Settimana (Week)

Lezione (Lecture)

Argomenti (Topics)

Settimana 1

1 (3 ore)- Martedì 5/3/2024

· Descrizione del corso e brevi cenni storici.

[T] Par. 2.1 e 1.1

· Spazio affine numerico A^n(IK) ed anello dei polinomi A^(n):= IK[x_1,…,x_n], su un campo IK.

· Insiemi algebrici affini (IAA) Z_a(I) in A^n(IK) ed ideali I dell’anello A^(n).

· Corrispondenza Ideali ed  IAA.

· Esempi di “non buona” corrispondenza tra IAA ed ideali sia per colpa del campo (non algebricamente chiuso, finito ed infinito) che per colpa degli ideali (non radicali).

· Ideali finitamente generati in A^(n)

· Richiami su anelli commutativi unitari noetheriani: Teorema della base di Hilbert (solo enunciato)

· Osservazioni: sottoanelli di anelli noetheriani non necessariamente sono noetheriani (esempi); quozienti di anelli noetheriani sono noetheriani.

· Formulazione equivalente di noetherianità per mezzo di catene ascendenti di ideali propri

· Prime corrispondenze tra IAA e ideali in A^(n) nel caso di IK qualsiasi campo.

· Ideali radicali. Un ideale primo (massimale) è radicale.

· m_b = (x_1-b_1,….,x_n-b_n) è ideale massimale in A^(n)  (IK qualsiasi campo).  Z_a (m_b) ={b} <  A^n(IK).

Settimana 1

2 (3 ore)- Giovedì 7/3/2024

[T] Par. 2.1

· IAA come “chiusi” di A^n(IK) rispetto alla topologia di Zariski Zar(a,n) sullo spazio affine A^n(IK).

· Prime proprietà della topologia Zar(a,n): soddisfa l’assioma T1

· Esempi: classificazione di tutti i chiusi propri di A^1(IK). Conseguenza: se IK è infinito,  Zar(a,1)  non è  T_2.

· Esempi geometrici di ideali con medesimo radicale e determinazione del chiuso di Zariski.

· Corrispondenza non iniettiva tra ideali e chiusi di Zariski.

· Ideali radicali ed anelli quozienti ridotti

· Un ideale massimale è radicale

· Un ideale primo è massimale

· Se IK non algebricamente chiuso (finito od infinito), la corrispondenza non è iniettiva nemmeno con ideali radicali. Esempi.

· Esempi: sottospazi affini in A^n(IK). L’ideale definito dalle equazioni del sottospazio affine è radicale perchè primo. Omeomorfismi nella topologia di Zariski

· Esempi: ipersuperfici algebriche in A^n(IK). Equazione ridotta di un’ipersuperficie algebrica.

· Se f è un polinomio irriducibile su IK, allora Z_a(f) è una ipersuperficie algebrica affine irriducibile.

· Componenti irriducibili di un’ipersuperficie di A^n(IK).  

· Aperti principali della topologia di Zariski di A^n(IK): gli aperti principali formano una base per la topologia di Zariski di A^n(IK).

Settimana 2

3 (3 ore) – Martedì 12/3/2024

[T] Par. 1.5 , 2.2, 2.3

· Enunciati di Hilbert Nullstellensatz forma debole (HNfd) e forma forte (Hnff) e loro significati geometrici.

· Controesempi di varia natura quando il campo IK è finito oppure non è algebricamente chiuso.

· Ideale I_a(Y) in A^(n) di un sottoinsieme qualsiasi Y di A^n(IK)  (IK qualsiasi campo). 

· Corrispondenza sottoinsiemi – ideali: corrispondenza non biunivoca.

· Chiusura (di Zariski) di un sottoinsieme Y in A^n(IK) nella topologia  Zar(a,n): Z_a(I_a(Y))

· Enunciati di Hilbert Nullstellensatz  forma forte (HNff) in termini di I_a (-)

· Conseguenza: se IK algebricamente chiuso si ha una corrispondenza 1-1 tra ideali radicali di A^(n) e chiusi di Zariski di A^n(IK). In questa corrispondenza 1-1, gli ideali massimali di A^(n) corrispondono ad i punti di A^n(IK) (conseguenza di Hnfd)

· Preliminari algebrici per la dimostrazione di (HNfd) e (HNff)

· A-moduli, morfismi di A-moduli, A-algebre, morfismi di A-algebre.

· Nozioni di finitezza: A-modulo finitamente generato = A-algebra finita, A-algebra di tipo finito, Ampliamento di campi finitamente generato.  Legami tra le tre nozioni

· Legami tra le tre nozioni nel caso di IK < L campi: L è IK-algebra finita à L è IK-algebra di tipo finito à IK<L ampliamento di campi f.g.  

· Le implicazioni in generale non si invertono: se x e’ indeterminata su IK, IK[x] è una IK-algebra di tipo finito che non è finita e IK(x) = Q(IK[x]) è un ampliamento di IK f.g.  che non è una IK-algebra di tipo finito.

· Rivisitazione del caso delle estensioni semplici di campi: caso trascendente e caso algebrico.

· Lemma di Zariski: (solo enunciato)

Settimana 2

4 (3 ore)- Giovedì 14/3/2024

[T] Par. 2.3 

· Dimostrazione di HNfd con l’utilizzo del Lemma di Zariski.

· Dimostrazione di HNff con l’utilizzo di HNfd.

· Conseguenza: se IK algebricamente chiuso, le applicazioni Z_a(-) ed I_a(-) inducono corrispondenze biunivoche tra ideali radicali di A^(n) e chiusi di Zariski di A^n(IK). Nella corrispondenza biunivoca, i punti di A^n(IK) sono in corrispondenza biunivoca con i massimali di A^(n). 

· La somma di ideali radicali non necessariamente è radicale.

