Hnff omogeneo (i.e. in P^n): se IK è algebricamente chiuso e Z_p(I) non vuoto, allora I_p(Z_p(I)) = rad(I).

· Corrispondenza tra chiusi di P^n ed ideali radicali omogenei di S^(n) è biunivoca solo se si esclude l’ideale irrilevante S_+.

· Sottospazi lineari di P^n e loro ideale omogeneo.

· Iperpiani di P^n e spazio proiettivo duale  (P^n)*

· Iperpiani fondamentali H_i = Z_p(x_i) ed aperti (principali) fondamentali U_i di P^n

· Per ogni indice i, P^n è unione disgiunta dell’aperto (principale) fondamentale U_i e dell’iperpiano H_i = Z_p(x_i)

· Ricoprimento di P^n in aperti (principali) fondamentali.

Settimana 4

10 (2 ore) – 26/3/2025

[T] Par. 3.3  

· Gli aperti fondamentali U_i sono omeomorfi (nella topologia di Zariski) a spazi affini A^n. I punti di H_i sono punti all’infinito dell’ aperto fondamentale U_i.

· Conseguenze:

(i) U_i si dicono carte affini di P^n

(ii) P^n è ricopribile con n+1 aperti affini (o carte affini) U_i.

(iii) P^n e’ unione disgiunta di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo identificabile con P^{n-1}.

(iv) Se H è un qualsiasi iperpiano di P^n, il complementare di H è sempre omeomorfo ad uno spazio affine

(v) Per ogni chiuso proiettivo Y, presi Y_i := Y n U_i essi sono aperti affini di un ricoprimento aperto finito di Y. Gli aperti Y_i sono chiusi di spazi affini

· Chiuso affine Y_i nella carta affine U_i individuato da un chiuso proiettivo Y = Z_p(I) di P^n: è sufficiente deomogeneizzare i polinomi omogenei generatori dell’ideale omogeneo I del chiuso proiettivo Y. Esempi: conica proiettiva che ha nelle tre carte affini tre coniche affini di diversa tipologia affine (caso reale e caso complesso)

· Punti all’infinito od impropri per il chiuso affine Y_i.

· Se invece si parte da un chiuso affine Y=Z_a(J) di uno spazio affine, identificato canonicamente con la carta affine U_0, per trovare la sua chiusura proiettiva in IP^n in generale non è sufficiente omogeneizzare i generatori (non omogenei) dell’ideale non omogeneo J del chiuso affine Y. Esempi

Settimana 4

11 (2 ore) – 27/3/2025

[T] Par. 3.3  

· Chiusura proiettiva di un chiuso affine Y= Z_a(J) in A^n. Punti all’infinito del chiuso affine

· Se X è un qualsiasi sottoinsieme di IP^n, allora I_p(X) = I_p(chiusura proiettiva di X)

· Chiusi (o localmente chiusi) di A^n sono localmente chiusi di P^n, invece chiusi di P^n individuano sempre chiusi di A^n.

· Esempi in cui la chiusura proiettiva è semplice (i.e. è sufficiente omogeneizzare i generatori)

(i) Sottospazi proiettivi di P^n e sottospazi affini indotti nelle carte affini U_i, i = 0,….,n. Chiusura proiettiva di un sottospazio affine ed ideale omogeneo della chiusura proiettiva.

(ii) Ipersuperfici proiettive ed affini: chiusura proiettiva di un’ipersuperficie algebrica di A^n ed ideale omogeneo associato. 

(iii) In particolare, chiusura proiettiva di una curva algebrica di A^2 ed ideale omogeneo associato.

· Classificazione di tutti i chiusi propri di P^2

Settimana 4

12 (2 ore) – 28/3/2025

[T] Par. 3.3  

· Curva razionale affine parametrizzata X= (t, f_2(t), …, f_n(t)), dove t parametro in IK e f_i polinomi non tutti costanti in A^(1). 

· Ideale primo associato a X. 

· Applicazioni: cubica gobba affine C_a in A^3. L’ideale radicale I_a(C_a) della cubica gobba affine è primo ed generato da due superfici quadriche affini.

· La cubica gobba proiettiva C_p come chiusura proiettiva di C_a in P^3.

· C_p = C_a unione {P}= Z_p(F_1, F_2, F_3), dove F_i sono 3 quadriche proiettive linearmente indipendenti in S^(3)_2

Settimana 5

13 (2 ore) – 2/4/2025

[T] Par. 3.3  

· La cubica gobba proiettiva C_p è intersezione insiemistica di una quadrica ed una cubica, ma solo come insieme algebrico (struttura NON-RIDOTTA in tutti i punti)

· L’ideale omogeneo I_p(C_p) della cubica gobba proiettiva C_p è generato da tre quadriche.

· Sizigie tra i generatori di I_p(C_p).

