Geometria - Modulo II
a.a. 2021-20222<br>
Corso di Laurea in  Scienze e tecnologie per i Media
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6 CFU<br>
Insegnamento erogato in modalita' mista<br>
Obiettivi formativi:<br>
Programma:<br>
Testi di riferimento<br>
Modalita' di verifica:<br>
Appelli d'esame:<br>
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<b>Diario delle lezioni tenute dalla Prof.ssa Tovena.</b> Le rimanenti lezioni sono state
tenute dal Prof. Marini 
(cf http://www.mat.uniroma2.it/~marini/STM_home_geometria_II-mod_2021-22.html)<br>
9 marzo 2022: Presentazione dell’insegnamento e delle modalita' di esame. 
Vettori e punti in uno spazio euclideo. Vettori liberi come trasformazioni dello spazio euclideo 
Introduzione agli spazi affini.
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11 marzo 2022: Giacitura di un piano. Confronto tra piani descritti in 
forma parametrica: uguaglianza solo nel caso in cui le giaciture coincidono 
e la differenza tra i punti di applicazione appartiene alla giacitura. 
Confronto tra due giaciture espresse in forma parametrica. Sottospazi 
affini di R^n e sistemi lineari.
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16 marzo 2022: Esempi e esercizi.
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23 marzo 2022: Equazioni cartesiane di un sottospazio vettoriale. 
Le soluzioni di un sistema lineare compatibile sono il traslato di un sottospazio vettoriale.
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25 marzo 2022: Definizione di spazio affine e ulteriori esempi. 
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28 marzo 2022: Breve introduzione storica alla prospettiva. Introduzione allo spazio proiettivo. 
Biiezione tra retta del piano con un punto all'infinito e fascio di rette per l'origine. 
Retta proiettiva. 
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30 marzo 2022: Relazione di equivalenza su R^n\0 modulo moltiplicazione per uno scalare non nullo.
Retta proiettiva e coordinate omogenee. La retta proiettiva e' in biiezione con una retta 
affine cui sia aggiunto un punto all'infinito.
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1 aprile 2022: Sottospazi proiettivi, loro dimensione e codimensione. 
Equazioni omogenee e parametriche di un sottospazio proiettivo.
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4 aprile 2022: Equazioni omogenee e parametriche di un sottospazio proiettivo. Parametrizzazione.
Punti indipendenti e loro caratterizzazione geometrica.
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6 aprile 2022: Definizione di spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale. 
Sistemi di coordinate omogenee su un sottospazio proiettivo. 
Il dato di un sistema di coordinate omogenee in un sottospazio proiettivo equivale 
al dato di una base ordinata dello spazio 
vettoriale soprastante, individuata a meno di multiplo per uno scalare non nullo.
Il dato di un insieme ordinato di m punti indipendenti in un 
sottospazio proiettivo di dimensione m non individua una base del sottospazio vettoriale 
(ma solo m vettori 
linearmente indipendenti, 
ciascuno a meno di uno scalare non nullo). Esempio della retta proiettiva: 
3 punti distinti individuano un sistema di coordinate.
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8 aprile 2022: 
Punti in posizione generale. Teorema dei riferimenti.
Teorema fondamentale delle proiettivita'.
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13 aprile 2022: Esempi di proiettivita' tra rette. Composizione di proiettivita'.
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15 aprile 2022: Esercizi su sottospazi proiettivi. Fasci di iperpiani. 
Intersezioni tra sottospazi. Proiettivita' tra rette.
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20 aprile 2022:  Esercitazione in classe
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22 aprile 2022: Matrice aggiunta. Proiettivita' con immagini assegnate nel piano proiettivo.  
Birapporto di 4 punti in una retta proiettiva. Due quaterne 
in una retta sono proiettive se e solo 
se hanno lo stesso birapporto. Determinazione del birapporto 
in funzione delle coordinate omogenee dei punti.
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27 aprile 2022: Determinazione del birapporto di una quaterna di punti tramite coordinate omogenee. 
Proiettivita' e birapporto in un fascio di rette in un piano. Quadrangolo completo 
e costruzione grafica di una quaterna armonica. 
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4 maggio 2022: Prospettivita' tra fasci di rette, tra rette e 
tra fascio di rette e una retta; birapporto in coordinate affini.
Inclusione dello spazio affine nello spazio proiettivo. Birapporto in coordinate affini. 
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6 maggio 2022: Carte affini. Relazione tra spazi affini e proiettivi.
Completamento proiettivo di un piano affine. Interpretazione dei punti 
all'infinito come direzioni delle rette del piano.
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11 maggio 2022: Completamento proiettivo di uno spazio affine 3D. 
Interpretazione dei punti all'infinito come direzioni delle rette dello spazio. Analisi dell'immagine 
di rette e piani affini (descritti da equazioni parametriche) tramite l'inclusione dello 
spazio affine nello spazio proiettivo.
Punti all'infinito di rette e piani. Caratterizzazione del parallelismo tramite 
l'intersezione composta da punti impropri.
Traccia affine di una retta e di un piano proiettivo.
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18 maggio 2022: Omogeneizzazione di un polinomio. Equazioni cartesiane e equazioni omogenee
Completamento proiettivo di sottospazi affini definiti da equazioni cartesiane
Iperpiano all'infinito. Sottospazi propri di uno spazio proiettivo. 
Struttura affine indotta sul complementare dello spazio all'infinito. 
Analisi dell'intersezione e dei sottospazi generati.
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25 maggio 2022: Carte affini e scelta dell'iperpiano all'infinito. Proiettivita' 
indotta da una affinita' e legame tra le relative matrici. 
Proiettivita' che inducono affinita' e loro caratterizzazione tramite l'invarianza 
(come luogo) dell'iperpiano all'infinito.  
Caso in cui l'iperpiano all'infinito e' puntualmente fisso.
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27 maggio 2022: Punti fissi di una proiettivita' e autovettori. 
Sottospazi invarianti per una proiettivita'. Omotetie come trasformazioni 
che inducono l'identita' sull'iperpiano all'infinito.
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3 giugno 2022: Esempi e esercizi: punti fissi di una proiettivita'.
Teorema spettrale. Determinazione di una base ortornormale di autovettori. 
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6 giugno 2022: Esempi e esercizi su quaternioni e rotazioni.
Esempi e esercizi: birapporto tra punti allineati nello spazio o in un fascio di rette. 
Immagine di un sottospazio assegnato tramite equazione omogenea.
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8 giugno 2022: Esercitazione in classe
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10 giugno 2022: Correzione dell'esercitazione in classe
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