· I_a(-) di una unione finita di chiusi e I_a(-) di una intersezione qualsiasi di chiusi.

· Per ogni sottoinsieme X di A^n(IK), I_a(X) = I_a(chiusura di X). 

· Se IK algebricamente chiuso, le applicazioni Z_a(-) ed I_a(-) inducono corrispondenze biunivoche tra ideali propri radicali principali di A^(n) ed ipersuperfici di A^n(IK). 

· Se IK algebricamente chiuso, le applicazioni Z_a(-) ed I_a(-) inducono corrispondenze biunivoche tra ideali primi principali di A^(n) e ipersuperfici algebriche irriducibili di A^n(IK). 

· Ipersuperfici di A^2(IK) = curve algebriche piane affini;

· Ipersuperfici algebriche irriducibili di A^2(IK) = curve piane algebriche affini irriducibili.  

· Se IK algebricamente chiuso, ogni curva algebrica irriducibile di A^2(IK) ha infiniti punti. Controesempi se IK infinito ma non algebricamente chiuso.

· I chiusi propri di A^2(IK) sono il vuoto, unioni finite di punti, unioni finite di curve algebriche irriducibili ed unioni finite di curve algebriche irriducibili e punti non appartenenti alle curve algebriche irriducibili.

· Principio di identità dei polinomi in A^(n). (solo enunciato)

Settimana 3

5 (3 ore) – Martedì 19/3/2024

[T] Par. 2.3., 1.3, 1.10 e 3.1

· Conseguenze del principio di identità dei polinomi:

(1) se se IK è infinito A^n(IK) è irriducibile

(2) se IK è infinito due aperti non vuoti di Zar(a,n) si intersecano sempre, equivalentemente ogni aperto non vuoto è denso in A^n(IK). 

(3) se IK è infinito ogni aperto non vuoto è denso in A^n(IK). 

(4) se IK è infinito ed U aperto non vuoto di A^n(IK), allora I_a(U) = I_a(A^n(IK)) = (0). 

· Richiami sulla costruzione di spazi proiettivi e sulle coordinate omogenee. 

·Preliminari algebrici su anelli graduati ed ideali omogenei

· Anello dei polinomi omogenei S^(n):=IK[x_0,…,x_n].

· S^(n)_d = componente omogenea di grado d (insieme con il polinomio nullo) è un IK-spazio vettoriale

· Formula binomiale per la dimensione su IK dello spazio vettoriale S^(n)_d (solo enunciato)

· Caratterizzazione dei polinomi omogenei ed identità di Eulero.

· Omogeneizzazione e de-omogeneizzazione di polinomi. Proprietà.

· Significati geometrici.

· Anello graduati. Elementi omogenei ed ideale irrilevante in un anello graduato. Ideali omogenei di un anello graduato.

· Caratterizzazione di ideali omogenei in termini dei suoi generatori. Somma, prodotto ed intersezione di ideali omogenei. Radicale di un ideale omogeneo.(solo enunciati)

· Zeri in P^n di un polinomio omogeneo.

· Insieme degli zeri di un polinomio omogeneo.

· Se IK è infinito, zeri in P^n di un polinomio e legame con gli zeri delle sue componenti omogenee.

· Insiemi algebrici proiettivi (IAP): sono della forma Z_p(I) con I Ideale omogeneo in S^(n).

Settimana 3

6 (3 ore)- Giovedì 21/3/2024

[T] Par. 3.1, 3.2 e 3.3  

· Ideali omogeneo I_p(X) in S^(n) di un sottoinsieme X di P^n.

· Proprietà di “reversing inclusion” come nel caso affine. Intersezioni e somme.

· Proprietà degli IAP come chiusi di una topologia su P^n = Zar(p,n) topologia di Zariski su P^n.

· Differenza sostanziale con il caso affine: l’ideale irrilevante è radicale ma Z_p(S_{+}) = Z_p((1)) = insieme vuoto in P^n.

· Hnfd in P^n: se IK è algebricamente chiuso ed I è un ideale proprio omogeneo in S^(n), allora Z_p(I) è vuoto se e solo se rad(I) = S_+.

· Cono affine C_a(X) in A^{n+1} di un sottoinsieme X di P^n.

· Hnff in P^n: se IK è algebricamente chiuso e Z_p(I) non vuoto, allora I_p(Z_p(I)) = rad(I).

· Differenza sostanziale tra A^n e P^n: I ideale radicale è t.c. Z_p(I) è un punto di P^n se e solo se I ideale primo non massimale dato da Ax= 0 con rg(A) = n;

· Corrispondenza tra chiusi di P^n ed ideali radicali omogenei di S^(n) è biunivoca solo se si esclude l’ideale irrilevante S_+.

· Analogie tra A^n e P^n:

(i)             Zar(p,n) è T_1;

(ii)           Zar(p,1) non è T_2;

(iii)         Sottospazi coordinati di P^n;

(iv)          Ipersuperfici di P^n.

· Sottospazi lineari di P^n e loro ideale omogeneo.

· Iperpiani di P^n e spazio proiettivo duale  (P^n)*

· Iperpiani fondamentali H_i = Z_p(x_i) ed aperti fondamentali U_i.

· Ricoprimento di P^n in aperti fondamentali, punti all’infinito di aperti fondamentali. P^n e’ unione disgiunta di uno spazio affine e di un iperpiano proiettivo identificabile con P^{n-1}.

· Ricoprimento in aperti Y_i di un chiuso Y di P^n.

· Chiuso Y_i in U_i individuato da un chiuso proiettivo Y di P^n. Esempi.

· Chiusura proiettiva di un chiuso affine Y= Z_a(J) in A^n = U_i ed ideale generato dagli omogeneizzati dei polinomi. Esempi e controesempi

· Gli aperti fondamentali U_i sono omemorfi (nella topologia di Zariski) a spazi affini A^n.