Settimana 5

14 (2 ore) - 3/4/2025

[T] Par. 4.1 e 4.2

· Sottoinsiemi irriducibili di uno spazio topologico X. E’ una proprietà topologica, i.e. invariante per omeomorfismi

· Criteri topologici di irriducibilità.

·Aperti densi. L’immagine continua di un irriducibile è irriducibile.

· Applicazioni ad IAA e IAP: P^n ed ogni suo aperto non vuoto sono irriducibili. A^n ed ogni suo aperto non vuoto sono irriducibili.

· Esempi di chiusi algebrici irriducibili: sottospazi affini in A^n, sottospazi lineari di P^n, la cubica gobba affine e proiettiva, ogni curva razionale affine polinomialemnte parametrizzata X=  (t, f_2(t), …, f_n(t)),

· Se X è sottoinsieme di A^n irriducibile ed U un aperto non vuoto di X, allora si ha un’uguaglianza di ideali:  I_a(U) = I_a(X) = I_a(X_a), dove X_a è la chiusura affine di X

· Se X sottoinsieme di P^n irriducibile, U un aperto non vuoto di X, allora si ha un’uguaglianza di ideali omogenei: I_p(U) = I_p(X) = I_p(X_p), dove X_p è  la chiusura proiettiva di X.

Settimana 5

15 (2 ore) – 4/4/2025

[T]Par. 4.1 e 4.2

· Criteri algebrici di irriducibilità.

· A(X) = A(X_a) anello delle coordinate (affini) di X un sottoinsieme di A^n.

· S(X) = S(X_p) anello delle coordinate omogenee di X un sottoinsieme di P^n

· Osservazioni su Notherianità algebrica: quozienti di anelli Noetheriani sono Noetheriani. Pertanto A(X) e S(X) sono IK-algebre integre Noetheriane di tipo finito

· X sottoinsieme di uno spazio affine (equiv proiettivo) è irriducibile se e solo se I_a(X) (equiv. I_p(X)) è un ideale primo (equiv. ideale primo omogeneo) se e solo se A(X) è un dominio intergo (equiv. S(X) è un dominio integro graduato).

· Corrispondenza biunivoca tra IAA irriducibili ed ideali primi, (equiv. tra IAP ed ideali primi omogenei di S^(n) –{ S_+}).

· Ipersuperfici irriducibili, componenti irriducibili di un’ipersuperficie. Chiusi propri irriducibili di A^2 e di P^2. 

· Un IAP X e’ irriducibile se e solo se il cono affine C(X)_a e’ irriducibile se e solo se il cono proiettivo C(X)_p è irriducibile

· Varietà affini, varietà quasi-affini, varietà proiettive e varietà quasi-proiettive immerse in IP^n.

Settimana 6

16 (2 ore) - 9/4/2025

[T] Par. 4.1, 4.2  

· La nozione più generale è quella di varietà quasi-proiettiva immersa in IP^n = Varietà ALGEBRICA di IP^n.

· Ogni varietà (quasi-)proiettiva ammette un ricoprimento finito in varietà (quasi-)affini.

· Se si identifica A^n omeomorficamente con l’aperto principale U_0 di IP^n si ha una corrispondenza biunivoca tra: varietà proiettive X di IP^n non contenute nell’iperpiano fondamentale H_0 = Z_p(x_0) e varietà affini di U_0= A^n .

· Sia Z un chiuso proiettivo di IP^n. Allora Z è una varietà proiettiva se e solo se, per ogni i = 0,1,…,n, Z intersecato U_i è varietà affine di U_i = A^n

· Conseguenze sugli ideali I_p(Z), I_p(Z intersecato U_i) e (I_a(Z intersecato U_i))^* := ideale generato da tutti gli omogeneizzati h_0 degli elementi di I_a( Z intersecato U_i)

· Osservazione: l’intersezione di due varietà algebriche non sempre è una varietà algebrica.

· Esempio: intersezione di due delle quadriche (irriducibili e determinantali) proiettive che contengono la cubica gobba proiettiva non danno una varità proiettiva ma un chiuso proiettivo unione di due varietà proiettive. Descrizione topologica e descrizione con gli ideali omogenei

Settimana 6

17 (2 ore) – 10/4/2025

[T] Cap. 1 e Par. 4.2  

· Spazi topologici Noetheriani: condizione sulle catene discendenti di chiusi (equiv. sulle catene ascendenti di aperti)

· Se Y è un sottoinsieme di X spazio topologico Noetheriano, allora anche Y è spazio topologico Noetheriano rispetto alla topologia indotta.

· Noetherianità topologica e compattezza per aperti.

· Noetheriantà di anelli commutativi unitari A per mezzo della condizione di catene ascendenti di ideali propri di A

· Topologia di Zariski: Noetherianità topologica dalla Noetherianità algebrica di A^(n), S^(n), A(X) e S(X)

· Conseguenze: A^n e P^n sono spazi topologici Noetheriani. Ogni varietà algebrica ed ogni localmente chiuso algebrico è Noetheriano.

