Geometria 3, a.a. 2018-19, codice Insegnamento 8066583, corso di Laurea in Matematica

7 CFU, 56 ore di lezione frontale; sono previste due ore aggiuntive settimanali di attivita' tutoriale svolte dalla Prof.ssa Martina Lanini
Corso in modalità convenzionale
Obiettivi formativi: -Conoscenza e comprensione: apprendere le nozioni di base relative alla topologia generale ed algebrica (spazi topologici, compattezza, connessione, omotopia, gruppo fondamentale, rivestimenti); leggere e comprendere risultati di base relativi a tali argomenti. -Capacita' di applicare conoscenza e comprensione: saper verificare, utilizzando le definizioni e le relative caratterizzazioni, la continuità delle funzioni tra spazi topologici, gli assiomi di separazione, la compattezza, la connessione, la connessione per archi, l'omotopia, saper determinare il gruppo fondamentale; saper inoltre applicare le nozioni di topologia apprese alla risoluzione di problemi. -Autonomia di giudizio: saper riconoscere alcune proprietà topologiche e la correttezza di un ragionamento in ambito della topologia, saper costruire esempi e controesempi. -Abilita' comunicative: esporre e argomentare la soluzione di problemi; essere, inoltre, in grado di discutere e riprodurre correttamente dimostrazioni di risultati di base relativi a spazi topologici, funzioni continue, compattezza, connessione e connessione per archi, azioni di gruppo, rivestimenti. -Capacita' di apprendere: saper individuare strategie di soluzione e strategie di analisi e dimostrazione in situazioni analoghe a quelle affrontate nel corso
2)Programma: Spazi metrici. Spazi topologici. Funzioni continue tra spazi topologici. Topologia indotta. Topologia quoziente. Azione di gruppo. Spazi prodotto. Spazi compatti. Spazi di Hausdorff. Spazi connessi. Varieta' topologiche. Classificazione delle superfici. Spazi connessi per cammini. Omotopia di funzioni continue. Il gruppo fondamentale. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Spazi di rivestimento. Il gruppo fondamentale di uno spazio di rivestimento. Il gruppo fondamentale di uno spazio di orbite.

Testi di riferimento C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli (consultare anche il sito pagina dell'insegnamento) su Didattica Web e la pagina della Dott.ssa Lanini relativa agli esercizi di tutorato [ sito]


Modalita' di verifica: L'insegnamento prevede una prova scritta propedeutica e una prova orale. Tramite tali prove, sono verificate l'autonomia e la consapevolezza nell'utilizzo delle tecniche apprese, la completezza e la chiarezza espositiva, la capacità di sintesi. Nella prova scritta, lo studente risolve alcuni problemi, applicando e adattando i metodi appresi e motivando la propria strategia risolutiva. Nella prova orale, lo studente illustra e discute alcune definizioni e la dimostrazione di teoremi appresi nell'ambito del corso, oppure espone applicazioni o dimostrazioni relative a situazioni analoghe o collegate a quelle studiate nel corso.
Risultato complessivo delle prove di esonero risultati

Appelli d'esame: Le date degli appelli vengono riportate nel sito del Corso di studio [ sito]
Si sconsiglia di sostenere la prova orale con voto inferiore a 10.
Risultato della prova scritta del secondo appello della sessione estiva: Bianchi 12, Cortese 28, Di Carlo <10, Misseri < 10, Pera 14.
La prova orale si svolge il 12 luglio nello studio della Prof.ssa Lanini (primo piano, dente A), a partire dalle ore 10:00.

