Modulo di Geometria 3 per la Laurea triennale in Matematica - Programma dell'insegnamento per l'a.a. 2011-12
Spazi metrici; distanza euclidea in R^n; metrica discreta; dischi di una metrica; distanza d'= d/(1+d); funzioni continue tra spazi metrici; apetri in uno spazio metrico; i dischi sono aperti; caratterizzazione delle funzioni continue attraverso gli aperti. Definizione di topologia su un insieme - topologia associata ad una distanza - distanze topologicamente equivalenti-topologia metrizzabile - in uno spazio topologico metrizzabile gli aperti separano i punti - interno di un sottoinsieme. Chiusi in uno spazio topologico - In uno spazio metrizzabile i punti sono chiusi-punti aderenti - sottoinsiemi densi - frontiera di un sottoinsieme.
Applicazioni continue tra spazi topologici ed esempi. Basi per una topologia e loro caratterizzazione. Caratterizzazione delle funzioni continue attraverso le antiimmagini dei chiusi - composizione di funzioni continue. Omeomorfismi - applicazioni aperte e chiuse - caratterizzazione degli omeomorfismi come applicazioni continue, biettive e aperte . Esempi di funzioni chiuse/aperte/continue - funzioni superiormente semicontinue. Lemma di incollamento per funzioni continue definite su due aperti ( o due chiusi). Continuita' e punti aderenti di un sottospazio - punti di accumulazione e punti isolati di un sottoinsieme - derivato di un sottoinsieme.
Intorno di un sottoinsieme - sistema fondamentale di intorni di un punto - continuita' in un punto di una funzione tra spazi topologici - metrica indotta su un sottoinsieme di uno spazio metrico - topologia indotta su un sottoinsieme di uno spazio topologico - esempi di topologia indotta - gli intervalli chiusi e limitati (con topologia euclidea indotta) sono omeomorfi tra loro - analogo per intervalli aperti e per intervalli con un unico estremo incluso - omeomorfismo tra (0,1) e (1, +infinito) Spazio topologico prodotto - proprieta' universale del prodotto - il grafico di una funzione continua e' omeomorfo al prodotto - sottospazi e prodotti di spazi metrizzabili sono metrizzabili- ricoprimenti aperti, finiti e chiusi di uno spazio topologico Spazi compatti - l'immagine di un compatto tramite una applicazione continua e' compatto - l'intervallo euclideo [0,1] e compatto - l'unione finita di compatti e' compatta - un chiuso in un compatto e' compatto - un compatto in un metrico e' chiuso e limitato - i compatti della retta reale euclidea sono i chiusi e limitati- In uno spazio compatto, ogni insieme infinito ammette un punto di accumulazione - teorema di Wallace - se un fattore e' compatto, la proiezione sull'altro fattore e' chiusa a fibre compatte. Un prodotto finito e' compatto se e solo se i fattori sono compatti - Teorema di Heine-Borel per R^n -Teorema di Bolzano-Weierstrass - applicazioni proprie - spazi localmente compatti - l'intersezione di una catena discendente numerabile di compatti chiusi e non vuoti, e' non vuota.- numero di Lebesgue di un ricoprimento di uno spazio metrico compatto - spazi di Hausorff , loro sottospazi e prodotti - applicazioni continue con dominio compatto e codominio di Hausdorff - caratterizzazione degli Hausdorff attraverso la chiusura della diagonale - luogo di coincidenza tra due funzioni continue - se il codominio e di Hausdorff, il grafico di una funzione continua e' chiuso - spazi T_0, T_1, T_3, T_4 - Ogni sottospazio di un regolare e' regolare -caratterizzazione della regolarita' con sistema fondamentale di intorni chiusi - ogni spazio topologico di Hausdorff localmente compatto e' regolare - ogni spazio metrizzabile e' normale (e regolare) - spazi connessi - l'immagine di un connesso tramite una applicazione continua e' connesso - la connessione si conserva per omeomorfismo- connessi della retta euclidea - caratterizzazzione della connessione tramite le applicazioni continue a valori in un discreto con almeno due punti. Il prodotto di connessi e' connesso - connessione di R^n e R^2 privato di un punto- omeomorfismo indotto da un omeomorfismo togliendo un punto del dominio e la sua immagine - una condizione sufficiente affinche' l'unione di connessi sia connessa - S^n e' connesso per ogni n>0 - le funzioni continue reali definite su S^n (n>0) assumono valore uguale su almeno due punti antipodali, e non possono essere iniettive - un aperto di R^n (n>1) non e' omeomorfo ad un aperto di R. Spazi connessi per archi- la connessione per archi implica la connessione - i sottoinsiemi stellati o convessi di R^n (top. euclidea) sono connessi - componenti connesse - spazi totalmente sconnessi - spazi localmente connessi Primo e secondo assioma di numerabilita' - spazi separabili - ogni spazio metrizzabile e' primo-numerabile- ogni spazio separabile e primo-numerabile soddisfa il secondo assioma di numerabilita' - la topologia di Zariski su K^n. Compattificazione con un punto e compattificazione di Alexandroff - La compattificazione di Alexandroff di R^n (top. euclidea) e' omeomorfa a S^n - Bouquet di circonferenze - Lemma di Urysohn (senza dimostrazione) .
Spazio quoziente - Condizioni affinche' una applicazione tra spazi topologici fattorizzi attraverso un quoziente (e l'applicazione ottenuta sia continua/ iniettiva/ suriettiva/ omeomorfismo)- applicazione esponenziale di R in S^1 - R/Z (e [0,1] con estremi identificati) e' omeomorfo a S^1- Esempi
Azione di gruppo - G-spazi - la proiezione canonica di un G-spazio e' aperta - Un G-spazio compatto di Hausdorff con G finito ha quoziente compatto di Hausdorff.
Definizione di varieta topologica ed esempi. Omotopia e omotopia relativa ad un sottospazio tra applicazioni continue - omotopia relativa come relazione di equivalenza - applicazioni continue su S^1 ed estensione al disco - equivalenza omotopica tra spazi - spazi contribili - retrazione, retrazione di deformazione e retrazione di deformazione forte, con esempi - Cilindro, nastro di Moebius e S^1 hanno lo stesso tipo di omotopia - Equivalenza di cammini - moltiplicazione di cammini - definizione di gruppo fondamentale in un punto - invarianza del gruppo fondamentale per punti di applicazione nella stessa componente connessa per archi - Morfismo tra gruppi fondamentali indotto da una applicazione continua- Spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi fondamentali isomorfi - spazi semplicemente connessi - retrazioni e gruppo fondamentale Il gruppo fondamentale di S^1 e' isomorfo a Z (senza dimostrazione) - Teorema del punto fisso di Brouwer - gruppo fondamentale di uno spazio prodotto Teorema di Van Kampen per uno spazio topologico X che sia unione di due aperti A e B connessi per archi, la cui intersezione e' non vuota e connessa per archi - gruppo fondamentale di S^2, del toro 2-dimensionale, del piano proiettivo reale e del nastro di Moebius