· Se X varietà affine: legame tra dimensione topologica o combinatoria di X e dimensione di Krull di A(X)

· Noetherianità ed irriducibilità: ogni chiuso Y di uno spazio topologico Noetheriano X si scrive in modo unico (irridondante ed a meno dell’ordine) in un’unione di suoi chiusi propri irriducibili, che sono detti COMPONENTI IRRIDUCIBILI di Y.

· In particolare, ogni localmente chiuso di Zariski è unione finita di varietà algebriche, che costituiscono le sue componenti irriducibili

Settimana 6

18 (2 ore) – 11/4/2025

[T] Par. 5.1, 5.2 e 5.3   

· Funzioni regolari e razionali su A^n. Aperto di definizione di una funzione razionale.

· Campo delle funzioni razionali omogenee di grado zero come campo di funzioni razionali su IP^n. Aperto di definizione di una funzione razionale.

· Funzioni regolari in un punto P di una varietà algebrica X: definizione locale ed aperta. Asserzione equivalente nel caso di una varietà quasi-affine.

· Aperto di definizione di una funzione regolare su una varietà algebrica X

· Esempio in cui l’aperto di definizione della funzione razionale f= (x_1/x_0) è strettamente contenuto in X = Z_p(x_0 x_3 – x_1 x_2 ) < IP^3

· Se X è una varietà affine, allora l’anello delle coordinate affini A(X) fornisce esempi di funzioni regolari su tutta la varietà X.

· IK-algebra O_X(U) di funzioni regolari su un aperto U di una varietà algebrica X.

· Le restrizioni come morfismi di IK-algebre

· Gli elementi in O_X(X) sono le funzioni regolari su tutta la varietà X.

Settimana 7

19 (2 ore) - 16/4/2025

[T] Par. 5.1, 5.2 e 5.3   

· Luogo di zeri di una funzione regolare su una varietà algebrica X.

· Ogni funzione regolare su X varietà algebrica è un’applicazione continua, se IK si identifica con A^1 dotato della topologia Zar(a,1)

· Se f e g sono funzioni regolari su X varietà algebrica che coincidono su un aperto U di X, allora coincidono su tutta la varietà X.

· Funzioni razionali su una varietà algebrica X.

· K(X) è il campo delle funzioni razionali su X: è un ampliamento del campo base IK

· Per ogni aperto U di X, O_X(U) è una IK-algebra integra contenuta in K(X).

· Se U < V sono due aperti di X, l’omomorfismo di restrizione tra IK-algebre O_X(V) → O_X(U) è iniettivo.

· Per ogni aperto non vuoto U di X si hanno le inclusioni di IK-algebre O_X(X) < O_X(U) < K(X).

· Aperto di definizione di una funzione razionale su una varietà X.

· Preliminari algebrici su pre-fasci e fasci con struttura su uno spazio topologico

· Pre-fasci di gruppi abeliani (o di anelli, o di IK-algebre ecc) su uno spazio topologico X.

· Sezioni di un pre-fascio sopra un aperto U di X, morfismi di restrizioni e sezioni globali di un pre-fascio.

Settimana 7

20 (2 ore) - 17/4/2025

[T] Par. 5.1 e 5.3

· Pre-fascio di gruppi abeliani (o di anelli commutativi unitari o di IK-algebre) su uno spazio topologico X come funtore controvariante dalla categoria Top(X) alla categoria Abel (o Ring, o IK-alg)

· Spiga di un pre-fascio in un punto p in X e germi di sezioni del pre-fascio

· Condizioni su un pre-fascio affinchè sia un fascio.

· Esempi di pre-fasci su spazi topologici che non sono fasci.

· Conseguenza: O_X è un fascio di IK-algebre integre su X, detto fascio strutturale della varietà algebrica X.

· Spiga O_{X,p} per un punto p di X. I suoi elementi si chiamano germi di funzioni regolari nel punto p.

· Sottovarietà algebrica W di una varietà algebrica X

· Immersioni chiuse, aperte e localmente chiuse di una sottovarietà algebrica W in una varietà algebrica X

· O_{X,W} anello delle funzioni razionali definite in W (i.e. regolari su un aperto di W)

· Per ogni sottovarietà algebrica W di X si ha O_X(X) < O_{X,W} < K(X).

· m_{X,W} < O_{X,W} ideale delle funzioni localmente nulle su W.

Settimana 7

21 (2 ore) - 18/4/2025

[T] Par. 1.11 e 5.3

· Richiami algebrici su anelli locali (A,m) anello locale.

· Caratterizzazione in termini di invertibili in A.

· Campo residuo A/m di un anello locale.

· Conseguenze su varietà algebriche:

(i) (O_{X,W}, m_{X,W}) è un anello locale il cui campo residuo è isomorfo al campo K(W) delle funzioni razionali di W.

