Università
di Roma “Tor Vergata”
Laurea
Magistrale in Matematica
Corso:
“Geometria Algebrica
(Algebraic Geometry)”
II
Semestre: 04/03/2025 -
06/06/2025 (8 CFU)
Docente:
Prof. Flaminio Flamini
(flamini[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it)
*
Lezioni
(64 ore - 8 CFU - course
in English on demand)
Mercoledì
– aula 29A – 09:00-11:00
Giovedì
– aula 29A – 14:00-16:00
Venerdì
– aula 29A – 09:00 – 11:00
NOTA
BENE: se per qualche studente/essa interessato/a
dovessero esserci accavallamenti con altre discipline, il Docente è
disponibile a registrare sul canale TEAMS le lezioni in presenza
*
Canale TEAMS: Flamini-8065716_Geometria_Algebrica_1
Codice
TEAMS: 947tyjv
*
Ricevimento
(office hour) :
per
appuntamento richiesto via canale Teams per venire incontro alle
esigenze di impegni su altri corsi sia da parte degli studenti
che
del docente (fix meeting by Teams)
*
Programma
di Massima (Tentative Program)
Italiano:
Si tratta di un corso introduttivo
alla Geometria Algebrica,
basato sullo studio delle varietà
algebriche. Precisamente
il corso consiste dei seguenti argomenti di massima:
*
Premesse algebriche: anelli Noetheriani, nozioni di finitezza (Lemma
di Zariski), moduli e localizzazione. Anelli graduati ed ideali
omogenei. Prefasci e fasci su uno spazio topologico: spighe e sezioni
su aperti.
*
Spazio affine, insiemi algebrici affini e topologia di Zariski.
Corrispondenza chiusi affini ed ideali radicali. Hilbert
Nullstellensatz (Teorema degli zeri di Hilbert). Irriducibilità.
Varietà affini. Anello delle coordinate e campo delle funzioni
razionali di una varietà affine.
*
Spazio proiettivo. Insiemi algebrici proiettivi. Teorema degli zeri
proiettivo. Irriducibilità. Varietà proiettive e quasi-proiettive.
Anello delle coordinate omogenee, campo delle funzioni razionali di
una varietà proiettiva.
*
Varietà algebriche. Fascio strutturale di una varietà algebrica.
Funzioni regolari e razionali su (aperti di) una varietà algebrica.
*
Morfismi di varietà algebriche: target affine e target proiettivo.
Morfismo di Veronese. Morfismi dominanti. Applicazioni razionali e
birazionali. Sistemi lineari di ipersuperficie di uno spazio
proiettivo, proiezioni.
*
Prodotti di varietà algebriche. Varietà di Segre. Grafico di un
morfismo. Applicazioni: scoppiamenti e scioglimento di singolarità
di curve piane mediante scoppiamenti; completezza delle varietà
proiettive (o Teorema fondamentale dell’eliminazione).
SE
IL TEMPO LO PERMETTERA’, ANCHE QUALCUNO DEI SEGUENTI ARGOMENTI
*
Dimensione di una varietà algebrica.
*
Spazi tangenti e non-singolarita' di varietà affini e proiettive.
Spazio tangente di Zariski di una varietà algebrica.
*
Semicontinuità della dimensione delle fibre di un morfismo dominante
English:
The course gives an introduction to
Algebraic Geometry, related to algebraic varieties. More precisely
the course will consist of:
*
Algebraic preliminaries: Noetherian rings, Zariski’s lemma, modules
and localization. Graded rings and homogeneous ideals. Presheaves and
sheaves on a topological space: stalks and sections.
*
Affine space, affine algebraic sets and Zariski topology. Bijective
correspondence between close affine sets and radical ideals. Hilbert
Nullstellensatz. Irreducibility. Affine varieties.
Coordinate ring and field of rational functions of an affine variety.
*
Projective space. Projective algebraic sets. Homogeneous
Hilbert Nullstellensatz. Projective and quasi-projective
varieties. Ring of homogeneous coordinates and field of rational
functions of a projective variety.
*
Algebraic varieties. Structural sheaf of an algebraic variety.
Regular and rational functions of (open sets of) an algebraic
variety.
*
Morphisms of algebraic varieties: affine and projective targets.
Veronese morphism. Dominant morphisms. Rational and birational maps.
Examples: linear systems of hypersurfaces of a projective space,
projections.
*
Products of algebraic varieties. Segre variety. Graph of a morphism.
Consequences: blow-ups and resolution of singularities of plane
curves by blow-ups. Completeness of projective varieties.
IF
TIME PERMITS, WE COULD ADD SOME OF THE FOLLOWING TOPICS
*
Dimension of an algebraic variety.
*
Tangent spaces and non-singularity of affine and of projective
varieties. Zariski tangent space of an algebraic variety.
*
Semicontinuity of the fibre-dimension of a dominant morphism.
* Testo
di Riferimento (Bibliography)
“A
first course in Algebraic Geometry and Algebraic Varieties”,
by Flaminio Flamini, Essential
Textbooks
in Mathematics,
305 pp., 2023, ISBN 9781800612747, World Scientific Publishing
*
Descrizione delle modalità e dei criteri di verifica
dell’apprendimento
Italiano:
La
prova di esame consisterà in un'esposizione rigorosa dei contenuti
del corso, con eventuale discussione di esercizi dal testo, e sarà
valutata secondo i seguenti criteri:
Non
idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezza nella conoscenza e
comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e
sintesi, frequenti generalizzazioni.
18-20:
conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con
possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di
giudizio sufficienti.
21-23:
Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; capacità di
analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
24-26:
Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità
di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
27-29:
Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità
di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
30-30L:
Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti; notevoli
capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Argomentazioni espresse in modo originale.
English
The exam will consist in a rigorous exposition of the topics of the
course, with some exercises from the book, and it will be assessed
according to the following criteria:
Unsuitable:
major deficiencies and/or inaccuracy in knowledge and understanding
of the topics; limited capacity for analysis and synthesis, frequent
generalisations.
18-20:
barely sufficient knowledge and understanding of the topics with
possible imperfections; sufficient capacity for analysis, synthesis
and autonomy of judgement.
21-23:
Routine knowledge and understanding of the topics; ability to analyse
and synthesise correctly with coherent logical argumentation.
24-26:
Fair knowledge and understanding of the topics; good analytical and
synthetic skills with rigorously expressed arguments.
27-29:
Complete knowledge and understanding of the topics; considerable
capacity for analysis, synthesis. Good autonomy of judgement.
30-30L:
Excellent level of knowledge and understanding of topics;
considerable capacity for analysis and synthesis and independent
judgement. Arguments expressed with an original approach.
*Alcuni
links legati alla Geometria Algebrica:
·
Geometria
Algebrica
·
Algebraic
Geometry
·
G.
Castelnuovo
·
F. Enriques
·
G. Fano
·
A.
Grothendieck
·
D. Hilbert
·
E. Noether
·
M. Noether
·
C.
Segre
·
J.P.
Serre
·
F.
Severi
·
G.
Veronese
·
A.
Weil
·
O.
Zariski
o
1o
Appello:
18 Giugno
2025, ore: 14:00-17:00,
Studio Docente
o
2o
Appello:
02 Luglio 2025, ore: 10:00-13:00, Studio Docente
o
3o
Appello:
Settembre 2025, ???
o
4o Appello:
Settembre 2025,???
o
5o
Appello:
Febbraio 2026, ???
o
6o
Appello:
Febbraio 2026,???