· Conseguenze: U_i si dicono carte affini di P^n

· P^n è ricopribile con n+1 aperti affini (o carte affini). Analogamente, per ogni chiuso proiettivo Y, gli Y_i = Y n U_i sono aperti affini di un ricoprimento aperto finito.

Settimana 4

7 (3 ore) – Martedì 26/3/2024

[T] Par. 3.3  

· Chiusura proiettiva di un chiuso affine e componenti all’infinito per la carta affine.

· Se IK algebricamente chiuso, l’unico chiuso affine irriducibile che è anche chiuso proiettivo è un punto.

· Se IK e’ infinito, la chiusura proiettiva di A^n è P^n

· Chiusi (localmente chiusi) di A^n sono localmente chiusi di P^n, chiusi di P^n individuano sempre chiusi di A^n.

· Sottospazi lineari di uno spazio proiettivo, intersezione di sottospazi lineari e sottospazio lineare congiungente di sottospazi.

· Formula di Grassmann proiettiva e conseguenze.

· Sottoinsiemi non-degeneri in P^n .

· Sottospazi lineari di P^n e sottospazi affini indotti nelle carte affini.

· Chiusura proiettiva di un sottospazio affine ed ideale omogeneo della chiusura proiettiva.

· Cono affine e cono proiettivo di un chiuso proiettivo: ideali associati.

· Chiusura proiettiva di una ipersuperficie algebrica di A^n ed ideale omogeneo associato. 

· Chiusura proiettiva di una curva algebrica di A^2 ed ideale omogeneo associato.

· Classificazione di tutti i chiusi propri di P^2

Settimana 4

8 (3 ore) – Giovedì 28/3/2024

[T] Par. 3.3  

· Curva razionale affine parametrizzata X= (t, f_2(t), …, f_n(t)), dove t parametro in IK e f_i polinomi non tutti costanti in A^(1). Ideale primo associato a X. 

· Applicazioni: cubica gobba affine C_a in A^3. L’ideale radicale I_a(C_a) della cubica gobba affine è generato da due quadriche.

· La cubica gobba proiettiva C_p come chiusura proiettiva di C_a in P^3.

· C_p = C_a unione {P}= Z_p(F_1, F_2, F_3), dove F_i sono 3 quadriche proiettive linearmente indipendenti in S^(3)_2

· C_p è intersezione insiemistica di una quadrica ed una cubica, ma solo come insieme algebrico (struttura NON-RIDOTTA in tutti i punti)

· I_p(C_p) è generato da tre quadriche, pertanto C_p non è intersezione completa in IP^3. (sketch dimostrazione)

Settimana 5

02/04/2024

NO LEZIONE DA CALENDARIO ACCADEMICO PER FESTIVITA’ PASQUALI

Settimana 5

9 (3 ore) - Giovedì 4/4/2024

[T] Par. 4.1, 4.2  

· Sottoinsiemi irriducibili di uno spazio topologico X. Esempi, contro-esempi e legami con la connessione.

· Criteri topologici di irriducibilità. Aperti densi. L’immagine continua di un irriducibile è irriducibile.

· Applicazioni ad IAA e IAP: P^n ed ogni suo aperto non vuoto sono irriducibili. A^n ed ogni suo aperto non vuoto sono irriducibili.

· Esempi di chiusi algebrici irriducibili: sottospazi affini, sottospazi lineari di P^n, la cubica gobba affine e proiettiva, ogni curva razionale affine parametrizzata X=  (t, f_2(t), …, f_n(t)),

· Se X è sottoinsieme di A^n irriducibile, U un aperto non vuoto di X, allora si ha un’uguaglianza di ideali:  I_a(U) = I_a(X) = I_a(X_a), dove X_a è la chiusura affine di X

· Se X sottoinsieme di P^n irriducibile, U un aperto non vuoto di X, allora si ha un’uguaglianza di ideali omogenei: I_p(U) = I_p(X) = I_p(X_p), dove X_p è  la chiusura proiettiva di X.

· A(X) = A(X_a) anello delle coordinate (affini) di X un sottoinsieme di A^n.

· S(X) = S(X_p) anello delle coordinate omogenee di X un sottoinsieme di P^n

· Criteri algebrici di irriducibilità in termini di I_a(X), equiv. di A(X) (corrispondentemente, in termini di I_p(X) e di S(X)). 

· Corrispondenza biunivoca tra IAA irriducibili ed ideali primi, equiv. tra IAP ed ideali primi omogenei di S^(n) –{ S_+}.

· Ipersuperfici irriducibili, componenti irriducibili di un’ipersuperficie. Chiusi propri irriducibili di A^2 e di P^2. 

· Un IAP X e’ irriducibile se e solo se il cono affine C(X)_a e’ irriducibile.

· Varietà affini, varietà quasi-affini, varietà proiettive e varietà quasi-proiettive.

· Ogni varietà quasi-proiettiva ammette un ricoprimento finito in varietà quasi-affini.

· La nozione più generale è quella di varietà quasi-proiettiva = Varietà ALGEBRICA.

· L’intersezione di due varietà algebriche non sempre è una varietà. Esempio: intersezione di due delle quadriche (irriducibili e determinantali) proiettive che contengono la cubica gobba proiettiva.

· Spazi topologici noetheriani.

· Y sottoinsieme di X spazio topologico noetheriano è noetheriano.

· Noetherianità e compattezza.

· Conseguenze: A^n e P^n sono noetheriani (la noetherianità topologica discende dalla noetherianità algebrica via il Teorema della base di Hilbert e reversing-inclusion)

· Ogni varietà algebrica è noetheriana.

