Geometria per Ingegneria Civile e Ambientale
Orario
martedi 9,30-11 Aula C1, mercoledi 11,30-13,00
Aula 3 (Prof.
Ceresa), venerdi 14,00-15,30 Aula C11.
programma del
corso
Risultati della prova scritta del 13 luglio
Risultati della prova scritta del 27 luglio
Risultati della prova scritta del 9 settembre: Antonucci 17, Brunetti <10,
Fratini 20, Lilli 19, Mari 18, Petrella 20.
Regole d'esame
Una votazione insufficiente alla prova scritta non preclude l'ammissione
alla prova orale nell'ambito dello stesso appello. Si sconsiglia,
comunque, di sostenere la prova orale se
la votazione e' inferiore a 10.
Per sostenere l'orale in un appello differente (ma nell'ambito della
stessa sessione) occorre prenotarsi nuovamente tramite totem all'appello
in cui si vuole
sostenere l'orale. In caso la prova scritta sia insufficiente, si consiglia di sostenere nuovamente anche la prova scritta.
Per la parte di Geometria analitica, consultare il sito del Prof.
Ceresa.
Per esercizi, consultare la voce files nella pagina
http://didattica.uniroma2.it/informazioni/index/insegnamento/154814-Geometria
Programma (parte di Algebra lineare)
Spazi vettoriali. Esempi: spazi vettoriali numerici, spazi di polinomi in una
variabile, spazi di matrici.
Sottospazi vettoriali. Esempio: sottospazio delle soluzioni di una equazione lineare omogenea.
L'intersezione di due sottospazi vettoriali e' un sottospazio
vettoriale. Descrizione parametrica e cartesiana di un sottospazio
vettoriale.
Combinazioni lineari di un insieme finito di vettori. Sottospazio
vettoriale generato da un insieme finito di vettori.
Vettori linearmente indipendenti. Unicita' di scrittura come combinazione lineare di vettori.
Un insieme finito di vettori e' linearmente indipendente se e solo se uno di essi e' combinazione lineare dei rimanenti.
Un insieme di generatori e' minimale se e solo se e' linearmente indipendente.
Vettore linearmente dipendente da un insieme di vettori. Matrice completa e incompleta associata ad un
sistema lineare. Un sistema lineare ammette soluzione se e solo se
la colonna di termini noti e' combinazione lineare delle colonne della matrice dei coefficienti.
Ogni insieme finito di vettori contiene un insieme linearmente indipendente che genera lo stesso sottospazio. Metodo degli scarti
successivi.
Le trasformazioni elementari su un insieme finito di vettori non modificano il sottospazio vettoriale generato.
Matrice a scala. Le righe non nulle di una matrice a scala sono linearmente indipendenti. Procedimento di Gauss di eliminazione per
trasformare una matrice arbitraria in una matrice a scala. Applicazione del procedimento di Gauss per trovare un insieme di
generatori linearmente indipendenti.
Prodotto tra matrici. Matrice identica. Matrici elementari. Procedimento di Gauss come prodotto tra
matrici. Matrici invertibili.
Matrici ridotte. Applicazione allo studio dei sistemi lineari. Sistemi lineari equivalenti e
sistemi lineari compatibili. Teorema di Rouche'-Capelli. Teorema di struttura per le soluzioni di un
sistema lineare.
Componenti (o coordinate) di un vettore rispetto ad una base.
Dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato. Rango di una matrice. Il rango di una matrice coincide con la
dimensione dello spazio vettoriale generato dalle colonne. In una matrice a scala, le colonne con i pivot formano una base
del sottospazio generato dalle colonne.
Determinante di una matrice quadrata. Calcolo del determinante tramite trasformazioni elementari. Il determinante si annulla
se e solo se le righe sono linearmente dipendenti (se e solo
se le colonne sono linearmente dipendenti). Una matrice quadrata e' invertibile se e solo se ha determinante non nullo.
Calcolo dell'inversa di una matrice tramite trasformazioni elementari. Sviluppo del determinante secondo Laplace.
Teorema di Binet.
Applicazioni lineari. Nucleo e immagine. Applicazione lineare definita su una base.
Matrice associata ad una applicazione lineare. Teorema fondamentale dell'algebra lineare.
Cambi di base.
Endomorfismi: autovettori, autovalori, autospazi, polinomio caratteristico, spettro, caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili.
Prodotto scalare definito positivo: norma e lunghezza, versori,
funzioni trigonometriche degli angoli, ortogonalita'. Ortogonale di un sottoinsieme.
Esistenza di una base ortogonale. Normalizzazione di una base (passaggio da base ortogonale a base ortonormale).
Proiezione di un vettore lungo un'altro. Procedura di ortogonalizzazione di Gram Schmidt.
Cambi di base.
Forma quadratiche. Caratterizzazione delle forma quadratiche definite e semidefinite. Teorema di Sylvester.
Procedura di Gauss-Lagrange.
Teorema Spettrale.