Università di Roma “Tor Vergata”

Corso di Laurea Magistrale in Matematica

Geometria Algebrica (Algebraic Geometry)

II Semestre 04/03/2024 - 07/06/2024 (8 CFU)

Docente Prof. Flaminio Flamini (flamini[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it)



* Lezioni (64 ore- 2CFU - course in English on demand)
Su richiesta degli studenti interessati, il corso si svolge nelle seguenti modalità:

Martedì – aula 29 A – 14:00-17:00

Giovedì – aula A0– 10:00-13:00 (con registrazione su canale Teams)

* Canale Teams Flamini-8065716_Geometria_Algebrica

codice del team: 8nfvev0

collegamento al team : https://teams.microsoft.com/l/team/19%3AYJoY-Cdclkydg3rMngWg_MYIgD6z_klIPaFsYE8mUr81%40thread.tacv2/conversations?groupId=ce357967-51ef-47ea-a70b-b5a4cfba133b&tenantId=24c5be2a-d764-40c5-9975-82d08ae47d0e



* Ricevimento (office hour) : per appuntamento su canale Teams per venire incontro alle esigenze su altri corsi sia degli student che del docente (fix meeting by Teams)



* Programma di Massima (Tentative Program)  

Italiano: Si tratta di un corso introduttivo alla Geometria Algebrica, basato sullo studio delle varietà algebriche. Precisamente il corso consiste di:

* Premesse algebriche: anelli noetheriani, estensione di campi, moduli e localizzazione. Anelli ed ideali omogenei. Prefasci e fasci su uno spazio topologico.

* Spazio affine. Insiemi algebrici affini e topologia di Zariski. Ideali radicali. Hilbert Nullstellensatz (Teorema degli zeri di Hilbert). Irriducibilità. Varietà affini. Anello delle coordinate e campo delle funzioni razionali di una varietà affine

* Spazio proiettivo. Insiemi algebrici proiettivi. Teorema degli zeri proiettivo. Varietà proiettive e quasi-proiettive. Anello delle coordinate omogenee, campo delle funzioni razionali.

* Varietà algebriche. Fascio strutturale di una varietà algebrica. Morfismi di varietà algebriche. Morfismo di Veronese. Morfismi dominanti. Applicazioni razionali e birazionali. Esempi: sistemi lineari di ipersuperficie di uno spazio proiettivo, proiezioni, scoppiamenti. Scioglimento di singolarità di curve piane mediante scoppiamenti.

* Prodotti di varietà algebriche. Varietà di Segre. Grafico di un morfismo.

* Completezza delle varietà proiettive.

SE IL TEMPO LO PERMETTERA ANCHE QUALCUNO DEI SEGUENTI ARGOMENTI

* Dimensione di una varietà algebrica.

* Spazi tangenti e non-singolarita' di varietà affini e proiettive. Spazio tangente di Zariski di una varietà algebrica. 

* Semicontinuità della dimensione delle fibre di un morfismo dominante



English: The course gives an introduction to Algebraic Geometry, related to algebraic varieties. More precisely the course will consist of:

* Algebraic preliminaries: Noetherian rings, field  extensions, modules and localization. Homogenoeus rings and ideals. Presheaves and sheaves on a topological space.

* Affine space. Affine algebraic sets and Zariski topology. Radical ideals. Hilbert Nullstellensatz. Irreducibility.  Affine varieties. Coordinate ring and field of rational functions of an affine variety.

* Projective space. Projective algebraic sets. Projective Hilbert Nullstellensatz. Projective and quasi-projective varieties. Ring of homogeneous coordinates, field of rational functions.

* Algebraic varieties. Structural sheaf of an algebraic variety. Morphisms of algebraic varieties. Veronese morphism. Dominant morphisms. Rational and birational maps. Examples: linear systems of hypersurfaces of a projective space, projections, blow-ups. Resolution of singularities of plane curves by blow-ups.

* Products of algebraic varieties. Segre variety. Graph of a morphism.

* Completeness of projective varieties.

IF TIME PERMITS, WE COULD ADD SOME OF THE FOLLOWING TOPICS

* Dimension of an algebraic variety.

* Tangent spaces and non-singularity of affine and of projective varieties. Zariski tangent space of an algebraic variety.

* Semicontinuity of the fibre-dimension of a dominant morphism.

 

* Testo di Riferimento (Bibliography)

A first course in Algebraic Geometry and Algebraic Varieties”, by Flaminio Flamini, Essential Textbooks in Mathematics, 305 pp., 2023, ISBN 9781800612747, World Scientific Publishing

 

* Link al diario giornaliero delle lezione (link to daily calendar of lectures): diario giornaliero delle lezione

 

 

* Descrizione delle modalità e dei criteri di verifica dell’apprendimento

 Italiano:"La prova di esame consisterà in un'esposizione rigorosa dei contenuti del corso, con eventuale discussione di esercizi dal testo, e sarà valutata secondo i seguenti criteri:

Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezza nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.

18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.

21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.

24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.

27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.

30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti; notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio. Argomentazioni espresse in modo originale."

English The exam will consist in a rigorous exposition of the topics of the course, with some exercises from the book, and it will be assessed according to the following criteria:

Unsuitable: major deficiencies and/or inaccuracy in knowledge and understanding of the topics; limited capacity for analysis and synthesis, frequent generalisations.

18-20: barely sufficient knowledge and understanding of the topics with possible imperfections; sufficient capacity for analysis, synthesis and autonomy of judgement.

21-23: Routine knowledge and understanding of the topics; ability to analyse and synthesise correctly with coherent logical argumentation.

24-26: Fair knowledge and understanding of the topics; good analytical and synthetic skills with rigorously expressed arguments.

27-29: Complete knowledge and understanding of the topics; considerable capacity for analysis, synthesis. Good autonomy of judgement.

30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of topics; considerable capacity for analysis and synthesis and independent judgement. Arguments expressed in an original manner."

 

Alcuni links legati alla Geometria Algebrica:

 

·         Geometria Algebrica

·         Algebraic Geometry

·         G. Castelnuovo

·         F. Enriques

·         G. Fano

·         A. Grothendieck

·         D. Hilbert

·         E. Noether

·         M. Noether

·          C. Segre

·          J.P. Serre

·          F. Severi

·          G. Veronese

·          A. Weil

·          O. Zariski



Exams: date/room/hours

o 1o Appello: 25 Giugno 2024, Studio Docente, 10:00-13:00

o 2o Appello: 11 Luglio 2024, Studio Docente, 10:00-13:00

o 3o Appello: 09 Settembre 2024, Studio Docente, 14:00-17:00

o 4o Appello: 23 Settembre 2024, Studio Docente, 09:00-12:00