Settimana 6

10 (3 ore) - Martedì 9/4/2024

[T] Par. 4.2, 5.2, 5.3   

· Noetherianità ed irriducibilità: ogni chiuso Y di uno spazio topologico noetheriano X si scrive in modo unico irridondante ed a meno dell’ordine in una unione di suoi chiusi propri irriducibili. I chiusi propri irriducibili di questa decomposizione irridondante sono detti COMPONENTI IRRIDUCIBILI di Y.

· Ogni localmente chiuso di Zariski è unione finita di varietà algebriche che costituiscono le sue componenti irriducibili

· Funzioni regolari e razionali su A^n. Aperti di definizione.

· Campo delle funzioni razionali omogenee di grado zero come campo di funzioni razionali su IP^n.

· Aperti di definizione.

· Funzioni regolari in un punto P di una varietà algebrica X: definizione locale ed aperta.

· Asserzione equivalente nel caso di una varietà quasi-affine.

· Aperto di definizione di una funzione regolare su una varietà algebrica X

· Esempio in cui l’aperto di definizione di una funzione razionale è strettamente contenuto in X: la quadrica proiettiva x_0 x_3 – x_1 x_2 = 0

· Se X è una varietà affine, allora l’anello delle coordinate affini A(X) fornisce esempi di funzioni regolari su tutta la varietà affine X.

· IK-algebra O_X(U) di funzioni regolari su un aperto U di una varietà algebrica X.

· Le restrizioni come morfismi di IK-algebre

· Gli elementi in O_X(X) sono le funzioni regolari su tutta la varietà X.

· Luogo di zeri di una funzione regolare su una varietà algebrica X.

Settimana 6

11 (3 ore) – Giovedì 10/4/2024

[T] Par. 1.11, 5.1, 5.2 e 5.3   

· Ogni funzione regolare su X varietà algebrica è un’applicazione continua, se IK si identifica con A^1 dotato della topologia Zar(a,1)

· Se f e g sono funzioni regolari su X varietà algebrica che coincidono su un aperto U di X, allora coincidono su tutta la varietà X.

· Funzioni razionali su una varietà algebrica X.

· K(X) è il campo delle funzioni razionali su X, ed è un ampliamento di campi del campo base IK

· Per ogni aperto U di X, O_X(U) è una IK-algebra integra contenuta in K(X).

· Se U < V sono due aperti di X, l’omomorfismo di restrizione tra IK-algebre O_X(V) → O_X(U) è iniettivo.

· Per ogni aperto non vuoto U di X si hanno le inclusioni di IK-algebre O_X(X) < O_X(U) < K(X).

· Aperto di definizione di una funzione razionale su una varietà X.

· Preliminari algebrici su pre-fasci e fasci con struttura su uno spazio topologico

· Pre-fasci di gruppi abeliani (o di anelli, o di IK-algebre ecc) su uno spazio topologico X.

· Sezioni di un pre-fascio sopra un aperto U di X, morfismi di restrizioni e sezioni globali di un pre-fascio.

· Pre-fascio su X come funtore controvariante da Top(X) ad Abel (o a Ring, o a IK-alg)

· Condizioni su un pre-fascio affinchè sia un fascio.

· Esempi di pre-fasci su spazi topologici che non sono fasci.

· Spiga di un fascio in un punto: germi di sezioni.

· Conseguenza: O_X è un fascio di IK-algebre integre su X, detto fascio strutturale della varietà algebrica X.

· Spiga O_{X,p} per un punto p di X. I suoi elementi si chiamano germi di funzioni regolari nel punto p.

Settimana 7

12 (3 ore) - Martedì 16/4/2024

[T] Par. 1.11, 5.3   

· Sottovarietà algebrica W di una varietà algebrica X: O_{X,W} anello delle funzioni razionali definite in W.

· Per ogni sottovarietà algebrica W di X si ha O_X(X) < O_{X,W} < K(X).

· m_{X,W} < O_{X,W} ideale delle funzioni localmente nulle su W.

· Richiami algebrici su anelli locali (A,m) anello locale.

· Caratterizzazione in termini di invertibili in A.

· Campo residuo A/m di un anello locale.

· (O_{X,W}, m_{X,W}) è un anello locale il cui campo residuo è isomorfo al campo K(W) delle funzioni razionali di W.

· Ideale I_U(W) di una sottovarietà W di X in un aperto U di X che interseca W.

· Se U è aperto di X, K(U) è isomorfo a K(X).

·Richiami algebrici su localizzazione:

· S sistema moltiplicativo in dominio di integrità A.

· Relazione di equivalenza su AxS. L’anello quoziente è A_S, l’anello localizzato di A rispetto a S.

· Il morfismo di localizzazione A → A_S è iniettivo e per ogni S sistema moltiplicativo si hanno inclusioni A < A_S < Q(A).

· Localizzazione omogenea di un dominio di integrità graduato A rispetto ad un sistema moltiplicativo S.

· Se p è un ideale primo di A, S:= A – p è sistema moltiplicativo in A;

· La localizzazione A_S in tal caso si denota con A_p e l’ideale esteso p con pA_p che risulta essere è un ideale massimale di A_p.

· (A_p , pA_p ) è un anello locale di campo residuo isomorfo a Q(A/ p).

· Se A è un anello graduato, la sua localizzazione omogenea (A_(p) , pA_(p) ) è un anello locale graduato di campo residuo isomorfo a Q_0(A/p) sottocampo delle frazioni di grado 0 in Q(A/p).

· Localizzazione A_(0) e localizzazione omogenea A_((0)).

· Se f in A è un elemento non-nilpotente: localizzazione A_f. Se A è anello graduato, localizzazione omogenea A_([f]).

· Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali (PER ORA SOLO ENUNCIATO. DIMOSTRAZIONE NELLA LEZIONE SUCCESSIVA)

(i) Se X è una varietà affine, allora:

• O_X(X) = A(X);

• tutti e soli gli ideali primi di A(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_a(W)/I_a(X). In particolare I_X(W) è massimale se e solo se W= P punto di X;

• l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato di A(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

• K(X) = Q(A(X)) = A(X)_(0);

• per ogni sottovarietà W di X, K(W) è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione di A(X) rispetto all’ideale primo I_W(X).

(ii) Se X è una varietà proiettiva, allora:

• O_X(X) = IK.

• tutti e soli gli ideali primi omogenei (tranne l’irrilevante) di S(X) sono ideali I_X(W) < O_X(X) corrispondenti a sottovarietà W < X, con I_X(W)=I_p(W)/I_p(X);

• l’anello locale (O_{X,W}, m_{X,W}) è isomorfo al localizzato omogeneo di S(X) rispetto al sistema moltiplicativo definito dall’ideale primo I_W(X);

• K(X) = S (X)_((0));

• per ogni sottovarietà W di X, K(W) è il campo residuo dell’anello locale ottenuto per localizzazione omogenea di S(X) rispetto all’ideale primo I_W(X).

Settimana 7

13 (3 ore) - Giovedì 18/4/2024

[T] Par.  1.6, 5.3  

· Dimostrazione del Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali: CASO AFFINE

· Dimostrazione del Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali: lemmi preliminari per il CASO PROIETTIVO

Settimana 8

14 (3 ore) – Martedì 23/4/2024

[T] Par.  1.6, 5.3  

· Richiami algebrici su dipendenza integrale Dipendenza integrale ed A-moduli f.g.

· Dimostrazione del Teorema fondamentale delle funzioni regolari e razionali: fine del CASO PROIETTIVO

· Varie conseguenze del teorema fondamentale:

(i) se X = P è un punto O_P(P) = K(p) = IK;

(ii) O_{A^n}(A^n) =A^(n), mentre O_{P^n}(P^n) =IK ma invece K(A^n) = K(P^n) = K(x_1,….,x_n).

(iii) calcolo “a mano” che O_{P^1}(P^1) =IK

(iv) Sia X una varietà affine e X è la sua chiusura proiettiva: se q è un punto di X, allora si ha O_{X,q} = O_{X,q}.

(v) Esempio: Calcolo di O_X(X) e di K(X) per X la parabola Z_a(y – x^2): si ha O_X(X)= A(A^1) e K(X) = K(A^1) = IK(x), quindi K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: la parametrizzazione f: A^1 ----> X, t → (t, t^2), con inversa la mappa di proiezione p_1 da X su A^1 (proiezione sulla prima coordinata) si estende ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 e’ la proiezione dall’unico punto all’infinito della conica proiettiva X.

(vi) Esempio: X iperbole Z_a(xy-1) in A^2: si ha A(X) = A^(1)_x mentre A(A^1) = A^(1). Se W e’ la sottovarietà quasi-affine A^1 – {0} di A^1, allora A(A^1) <O_W(W) = A(X). Tuttavia K(X) = K(A^1) = K(W) = K(P^1) = IK(x). Si ha che K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: la parametrizzazione data da f: W → X, definita da t → (t ,1/t), con inversa la mappa di proiezione p_1 da X su W (proiezione sulla prima coordinata) si estende ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 è la proiezione da uno dei due punti all’infinito della conica X.

Settimana 8

NO LEZIONE – Giovedì 25/4/2024

FESTIVITA’ 25 APRILE

Settimana 9

15 (3 ore) – Martedì 30/4/2024

T] Par.  5.3  

· Varie conseguenze del teorema fondamentale:

(i) Esempio: Calcolo esplicito di O_X(X) = A(X), di O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e di di K(X) per la varietà affine X parabola X = Z_a(y – x^2) in A^2: si ha O_X(X)= A(X) = A(A^1) e K(X) = K(A^1) = K(IP^1)= IK(x), quindi K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: la parametrizzazione f: A^1 ----> X, t → (t, t^2), con inversa la mappa di proiezione p_1 da X su A^1 (proiezione sulla prima coordinata) si estende ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 e’ la proiezione dall’unico punto all’infinito della conica proiettiva X.

(ii) Esempio: Calcolo esplicito di O_X(X) = A(X) di O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e di K(X) per la varietà affine X iperbole X = Z_a(xy-1) in A^2: si ha O_X(X) = A(X) = A^(1)_x che contiene strettamente A(A^1) = A^(1). Se W e’ la sottovarietà quasi-affine A^1 – {0} di A^1, allora A(A^1) <O_W(W) = A(X). Tuttavia K(X) = K(A^1) = K(W) = K(IP^1) = IK(x). Si ha che K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: la parametrizzazione data da f: W → X, definita da t → (t ,1/t), con inversa la mappa di proiezione p_1 da X su W (proiezione sulla prima coordinata) si estende ad una mappa da P^1 alla chiusura proiettiva in P^2 di X (mappa con polinomi omogenei in 2 indeterminate). La mappa di proiezione p_1 è la proiezione da uno dei due punti all’infinito della conica X. A meno di una proiettività di tutto IP^2, abbiamo la stessa conica proiettiva: determinazione della proiettività esplicita

(iii) Esempio: Calcolo esplicito di O_X(X) = A(X) di O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e di K(X) per la varietà affine X ellisse X = Z_a(x^2+y^2-1) in A^2(C): si ha O_X(X) = A(X) contiene strettamente A(A^1) = A^(1). Se W e’ la sottovarietà quasi-affine A^1 – {0} di A^1, allora A(A^1) <O_W(W) = A(X). Tuttavia K(X) = K(A^1) = K(W) = K(IP^1) = IK(x). Si ha che K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: la parametrizzazione data da f: W → X definita dalle rette parallele x-iy =t, con t non nullo, ha come inversa la proiezione parallela definita da questo fascio dirette da X sul dominio W del parametro t, e tale proiezione si estende ad una mappa da IP^1 alla chiusura proiettiva in IP^2 di X . La mappa di proiezione è la proiezione da uno dei due punti (punti ciclici) all’infinito dell’ellisse. A meno di una proiettività di tutto IP^2, abbiamo la stessa conica proiettiva ottenuta con chiusura proiettiva di parabola e di iperbole: determinazione della proiettività esplicita.

