Università
di Roma “Tor Vergata”
Corso
di Laurea Magistrale in Matematica
Geometria
Algebrica (Algebraic Geometry)
II
Semestre 04/03/2024 - 07/06/2024 (8 CFU)
Docente
Prof. Flaminio Flamini (flamini[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it)
*
Lezioni
(64 ore- 2CFU -
course
in English on demand)
Su
richiesta degli studenti interessati, il corso si svolge nelle
seguenti modalità:
Martedì – aula 29 A –
14:00-17:00
Giovedì – aula A0–
10:00-13:00 (con registrazione su canale Teams)
*
Canale Teams Flamini-8065716_Geometria_Algebrica
codice del team: 8nfvev0
*
Ricevimento (office hour) :
per appuntamento su canale Teams per venire incontro alle
esigenze su altri corsi sia degli student che del docente (fix
meeting by Teams)
*
Programma di Massima (Tentative
Program)
Italiano:
Si tratta di un corso introduttivo alla Geometria Algebrica,
basato sullo studio delle varietà algebriche. Precisamente il corso
consiste di:
* Premesse
algebriche: anelli noetheriani, estensione di campi, moduli e
localizzazione. Anelli ed ideali omogenei. Prefasci e fasci su uno
spazio topologico.
* Spazio
affine. Insiemi algebrici affini e topologia di Zariski. Ideali
radicali. Hilbert Nullstellensatz (Teorema degli zeri di Hilbert).
Irriducibilità. Varietà affini. Anello delle coordinate e campo
delle funzioni razionali di una varietà affine
* Spazio
proiettivo. Insiemi algebrici proiettivi. Teorema degli zeri
proiettivo. Varietà proiettive e quasi-proiettive. Anello delle
coordinate omogenee, campo delle funzioni razionali.
* Varietà
algebriche. Fascio strutturale di una varietà algebrica. Morfismi di
varietà algebriche. Morfismo di Veronese. Morfismi dominanti.
Applicazioni razionali e birazionali. Esempi: sistemi lineari di
ipersuperficie di uno spazio proiettivo, proiezioni, scoppiamenti.
Scioglimento di singolarità di curve piane mediante scoppiamenti.
* Prodotti di
varietà algebriche. Varietà di Segre. Grafico di un morfismo.
* Completezza
delle varietà proiettive.
SE IL TEMPO
LO PERMETTERA ANCHE QUALCUNO DEI SEGUENTI ARGOMENTI
* Dimensione
di una varietà algebrica.
* Spazi
tangenti e non-singolarita' di varietà affini e proiettive. Spazio
tangente di Zariski di una varietà algebrica.
*
Semicontinuità della dimensione delle fibre di un morfismo dominante
English:
The course gives an introduction to Algebraic Geometry, related to
algebraic varieties. More precisely the course will consist of:
* Algebraic
preliminaries: Noetherian rings, field extensions, modules and
localization. Homogenoeus rings and ideals. Presheaves and sheaves on
a topological space.
* Affine
space. Affine algebraic sets and Zariski topology. Radical ideals.
Hilbert Nullstellensatz. Irreducibility. Affine varieties.
Coordinate ring and field of rational functions of an affine variety.
* Projective
space. Projective algebraic sets. Projective Hilbert Nullstellensatz.
Projective and quasi-projective varieties. Ring of homogeneous
coordinates, field of rational functions.
* Algebraic
varieties. Structural sheaf of an algebraic variety. Morphisms of
algebraic varieties. Veronese morphism. Dominant morphisms. Rational
and birational maps. Examples: linear systems of hypersurfaces of a
projective space, projections, blow-ups. Resolution of singularities
of plane curves by blow-ups.
* Products of
algebraic varieties. Segre variety. Graph of a morphism.
*
Completeness of projective varieties.
IF TIME
PERMITS, WE COULD ADD SOME OF THE FOLLOWING TOPICS
* Dimension
of an algebraic variety.
* Tangent
spaces and non-singularity of affine and of projective varieties.
Zariski tangent space of an algebraic variety.
*
Semicontinuity of the fibre-dimension of a dominant morphism.
* Testo
di Riferimento (Bibliography)
“A
first course in Algebraic Geometry and Algebraic Varieties”,
by Flaminio Flamini, Essential
Textbooks in
Mathematics, 305
pp., 2023, ISBN 9781800612747, World Scientific Publishing
*
Descrizione delle modalità e dei criteri di verifica
dell’apprendimento
Italiano:"La
prova di esame consisterà in un'esposizione rigorosa dei contenuti
del corso, con eventuale discussione di esercizi dal testo, e sarà
valutata secondo i seguenti criteri:
Non idoneo:
importanti carenze e/o inaccuratezza nella conoscenza e comprensione
degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti
generalizzazioni.
18-20:
conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con
possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di
giudizio sufficienti.
21-23:
Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; capacità di
analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
24-26:
Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità
di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
27-29:
Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità
di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
30-30L:
Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti; notevoli
capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Argomentazioni espresse in modo originale."
English
The exam will consist in a rigorous exposition of the topics of the
course, with some exercises from the book, and it will be assessed
according to the following criteria:
Unsuitable:
major deficiencies and/or inaccuracy in knowledge and understanding
of the topics; limited capacity for analysis and synthesis, frequent
generalisations.
18-20: barely
sufficient knowledge and understanding of the topics with possible
imperfections; sufficient capacity for analysis, synthesis and
autonomy of judgement.
21-23: Routine
knowledge and understanding of the topics; ability to analyse and
synthesise correctly with coherent logical argumentation.
24-26: Fair
knowledge and understanding of the topics; good analytical and
synthetic skills with rigorously expressed arguments.
27-29:
Complete knowledge and understanding of the topics; considerable
capacity for analysis, synthesis. Good autonomy of judgement.
30-30L:
Excellent level of knowledge and understanding of topics;
considerable capacity for analysis and synthesis and independent
judgement. Arguments expressed in an original manner."
Alcuni links legati alla
Geometria Algebrica:
·
Geometria
Algebrica
·
Algebraic
Geometry
·
G.
Castelnuovo
·
F. Enriques
·
G. Fano
·
A.
Grothendieck
·
D. Hilbert
·
E. Noether
·
M. Noether
·
C.
Segre
·
J.P.
Serre
·
F.
Severi
·
G.
Veronese
·
A.
Weil
·
O.
Zariski
Exams:
date/room/hours
o
1o
Appello: 25
Giugno 2024, Studio Docente, 10:00-13:00
o
2o
Appello: 11
Luglio 2024, Studio Docente, 10:00-13:00
o
3o
Appello: 12
Settembre 2024, Studio Docente, 14:00-17:00
o
4o
Appello: 23
Settembre 2024, Studio Docente, 09:00-12:00