(ii) Se U_X aperto di X tale che W’:=W n U_X non vuoto, allora (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo come anello locale a (O_{U_X,W’}, m_{U_X,W’})

(iii) Per ogni aperto non vuoto U di X, K(U) è isomorfo a K(X).

(iv) Ideale I_U(W) in O_X(U) come ideale in U della sottovarietà W

Settimana 8

22 (3 ore) – 23/4/2025

[T] Par. 1.11 e 5.3  

· Richiami algebrici su localizzazione di domini di integrità:

(i) S sistema moltiplicativo in un dominio di integrità A.

(ii) Relazione di equivalenza @ su AxS: l’anello quoziente è A_S = AxS/@ è detto anello localizzato di A rispetto a S.

(iii) Il morfismo di localizzazione A → A_S è iniettivo e, per ogni S < A* = A-{0} sistema moltiplicativo, si hanno inclusioni A < A_S < Q(A).

(iv) Localizzazione omogenea di A dominio di integrità graduato rispetto ad un sistema moltiplicativo S.

· Localizzazioni rispetto a complementari di ideali primi:

(i) Se p è un ideale primo di A, S:= A – p è sempre un sistema moltiplicativo in A;

(ii) La localizzazione A_S, con S:= A – p, si denota con A_p e l’ideale esteso di p in A_p si denota con p A_p che risulta essere è un ideale massimale di A_p.

(iii) (A_p , pA_p ) è un anello locale di campo residuo isomorfo a Q(A/ p).

(iv) Se A anello graduato, la localizzazione omogenea (A_(p) , pA_(p) ) è un anello locale graduato di campo residuo isomorfo a Q_0(A/p) che è il sottocampo delle frazioni di grado 0 in Q(A/p).

(v) Localizzazione A_(0) e localizzazione omogenea A_((0)).

· Localizzazioni rispetto a l sistema moltiplicativo delle potenze di un elemento non nullo complementari:

(i) Se f non nullo in A, visto che è un elemento non-nilpotente (perché A dominio) si può considerare S := {f^n, n in N} sistema moltiplicativo

(ii) La localizzazione A_S, con S:={f^n, n in N} si denota con A_f

(iii) Se A è dominio graduato, la localizzazione omogenea rispetto a S:={f^n, n in N} si denota con A_([f]).

· Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali (SOLO ENUNCIATO)

(i) Se X è una varietà affine, allora:

• O_X(X) = A(X);

• tutti e soli gli ideali primi di A(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_a(W)/I_a(X). In particolare I_X(W) è massimale se e solo se W= P punto di X;

• l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato di A(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

• K(X) = Q(A(X)) = A(X)_(0);

• per ogni sottovarietà W di X, K(W) è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione di A(X) rispetto all’ideale primo I_W(X).

(ii) Se X è una varietà proiettiva, allora:

• O_X(X) = IK.

• tutti e soli gli ideali primi omogenei (tranne l’irrilevante) di S(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_p(W)/I_p(X);

• l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato omogeneo di S(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

• K(X) = S (X)_((0));

• per ogni sottovarietà W di X, K(W) è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione omogenea di S(X) rispetto all’ideale primo I_W(X)

· Prime conseguenze del Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali:

(i) se X = p è un punto allora O_p(p) = K(p) = IK;

(ii) O_{A^n}(A^n) =A^(n), mentre O_{P^n}(P^n) =IK; tuttavia K(A^n) = K(P^n) = K(x_1,….,x_n).

(iii) Calcolo esplicito per O_{P^1}(P^1) =IK

(iv) Sia X_a una varietà affine e X_p è la sua chiusura proiettiva: se q è un punto di X_a, allora si ha O_{X_a, q} = O_{X_p, q}

(v) Osservazione Importante: Per ogni varietà algebrica X, il campo delle funzioni razionali K(X) è un ampliamento f.g. del campo IK.

Settimana 8

23 (2 ore) – 24/4/2025

· Esempi di applicazione del Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali:

(i) Esempio: Calcolo esplicito dell’anello O_X(X) = A(X), dell’anello O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e del campo K(X) per la varietà affine X parabola X= Z_a(y – x^2): si ha O_X(X)= A(A^1) e K(X) = K(A^1) = IK(x), quindi K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: la parametrizzazione f: A^1 ----> X, t → (t, t^2), con inversa la mappa di proiezione p_1 da X su A^1 (proiezione sulla prima coordinata) si estende ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 è la proiezione dall’unico punto all’infinito della conica proiettiva X.