(iv) Modello topologico (nella topologia euclidea su C) della chiusura proiettiva di ellisse, iperbole e parabola: sfera di Riemann

(v) Esempio: Calcolo esplicito di O_X(X) = A(X) di O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e di K(X) per la varietà affine X data dalla parabola semicubica (detta anche cubica piana cuspidale) X = Z_a (y^2 – x^3). X è singolare in O=(0,0) dove presenta una cuspide. Si ha O_X(X) = A(X) = IK[t^2,t^3] < IK[t] = A( A^1) però K(X) = K(A^1) = K(P^1) = IK(t). Quindi K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Motivazioni geometriche: i punti di X sono in corrispondenza 1-1 con la retta affine parametrizzante ii coefficienti angolari del rette del fascio a centro per O, y = tx, dove la retta y=0 corrisponde alla tangente principale nel punto singolare O= (0,0) alla curva X

Settimana 9

16 (3 ore) – Giovedì 2/5/2024

[T] Par.  5.3 e 6.1

· Varie conseguenze del teorema fondamentale:

(i) Se X è varietà affine, allora X = Specm (A(X)), i.e. A(X) determina totalmente (X, O_X) come spazio localmente anellato

(ii) Per ogni varietà algebrica X, il campo delle funzioni razionali K(X) è un ampliamento f.g. di IK.

(iii) Esempio: Calcolo esplicito di O_X(X) = A(X) di O_X,P, dove P un qualsiasi punto di X, e di K(X) per la varietà affine X = Z_a (y^2 - x(x-1) (x-a)). Se a = 0, 1, è cubica piana nodale e K(X) = K(A^1) = K(IP^1) = IK(x), i.e. K(X) è un’estensione puramente trascendente di IK. Invece, con a diverso da 0 e 1, X è cubica piana non-singolare e K(X) è un’estensione mista di IK, cioè K(X) è un’estensione algebrica quadratica di IK(x). Modello topologico (nella topologia euclidea su C) della chiusura proiettiva: toro complesso

· Morfismi di varietà algebriche.

· Isomorfismi ed automorfismi di varietà algebriche.

· Morfismi di varietà algebriche e morfismi di algebre delle funzioni regolari su aperti.

· Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora O_V(V) e O_W(W) sono isomorfe come IK-algebre integre.

· Esempi: parabola ed A^1. Controesempi: iperbole ed A^1, ellisse ed A^1.

· Morfismi dominanti di varietà algebriche e morfismi tra campi delle funzioni razionali.

· Conseguenza: se V e W sono varietà algebriche isomorfe, allora K(V) e K(W) sono campi isomorfi. Non vale il viceversa: iperbole ed A^1, ellisse ed A^1.

Settimana 10

17 (3 ore) – Martedì 7/5/2024

[T] Par.  6.1 e 6.2  

· Funzioni regolari su varietà algebrica V come morfismi da V ad A^1: O_V(V) = Morph(V, A^1)

· Immersioni chiuse, aperte e localmente chiuse di una sottovarietà W in una varietà V come morfismi da W a V

· Luogo di zeri di un morfismo da V ad A^n.

· Criteri per stabilire se un’applicazione insiemistica V→ W, con target W una varietà quasi-affine in A^n, sia un morfismo di varietà algebriche

· Mappe polinomiali tra A^n ed A^m.

· Corrispondenza biunivoca tra n-uple di funzioni regolari su una varietà algebrica V e morfismi da V ad A^n.

· Morfismi/Isomorfismi tra varietà affini.

· Conseguenze ed esempi:

(i) Morfismo di proiezione p_I :A^n → A^m sulle coordinate individuate dall’insieme I sottoinsieme di cardinalità m di {1,2, …., n}.

(ii) La parabola è isomorfa ad A^1. L’iperbole e l’ellisse sono isomorfe ad A^1\{0}.

(iii) Se f è un isomorfismo di varietà algebriche allora f è anche omeomorfismo di spazi topologici irriducibili e noetheriani.

(iv) Non è vero il viceversa di (iii): la parabola semicubica y^2 = x^3 ed A^1 sono omeomorfi ma non isomorfi come varietà algebriche.

(v) L’immagine di un morfismo di una varietà quasi-proiettiva in generale non è né aperta né chiusa. Insiemi costruibili. Esempi

· Se V è una varietà algebrica e W è una varietà affine, allora Morph(V,W) corrisponde biunivocamente a Hom_{IK}(A(W), O_V(V)).

Settimana 10

18 (3 ore) – Giovedì 9/5/2024

[T] Par.  6.3 e 6.4  

· Ricostruzione di un morfismo di varietà affini da un omomorfismo di IK-algebre.

· Se V e W varietà affini, allora V è isomorfa a W se e solo se A(V) è isomorfa come IK-algebra integra ad A(W). (Equivalenza di categorie)

· Se V e W varietà affini allora f :V → W è un morfismo dominante se e solo se f^# :A(W) → A(V) e’ omomorfismo iniettivo di IK-algebre integre.

· Controesempi alla ricostruzione di morfismi quando le varietà non sono affini: A^2-{(0,0)}.

· Conseguenze ed esempi:

(i) Se V è una varietà affine isomorfa ad una varietà proiettiva, allora V è un punto.

(ii) Ogni morfismo da una varietà proiettiva ad una varietà (quasi) affine è un morfismo costante.

