Programma di Calcolo 1
Corso di laurea in Fisica - A.A. 2022/23
Obiettivi di apprendimento
Lo studente dovrà conoscere alcuni argomenti
di base del calcolo di una variabile quali il calcolo differenziale e integrale
e alcuni risultati sulle serie
numeriche, e saper applicare i primi in particolare alla soluzione di alcune
semplici equazioni differenziali ordinarie.
Modalita' di accertamento
La preparazione dello studente sarà verificata tramite il superamento
di una prova scritta ed una prova orale.
Testi di riferimento
- M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli.
Epsilon 1 - Primo corso di analisi matematica, McGraw-Hill 2021.
- L. Chierchia. Corso di Analisi - Prima parte, McGraw-Hill 2019.
- E. Giusti. Analisi Matematica Vol. 1 e Vol. 2, Bollati-Boringhieri.
- A. Berretti. Lezioni ed esercizi di analisi matematica 1, Universitalia 2020.
- A. Berretti. 1200 esercizi di analisi matematica 1, Universitalia, 2021.
Programma
Breve riassunto delle notazioni insiemistiche, definizione dei razionali a partire dagli interi e proprietà di campo totalmente ordinato. Rappresentazione dei razionali come numeri decimali periodici. Definizione dei numeri reali come decimali infiniti anche non periodici. Nozione di ordinamento sui numeri reali, somma e prodotto di numeri reali tramite i troncamenti decimali. Sottoinsiemi superiormente o inferiormente limitati, maggioranti e minoranti, massimo e minimo. Definizione di estremo superiore ed estermo inferiore.Teorema dell’esistenza del sup per i sottoinsiemi non vuoti superiormente limitati di R.
Principio di induzione: somma della successione geometrica, dei primi n interi, dei primi n quadrati e dei primi n cubi. Formula per la differenza di n-esime potenze. Fattoriali e binomio di Newton. Alcune diseguaglianze notevoli. Definizione delle potenze di numeri positivi con esponente reale. Proprietà algebriche delle potenze e relazioni d’ordine.
Funzioni: dominio, codominio, grafico, immagine, controimmagine. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzione inversa, composizione di funzioni, restrizione di una funzione. Successioni: funzioni il cui dominio è N. Funzioni reali di variabile reale:il grafico come sottoinsieme del piano. Esempi. Crescenza, decrescenza e monotonicità. Thm: una funzione strettamente monotona è iniettiva.
Operazioni tra funzioni: somma e prodotto di funzioni, reciproco di una funzione. Polinomi, funzioni razionali, loro domini. Funzione esponenziale, grafico e immagine. Il logaritmo come funzione inversa dell'esponenziale. Funzione segno e funzione modulo. Diseguaglianza triangolare e sue conseguenze. Funzioni trigonometriche e loro proprietà. Funzioni trigonometriche inverse. Funzioni iperboliche e funzioni iperboliche inverse.
Successioni: crescenti/decrescenti, limitate/illimitate inferiormente/superiormente, proprietà valide definitivamente, retta reale estesa, intorni dei suoi punti. Limiti di successione: unicità del limite, permanenza del segno, thm del confronto. Una successione convergente è limitata, una successione limitata e definitivamente monotona è convergente. L’algebra (generalizzata) dei limiti. Il numero e come limite della successione (1+1/n)n. Criterio del rapporto per successioni. Confronto fra infiniti. Formula di Stirling. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy. Successioni definite per ricorrenza.
Funzioni: definizione di punto di accumulazione di un insieme, definizione di limite per funzioni tramite la nozione di intorno. Limite destro e sinistro, limite dall’alto e dal basso. Simboli di Landau. Teorema ponte, esempi di non esistenza del limite descritti tramite sottosuccessioni. Unicità del limite.
Teoremi della permanenza del segno e del confronto. Esempi di calcolo di limiti, limiti notevoli. Algebra dei limiti generalizzata, limite della funzione composta.
Gerarchia di infiniti e infinitesimi.
Funzioni continue. Continuità di potenze, funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmi. Punti di discontinuità e loro classificazione: discontinuità eliminabili, di salto ed essenziali, esempi. Teorema degli zeri e metodo grafico. Immagine continua di intervalli è un intervallo. Per le funzioni continue su un intervallo, la iniettività equivale alla stretta monotonicità. Se f è continua e iniettiva su un intervallo, la funzione inversa è continua.
Derivabilità: definizione, significato geometrico, la retta tangente come migliore approssimazione lineare. Derivabilità implica continuità, il viceversa è falso, esempi. Derivate di funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, seno e coseno. Linearità della derivata. Formule della derivata del prodotto e del rapporto tra due funzioni, derivata della funzione composta e della funzione inversa. Definizione di estremo (massimo o minimo) locale, teorema di Fermat.
Teoremi Rolle, Lagrange e Cauchy e loro conseguenze: relazione tra il segno della derivata prima e la crescenza/decrescenza delle funzioni. Discontinuità della derivata. Teorema di de l'Hopital.
Derivate successive. Funzioni convesse e concave: definizioni equivalenti nel caso di funzioni derivabili e due volte derivabili. Diseguaglianze tramite la convessità. Punti di flesso e relazione con la derivata seconda.
Polinomio di Taylor, sue proprietà, teorema di Peano. Sviluppi di McLaurin di alcune funzioni notevoli. Determinazione di massimi e minimi tramite il metodo delle derivate successive. Calcolo dei limiti tramite il polinomio di Taylor.
Formula di Taylor col resto di lagrange. Stima dell’errore: esempi. Convergenza della serie di Taylor per alcune funzioni notevoli. La funzione esponenziale con argomento immaginario: eit=cos t + i sin t.
Calcolo integrale. Somme superiori e inferiori per una funzione limitata sull’intervallo [a,b]. Definizione di integrale di Riemann tramite partizioni. Condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità. Linearità dell’integrale e additività per intervalli adiacenti.
Teorema della media integrale. Integrabilità delle funzioni monotone. Uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor. Integrabilità delle funzioni continue. Esempio di una funzione non integrabile secondo Riemann: la funzione di Dirichlet.
Integrazione delle funzioni con un numero finito di discontinuità. Teorema fondamentale del calcolo. Formule di integrazione per parti e per sostituzione.
Integrali impropri: definzione e studio della convergenza.
Generalità sulle equazioni differenziali ordinarie: loro ordine, forma normale, caso autonomo. Il problema di Cauchy. Esempi del primo ordine: equazione Malthusiana, equazione logistica. Esempi del secondo ordine: caduta di un grave senza attrito, caduta di un grave con attrito proporzionale alla velocità di caduta.
EDO del primo ordine lineari. Caso omogeneo: la soluzione generale è uno spazio vettoriale di dimensione 1, forma esplicita delle soluzioni. Caso non omogeneo: struttura della soluzione generale e formula tramite il metodo della variazione della costante. EDO del secondo ordine lineari omogenee. Struttura dello spazio delle soluzioni, forma delle soluzioni in termini delle soluzioni dell’equazione caratteristica.
EDO del secondo ordine lineari omogenee: il caso delle piccole oscillazioni. Oscillatore armonico e smorzato. Caso non omogeneo con termine forzante periodico, soluzioni per similarità. Il caso risonante.
EDO del primo ordine a variabili separabili. Teorema di esistenza e unicità e intervallo massimale. Consequence del teorema: soluzioni costanti e studio qualitativo.
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