(ii) Esempio: Calcolo esplicito dell’anello O_X(X) = A(X), dell’anello O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e del campo K(X) per la varietà affine X iperbole Z_a(xy-1) in A^2: si ha A(X) = A^(1)_x mentre A(A^1) = A^(1). Se W e’ la sottovarietà quasi-affine A^1 – {0} di A^1, allora A(A^1) <O_W(W) = A(X). Tuttavia K(X) = K(A^1) = K(W) = K(P^1) = IK(x). Si ha che K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: la parametrizzazione data da f: W → X, definita da t → (t ,1/t), con inversa la mappa di proiezione p_1 da X su W (proiezione sulla prima coordinata) si estende ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 è la proiezione da uno dei due punti all’infinito della conica X.

(iii) Esempio: Calcolo esplicito dell’anello O_X(X) = A(X), dell’anello O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e del campo K(X)per la varietà affine X ellisse X = Z_a(x^2+y^2-1) (nel piano affine complessificato) A^2(C): si ha O_X(X) = A(X) contiene strettamente A(A^1) = A^(1). Se W e’ la sottovarietà quasi-affine A^1 – {0} di A^1, allora A(A^1) <O_W(W) = A(X). Tuttavia K(X) = K(A^1) = K(W) = K(IP^1) = IK(x). Si ha che K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: la parametrizzazione data da f: W → X definita dalle rette parallele x-iy =t, con t non nullo, ha come inversa la proiezione parallela definita da questo fascio dirette da X sul dominio W del parametro t, e tale proiezione si estende ad una mappa da IP^1 alla chiusura proiettiva in IP^2 di X . La mappa di proiezione è la proiezione da uno dei due punti (punti ciclici) all’infinito dell’ellisse. A meno di una proiettività di tutto IP^2, abbiamo la stessa conica proiettiva ottenuta con chiusura proiettiva di parabola e di iperbole: determinazione della proiettività esplicita.

(iv) Esempio: Calcolo esplicito di dell’anello O_X(X) = A(X), dell’anello O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e del campo K(X) per la varietà affine X data dalla parabola semicubica (detta anche cubica piana cuspidale) X = Z_a (y^2 – x^3). X è singolare in O=(0,0) dove presenta una cuspide. Si ha O_X(X) = A(X) = IK[t^2,t^3] < IK[t] = A( A^1) però K(X) = K(A^1) = K(P^1) = IK(t). Quindi K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: i punti di X sono in corrispondenza 1-1 con la retta affine parametrizzante ii coefficienti angolari del rette del fascio a centro per O, y = tx, dove la retta y=0 corrisponde alla tangente principale nel punto singolare O= (0,0) alla curva X

(v) Esempio: Calcolo esplicito dell’anello O_X(X) = A(X), dell’anello O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e del campo K(X) per la varietà affine X = Z_a (y^2 - x(x-1) (x-a)). Se a = 0, 1, è cubica piana nodale e K(X) = K(A^1) = K(IP^1) = IK(x), i.e. K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Invece, con a diverso da 0 e 1, X è cubica piana non-singolare e K(X) è un’estensione mista di IK, cioè K(X) è un’estensione algebrica quadratica di IK(x).

Settimana 8

NO LEZIONE – 25/4/2025

FESTIVITA’ 25 APRILE

Settimana 9

NO LEZIONE - 30/4/2025

PONTE TRA LE FESTIVITA’ DI 25 APRILE E 1 MAGGIO (STUDENTI FUORI SEDE)

Settimana 9

NO LEZIONE - 1/5/2025

FESTIVITA’ 1 MAGGIO

Settimana 9

NO LEZIONE - 2/5/2025

PONTE TRA FESTIVITA’ 1 MAGGIO E DOMENICA (STUDENTI FUORI SEDE)

Settimana 10

24 (2 ore) – 7/5/2025

[T] Par. 6.1

· Morfismi di varietà algebriche.

· Isomorfismi ed automorfismi di varietà algebriche.

· Morfismi di varietà algebriche e morfismi di algebre delle funzioni regolari su aperti.

· Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora O_V(V) e O_W(W) sono isomorfe come IK-algebre integre.

· Esempi: parabola ed A^1. Controesempi: iperbole ed A^1, ellisse ed A^1.

· Morfismi dominanti di varietà algebriche e morfismi tra campi delle funzioni razionali.

· Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora K(V) e K(W) sono campi isomorfi. Non vale il viceversa: iperbole (od anche ellisse nell’affine complessificato) ed A^1

· Funzioni regolari su varietà algebrica V come morfismi da V ad A^1: O_V(V) = Morph(V, A^1)

· Immersioni chiuse, aperte e localmente chiuse di una sottovarietà W in una varietà V come morfismi da W a V

· Luogo di zeri di un morfismo da una varietà algebrica V ad A^n.

Settimana 10

25 (2 ore) – 8/5/2025

[T] Par.  6.1 e 6.2  

· Criteri per stabilire se un’applicazione insiemistica V→ W, con target W una varietà quasi-affine in A^n, sia un morfismo di varietà algebriche

· Mappe polinomiali tra A^n ed A^m.