(iii) Gli aperti fondamentali U_i di IP^n non sono solo omeomorfi ad A^n ma sono più precisamente isomorfi ad A^n.

· Definizione generale di varietà affine astratta e di aperto affine di una varietà algebrica.

· Conseguenze ed esempi:

(i) IP^n ha un ricoprimento finito in aperti affini.

(ii) A^2-{(0,0)} è un aperto di A^2 che non è un aperto affine. Esistenza di varietà quasi-affini che non sono affini.

(iii) Per ogni ipersuperficie Z < A^n , l’aperto W:=A^n \ Z è un aperto affine di A^n isomorfo all’ipersuperficie irriducibile Z_a(x_{n+1} f- 1) di A^{n+1}.

(iv) A differenza di A^2-{(0,0)}, ogni aperto principale di A^n è un aperto affine

· Se W varietà proiettiva, O_W(W) non può essere utilizzato per costruire morfismi non costanti né come invariante per classi di isomorfismo di varietà proiettive (differenza dal caso affine)

Settimana 11

19 (3 ore) – Martedì 14/5/2024

[T] Par.  6.3, 6.4 e 7.1 

· Criteri per stabilire se un’applicazione insiemistica V→ W, con V e W varietà localmente chiuse in spazi proiettivi sia un morfismo di varietà algebriche

· Morfismi f da aperti di IP^n definiti per mezzo di polinomi omogenei F_0,…F_r in S^{(n)}_d.

· Im(f) è non-degenere in IP^n se e solo se F_0, …F_r linearmente indipendenti.

· Luogo di non definizione di f ed aperto di definizione di f.

· Corrispondenza 1-1 tra sezioni iperpiane dell’immagine Im(f) ed ipersuperfici di grado d in IP^n.

· Sistemi lineari di ipersuperfici proiettive di grado d e dimensione r.

· Luogo base di un sistema lineare di ipersuperfici.

· Esempi: conica proiettiva in IP^2 come immagine di IP^1 via la base canonica di (S^{(1)})_2: è un isomorfismo sull’immagine; corrispondenza sezioni iperpiane (cioè rettilinee) della conica e coppie di punti su IP^1.

· Esempi: Cubica gobba proiettiva in IP^3 come immagine di IP^1 via la base canonica di (S^{(1)})_3. E’ un isomorfismo sull’immagine.

· Morfismo da IP^n caso dei polinomi F_i lineari. Se r = n, il morfismo f corrispondente è una proiettività di IP^n, quindi ad un suo automorfismo. Se invece r < n, f e’ definito sul complementare di un sottospazio lineare L di IP^n. Identificazione del morfismo f con una proiettività degenere, i.e. con la proiezione da IP^n di centro L su un qualsiasi sottospazio di IP^n, sghembo ad L, ed isomorfo a IP^r.

· Costruzione geometrica della proiezione di IP^n di centro L su un IP^r.

· Morfismo di Veronese di indici n e d. Varietà di Veronese V_{n,d} in IP^{N(n,d)}.

· V_{1,d} è la curva razionale normale: è una varietà proiettiva, non-degenere in IP^d ed isomorfa a IP^1. Grado di V_{1,d} e sue sezioni iperpiane. 

· V_{2,2} è la Superficie di Veronese. E’ una superficie isomorfa a IP^2 e non degenere in IP^5; il suo grado è 4.

· Sottosistemi lineari del sistema completo delle ipersuperfici di grado d di IP^1 e proiezioni interne della curva razionale normale V_{1,d}

· Ulteriori utilizzi del morfismo di Veronese: se W è un’ipersuperficie di IP^n di grado d, allora IP^n – W e’ una varietà affine.

· IP^2 – {[1,0.0]} è varietà quasi-proiettiva ma non è né proiettiva, né affine, né quasi-affine.

· A differenza del caso affine, se V è una varietà proiettiva l’anello delle coordinate omogenee S(V) non è un invariante per classi di isomorfismo.

· Esempio: IP^1 e la conica di Veronese V_{1,2} sono isomorfe ma l’anello delle coordinate omogenee S(V_{1,2}) è isomorfo ad un sottoanello di S^{(1)}, con graduazione shiftata di 2.

· Se però V e W sono varietà proiettivamente equivalenti in IP^n, allora S(V) è isomorfo a S(W).

Settimana 11

20 (3 ore) - Giovedì 16/5/2024

[T] Par.  7.1, 7.2, 7.3  

· Il prodotto di 2 varietà affini è una varietà affine.

· Le proiezioni sui fattori del prodotto sono morfismi di varietà affini.

· Anello delle coordinate della varietà affine prodotto

· Immersione di Segre e varietà di Segre S_{n,m}.

· Proprietà generale: ogni varietà algebrica V ha una base di aperti per la topologia Zar_V costituita da aperti affini. (per ora solo enunciato)

· Proprietà locali di morfismi

· Il prodotto IP^n x IP^m eredita la struttura di varietà proiettiva di S_{n,m} visto che questa struttura di varietà proiettiva è compatibile, sugli aperti affini del ricoprimento affine naturale, con la struttura di prodotto data nel caso di prodotto di due varietà affini.

· IP^1 x IP^1 come quadrica S_{1,1} doppiamente rigata in IP^3. La carta affine di S_{1,1} in U_0 è il paraboloide a sella z=xy dello spazio affine.

· Le proiezioni sui due fattori sono morfismi.

Settimana 12

20 (3 ore) - Martedì 21/5/2024

[T] Par.  7.4, 7.5 e 8.1  

· Prodotto Vx W di due varietà proiettive V e W. Le proiezioni sui due fattori sono morfismi.

· Prodotto Vx W di due varietà quasi-proiettive V e W. Le proiezioni sui due fattori sono morfismi.