· Corrispondenza biunivoca tra n-uple di funzioni regolari su una varietà algebrica V e morfismi da V ad A^n.

· Morfismi/Isomorfismi tra varietà affini.

· Conseguenze ed esempi:

(i) Morfismo di proiezione p_I :A^n → A^m sulle coordinate individuate dall’insieme I sottoinsieme di cardinalità m di {1,2, …., n}.

(ii) La parabola è isomorfa ad A^1. L’iperbole e l’ellisse sono isomorfe ad A^1\{0}.

(iii) Se f è un isomorfismo di varietà algebriche allora f è anche omeomorfismo di spazi topologici irriducibili e Noetheriani.

(iv) Non è vero il viceversa di (iii): la parabola semicubica y^2 = x^3 ed A^1 sono omeomorfi ma non isomorfi come varietà algebriche.

(v) L’immagine di un morfismo di una varietà quasi-proiettiva in generale non è né aperta né chiusa. Insiemi costruibili. Esempi

Settimana 10

26 (2 ore) – 9/5/2025

[T] Par.  6.2 e 6.3 

· Se V è una varietà algebrica e W è una varietà affine, allora Morph(V,W) corrisponde biunivocamente a Hom_{IK}(A(W), O_V(V)).

· Ricostruzione di un morfismo di varietà affini da un omomorfismo di IK-algebre.

· Se V e W varietà affini, allora V è isomorfa a W se e solo se A(V) è isomorfa come IK-algebra integra ad A(W).

· Se V e W varietà affini allora f :V → W è un morfismo dominante se e solo se f^# :A(W) → A(V) e’ omomorfismo iniettivo di IK-algebre integre.

· Conseguenza: se V è una varietà affine, l’anello delle coordinate affini determina V = Specm (A(V)) come supporto, determina totalmente la topologia dei suoi chiusi irriducibili con Spec (A(V)) determina gli aperti principali di V (che sono base per gli aperti della topologia di Zariski di V), determina l’anello delle funzioni regolari su V e il campo delle funzioni razionali su V, determina, per localizzazioni di A(V), le spighe del fascio strutturale O_V in altri termini A(V) determina (V, O_V) come spazio localmente anellato inoltre ogni morfismo tra varietà affini V→ W è equivalente ad un morfismo di IK-algebre integre di tipo finito A(W) → A(V). Equivalenza di categorie la categoria delle varietà affini è equivalente alla categoria delle IK-algebre integre di tipo finito

· Controesempi alla ricostruzione di morfismi quando le varietà non sono affini: ad esempio A^2-{(0,0)}.

· Conseguenze ed esempi:

(i) Se V è una varietà affine isomorfa ad una varietà proiettiva, allora V è un punto.

(ii) Ogni morfismo da una varietà proiettiva ad una varietà (quasi) affine è un morfismo costante.

(iii) Gli aperti fondamentali U_i di IP^n non sono solo omeomorfi ad A^n ma sono più precisamente isomorfi ad A^n.

· Definizione generale di varietà affine astratta e di aperto affine di una varietà algebrica.

· Conseguenze ed esempi:

(i) IP^n ha un ricoprimento finito in aperti affini.

(ii) A^2-{(0,0)} è un aperto di A^2 che non è un aperto affine. Esistenza di varietà quasi-affini che non sono affini.

(iii) Per ogni ipersuperficie Z < A^n , l’aperto W:=A^n \ Z è un aperto affine di A^n isomorfo all’ipersuperficie irriducibile Z_a(x_{n+1} f- 1) di A^{n+1}.

(iv) A differenza di A^2-{(0,0)}, ogni aperto principale di A^n è un aperto affine

Settimana 11

27 (2 ore) – 14/5/2025

[T] Par.  6.3 e 6.4  

· Se W è una varietà proiettiva, O_W(W) non può essere utilizzato per costruire morfismi non costanti né come invariante per classi di isomorfismo di varietà proiettive (differenza dal caso affine)

· Criteri per stabilire se un’applicazione insiemistica V→ W, con V e W varietà localmente chiuse in spazi proiettivi sia un morfismo di varietà algebriche

· Morfismi f da aperti di IP^n definiti per mezzo di polinomi omogenei F_0,…F_r in S^{(n)}_d.

· Im(f) è non-degenere in IP^n se e solo se F_0, …F_r linearmente indipendenti.

· Luogo di non definizione (luogo base) di f ed aperto di definizione di f.

· Corrispondenza 1-1 tra sezioni iperpiane dell’immagine Im(f) ed ipersuperfici di grado d in IP^n.

· Sistemi lineari di ipersuperfici proiettive di grado d e dimensione r. Luogo base di un sistema lineare di ipersuperfici proiettive di grado d e dimensione r.