· Per ogni varietà algebrica V, la diagonale Diag(V) è chiusa in VxV.

· Proprietà generale: ogni varietà algebrica V ha una base di aperti per la topologia Zar_V costituita da aperti affini.(dimostrazione)

· Per ogni morfismo f: V → W di varietà algebriche, il grafico del morfismo Gamma_f è un chiuso di VxW.

· F:V- - -> W applicazione razionale di varietà algebriche: U_F aperto di definizione di F, i.e. F = (U_F, f), dove f morfismo rappresentativo di F su U_F.

· Un morfismo è un’applicazione razionale ma non è vero il viceversa.

· Applicazioni razionali dominanti: la composizione di due applicazioni razionali dominanti è ancora razionale dominante.

· Applicazioni birazionali di varietà algebriche.

· Classe di equivalenza birazionale di una data varietà algebrica. Modello per una classe di equivalenza birazionale.

· Varietà razionali: varietà V birazionalmente equivalenti a IP^n, con n = dim(V). In tal caso K(V) deve essere un’estensione puramente trascendente di IK di grado n

· Esempi: la retta affine, la retta proiettiva, l’ellisse, l’iperbole, la parabola, ogni conica proiettiva irriducibile, la cubica gobba affine, la cubica gobba proiettiva, ogni curva razionale normale, la parabola semicubica, la cubica piana nodale, sono tutte birazionalmente equivalenti fra loro. Ciascuno è un modello della classe birazionale di [P^1]. Sono tutti esempi di curve razionali

· Esempi: la cubica piana Z data da y^2 = x (x-1) (x-a), con a diverso da 0 e 1, non è razionale quindi non appartiene alla classe birazionale [A^1] (K(Z) era infatti un’estensione algebrica di grado 2 di IK(t)).

· Esempi: La quadrica proiettiva non singolare S_{1,1} in IP^3 (ottenuta come immersione di Segre di IP^1 x IP^1) è birazionalmente equivalente ma non isomorfa a IP^2. E’ una superficie razionale

· Esempi: La superficie di Veronese in IP^5 e’ isomorfa, e dunque anche birazionalemnte equivalente, a IP^2. E’ una superficie razionale

Settimana 12

21 (3 ore) – Giovedì 23/5/2024

[T] Par.  8.2, 8.3, Cap. 9  

· Corrispondenza biunivoca tra {applicazioni razionali dominanti tra V e W} e {monomorfismi di campi K(W) → K(V)}. In tale corrispondenza le applicazioni birazionali di varietà algebriche vanno in isomorfismi di campi.

· Conseguenze:

(i) V e W sono varietà algebriche birazionalmente equivalenti se e solo se K(V) e K(W) sono campi isomorfi;

(ii) due varietà algebriche V e W sono birazionalmente equivalenti se e solo se esistono U_V e U_W aperti, rispettivamente, di V e di W che sono isomorfi;

(iii) ogni varietà algebrica V è birazionalmente equivalente ad un suo aperto non vuoto;

(iv) ogni varietà algebrica è birazionalmente equivalente ad una varietà affine ed ad una varietà proiettiva.

· Esempi in cui questa corrispondenza non si inverte: la funzione razionale x_1/x_0 su IP^2 determina il morfismo proiezione da U_0 =A^2 ad A^1, che si estende al morfismo proiezione da IP^2 – {[0,0,1]} a IP^1 di centro il sottospazio lineare [0,0,1] e quindi ad un’applicazione razionale IP^2 - - > IP^1 non ulteriormente estendibile ad un morfismo.

· Esempi in cui la corrispondenza si inverte: ogni applicazione razionale IP^1 ----→ IP^n si estende invece in modo unico ad un morfismo da IP^1 a IP^n.

· Conseguenze: curve razionali normali sono automaticamente isomorfe a IP^1

· Varietà complete.

· Le varietà affini non sono complete: esempio.

· Teorema fondamentale dell’eliminazione: le varietà proiettive sono complete.

· Conseguenze:

(i) l’immagine di una varietà proiettiva mediante un morfismo è sempre un chiuso della varietà target.

(ii) ogni morfismo dominante da una varietà proiettiva è sempre suriettivo

· Conseguenze: le curve razionali normali, le varietà di Segre, le varietà di Veronese, le immagini di sistemi lineari privi di punti base ecc…sono tutte automaticamente varietà proiettive.

Settimana 13

22 (3 ore) – Martedì 28/5/2024

[T] Par. 8.3 e Cap.  9   

· Utilizzo di prodotti di varietà proiettive e della loro completezza:

· Scoppiamento di IP^n nel punto P_0 = [1,0,…,0] come sottovarietà chiusa di IP^n x IP^{n-1}

· Conti espliciti per lo scoppiamento di IP^2: in opportune carte affini lo scoppiamento è in A^3 il paraboloide a sella y = mx e la retta (0,0,m) fibra sull’origine (0,0) di A^2 è descritta dai coefficienti angolari m del fascio di rette in A^2 per l’origine. Lo scoppiamento di IP^2 è isomorfo alla varietà di Segre S_{1,1}

· Divisore eccezionale dello scoppiamento: significato geometrico del divisore eccezionale come spazio di parametri della famiglia delle rette di IP^n uscenti da P_0.

· Utilizzo geometrico dello scoppiamento: trasformate strette di sottovarietà di IP^n passanti per P_0

· Utilizzo di scoppiamento: scioglimento della singolarità in (0,0) della parabola semicubica x^2 = y^3 in A^2 e della cubica nodale x^3 + x^2 – y^2 = 0 in A^2. La trasformata stretta in A^3 è in entrambi i casi una cubica gobba affine che, nel primo caso, incontra il divisore eccezionale nell’unico (0,0,0) punto mentre, nel secondo caso, nei due punti (0,0,1) e (0,0,-1).