· Esempi: conica proiettiva in IP^2 come immagine di IP^1 via la base canonica di (S^{(1)})_2: è un isomorfismo sull’immagine; corrispondenza sezioni iperpiane (cioè rettilinee) della conica e coppie di punti su IP^1.

Settimana 11

28 (2 ore) - 15/5/2025

[T] Par.  6.5  

· Curva razionale normale di grado d in IP^d come immagine isomorfa di IP^1 via la base canonica di (S^{(1)})_d.

· Morfismo da IP^n caso dei polinomi F_i lineari.

* Se r = n, il morfismo f corrispondente è una proiettività di IP^n, quindi ad un suo automorfismo.

* Se invece r < n, f e’ proiezione di centro un sottospazio proiettivo L su un qualsiasi sottospazio di IP^n, sghembo ad L, ed isomorfo a IP^r astratto.

· Morfismo di Veronese di indici n e d.

(i) Varietà di Veronese V_{n,d} in IP^{N(n,d)}.

(ii) V_{1,d} è la curva razionale normale di grado d: è una varietà proiettiva, non-degenere in IP^d ed isomorfa a IP^1. Grado di V_{1,d} e sue sezioni iperpiane. 

(iii) V_{2,2} è la Superficie di Veronese. E’ una superficie isomorfa a IP^2 e non degenere in IP^5; il suo grado è 4.

· Sottosistemi lineari del sistema completo delle ipersuperfici di grado d di IP^1 e proiezioni interne della curva razionale normale V_{1,d}

· A differenza del caso affine, se V è una varietà proiettiva l’anello delle coordinate omogenee S(V) non è un invariante per classi di isomorfismo di varietà proiettive.

· Esempio: IP^1 e la conica (di Veronese) V_{1,2} sono isomorfe come varietà proiettive ma l’anello delle coordinate omogenee S(V_{1,2}) è isomorfo ad un sottoanello di S^{(1)}, con graduazione shiftata di 2.

Settimana 11

29 (2 ore) - 16/5/2025

[T] Par.  7.1 e 7.2 

· Prodotto di 2 spazi affini:

* è uno spazio affine. Anelli delle coordinate. Le proiezioni sui fattori sono morfismi di spazi affini

· Prodotto di 2 varietà affini

* è una varietà affine. Anello delle coordinate della varietà affine prodotto. Le proiezioni sui fattori del prodotto sono morfismi di varietà affini.

· Prodotto di due spazi proiettivi.

* Esempio espclicativo: IP^1 x IP^1 come quadrica S_{1,1} doppiamente rigata in IP^3. La carta affine di S_{1,1} in U_0 è il paraboloide a sella z=xy dello spazio affine.

* Immersione di Segre e Varietà di Segre S_{n,m}.

* Il prodotto di spazi proiettivi IP^n x IP^m eredita la struttura di varietà proiettiva di S_{n,m} visto che questa struttura di varietà proiettiva è compatibile, sugli aperti affini del ricoprimento affine naturale, con la struttura di prodotto data nel caso di prodotto di due varietà affini.

* Le proiezioni sui due fattori sono morfismi di varietà proiettive.

· Prodotto di 2 varietà proiettive

* è una varietà proiettiva. Le proiezioni sui due fattori sono morfismi.

· Prodotto di 2 varietà quasi-proiettive

* è una varietà quasi-proiettiva. Le proiezioni sui due fattori sono morfismi.

Settimana 12

30 (2 ore) -21/5/2025

[T] Par.  7.5, 8.1  

· Conseguenze di prodotti di varietà algebriche:

(i) Per ogni varietà algebrica V, la diagonale Diag(V) è chiusa in VxV.

(ii) ogni varietà algebrica V ha una base di aperti per la topologia Zar_V costituita da aperti affini.

(iii) Il prodotto cartesiano di morfismi è un morfismo

(iv) Per ogni morfismo f: V → W di varietà algebriche, il grafico del morfismo Gamma_f è un chiuso di VxW.

(v) Se due morfismi f, g : V → W coincidono su un aperto U di V allora coincidono su tutta la varietà V

Settimana 12

31 (2 ore) – 22/5/2025

[T] Par.  8.1, 8.2

· Applicazioni razionali tra varietà algebriche

· F:V- - -> W applicazione razionale di varietà algebriche: morfismi rappresentativi e relazioni di equivalenza

· U_F aperto di definizione di un’applicazione razionale F, i.e. F = (U_F, f), dove f morfismo rappresentativo di F su U_F.

· Un morfismo tra varietà algebriche individua un’applicazione razionale fra esse ma non è vero il viceversa.

· Applicazioni razionali dominanti: la composizione di due applicazioni razionali dominanti è ancora razionale dominante.

· funzione razionale non costante in K(V) come morfismo razionale dominante f:V- - -> A^1

· Esempio di applicazione razionale che si estende ad un morfismo globale: ogni applicazione razionale IP^1 ---→ IP^n si estende in modo unico ad un morfismo da IP^1 a IP^n.

· Esempio di applicazione razionale che non si può estendere ad un morfismo globale: la funzione razionale x_1/x_0 su IP^2 determina il morfismo proiezione da U_0 =A^2 ad A^1, che si estende al morfismo proiezione da IP^2 – {[0,0,1]} a IP^1 di centro il sottospazio lineare [0,0,1] e quindi ad un’applicazione razionale IP^2 - - > IP^1 non ulteriormente estendibile ad un morfismo.

· Applicazioni (od isomorfismi) birazionali di varietà algebriche.

· Classe di equivalenza birazionale di una data varietà algebrica.

· Modello birazionale per una classe di equivalenza birazionale.

· Corrispondenza biunivoca tra {applicazioni razionali dominanti tra V e W} e {monomorfismi di campi K(W) → K(V)}. In tale corrispondenza biunivoca le applicazioni birazionali di varietà algebriche vanno in isomorfismi di campi.

· Varietà razionali: varietà V che sono birazionalmente equivalenti a IP^n. In tal caso K(V) deve essere necessariamente un’estensione puramente trascendente di IK di grado n

Settimana 12

32 (2 ore) – 23/5/2025

[T] Cap. 8.2 e 9

· Conseguenze:

(i) V e W sono varietà algebriche birazionalmente equivalenti se e solo se K(V) e K(W) sono campi isomorfi;

(ii) ogni varietà algebrica V è birazionalmente equivalente ad un suo aperto non vuoto;

(iii) ogni varietà algebrica è birazionalmente equivalente ad una varietà affine ed ad una varietà proiettiva.

(iv) La retta affine, la retta proiettiva, l’ellisse, l’iperbole, la parabola, ogni conica proiettiva irriducibile, la cubica gobba affine, la cubica gobba proiettiva, ogni curva razionale normale, la parabola semicubica, la cubica piana nodale, sono tutte birazionalmente equivalenti fra loro. Ciascuna di esse è un modello della classe birazionale di [P^1]. Sono tutti esempi di curve razionali

(v) La cubica piana Z data da y^2 = x (x-1) (x-a), con a diverso da 0 e 1, non è razionale quindi non appartiene alla classe birazionale [A^1] (K(Z) era infatti un’estensione algebrica di grado 2 di IK(t)).

(vi) La quadrica proiettiva non singolare (o di rango 4) S_{1,1} in IP^3 (ottenuta come immersione di Segre di IP^1 x IP^1) è birazionalmente equivalente ma non isomorfa a IP^2. E’ una superficie razionale

(vii) La superficie di Veronese in IP^5 e’ isomorfa, e dunque anche birazionalmente equivalente, a IP^2. E’ una superficie razionale. Analogamente, tutto le varietà di Veronese V_{n,d} sono razionali

· Varietà complete.

· Le varietà affini non sono complete: esempi.

· Teorema fondamentale dell’eliminazione (o completezza delle varietà proiettive): le varietà proiettive sono complete.

· Conseguenze:

(i) l’immagine di una varietà proiettiva mediante un morfismo è sempre un chiuso della varietà target.

(ii) ogni morfismo dominante da una varietà proiettiva è sempre suriettivo

· Conseguenze: le curve razionali normali, le varietà di Segre, le varietà di Veronese, le immagini di sistemi lineari privi di punti base ecc…sono tutte automaticamente varietà proiettive.

Settimana 13

EXTRA A COMPLETAMENTO/MOTIVAZIONE

(2 ore) – 28/5/2025

[T] Par. 8.3 e 9  

· Utilizzo dei concetti di prodotti di varietà proiettive e della completezza delle varietà proiettive:

· Scoppiamento di IP^2 nel punto p_0 = [1,0,0] come sottovarietà chiusa di IP^2 x IP^{1}

· In opportune carte affini lo scoppiamento definisce un chiuso in A^3 che è il paraboloide a sella y = mx e la retta (0,0,m) fibra sull’origine (0,0) di A^2 è descritta dai coefficienti angolari m del fascio di rette in A^2 per l’origine. Lo scoppiamento di IP^2 è isomorfo alla varietà di Segre S_{1,1}

· Divisore eccezionale dello scoppiamento di IP^2 nel punto p_0 = [1,0,0] e significato geometrico

· Utilizzo geometrico dello scoppiamento: trasformata totale e trasformate stretta di curve irriducibili in IP^2 passanti per p_0

· Scioglimento della singolarità in (0,0) della curva affine parabola semicubica Z_a(y^2 - x^3) e della cubica nodale Z_a(x^3 + x^2 – y^2 ) in A^2: la trasformata stretta in A^3 delle curve singolari è in entrambi i casi una cubica gobba affine che, nel primo caso, incontra il divisore eccezionale nell’unico (0,0,0) punto mentre, nel secondo caso, nei due punti (0,0,1) e (0,0,-1).