Diario delle lezioni
Prima settimana 2 ottobre: Spazi metrici. Sottoinsiemi limitati e sottoinsiemi aperti. Applicazioni continue tra spazi metrici. Metrica discreta.
3 ottobre: Continuita' della distanza da un punto fissato. Topologia indotta da una metrica. Caratterizzazione della continuita' tramite l'antiimmagine degli aperti. Spazi topologici. Definizione di metriche equivalenti.
4 ottobre: Tutorato (Dott.ssa Lanini)

Seconda settimana 9 ottobre: Metriche equivalenti ed esempi; topologia metrizzabile. Ogni spazio metrizzabile e' di Haudorff. Topologia cofinita e topologia concreta. Insiemi chiusi e proprieta' della famiglia dei chiusi. Interno di un sottoinsieme di uno spazio topologico.
10 ottobre: Chiusura di un sottoinsieme di uno spazio topologico. Punti di aderenza. Insiemi densi. Frontiera di un sottoinsieme di uno spazio topologico.
11 ottobre: Tutorato (Dott.ssa Lanini)

Terza settimana16 ottobre: Applicazioni continue tra spazi topologici. Applicazioni aperte e chiuse. Omeomorfismi.
17 ottobre: base di una topologia. Topologia prodotto. Il prodotto di due spazi metrizzabili e' metrizzabile.
18 ottobre: Tutorato (Dott.ssa Lanini)

Quarta settimana 23 ottobre: Restrizione di una metrica a un sottoinsieme. Sottospazi topologici e topologia indotta su un sottoinsieme. Proprieta' universale della topologia indotta. Ogni sottospazio di uno spazio metrizzabile e' metrizzabile. Esempi di omeomorfismi tra sottospazi.
24 ottobre: Le proiezioni da uno spazio prodotto XxY ai fattori sono continue e aperte. Proprieta' universale della topologia prodotto. Grafico di una funzione. Il grafico di una funzione continua e' omeomorfo al dominio. Esempi di omeomorfismi. Esercizi.
25 ottobre: Tutorato (Dott.ssa Lanini)

Quinta settimana 30 ottobre: sospensione attivita' didattica causa allerta meteo
31 ottobre: Punti di accumulazione e derivato di un sottoinsieme. Punti isolati. Famiglia degli intorni di un punto. Sistema fondamentale di intorni di un punto. Continuita' in un punto di una funzione tra spazi topologici. L'immagine tramite una applicazione continua della chiusura di un sottoinsieme S e' contenuta nelle chiusura dell'immagine di S. Proiezione stereografica.

Sesta settimana: 6 novembre: prova intermedia, durante la quale e' possibile consultare libro di testo e appunti.
7 novembre: ricoprimenti e ricoprimenti aperti. Caratterizzazione di una prebase per una topologia. Primo e secondo assioma di numerabilita'. Ogni spazio metrizzabile e' N1. Successioni e limiti. In uno spazio T2 il limite di una successione, se esiste, e' unico.
8 novembre: Tutorato (Dott.ssa Lanini)

Settima settimana
13 novembre: Spazi separabili. Spazi e sottoinsiemi compatti. Un sottoinsieme e' compatto se e solo se e' compatto rispetto alla topologia indotta. L'iimagine di un compatto tramite una funzione continua e' compatta. Gli intervalli chiusi e limitati della retta reale sono compatti rispetto alla topologia euclidea.
14 novembre: Un chiuso in un compatto e' compatto. I compatti di uno spazio metrico sono chiusi e limitati. Compatti di R con topologia euclidea. In uno spazio compatto, ogni sottoinsieme infinito ha almeno un punto di accumulazione.
15 novembre: Tutorato (Dott.ssa Lanini)

Ottava settimana
20 novembre: Un'applicazione continua da uno spazio compatto a uno spazio T2 e' un omeomorfismo se e solo se e' biettiva. Applicazioni chiuse a fibra compatta.
21 novembre: La lezione si svolge dalle 11 alle 13. Teorema di Wallace. Un prodotto finito di spazi e' compatto se e solo se sono compatti i fattori. Teorema di Heine-Borel. Spazi T0, T1, T2, T3, T4. Ogni sottospazio di uno spazio T2 e' T2. Il prodotto finito di spazi e' T2 se e solo se i fattori sono T2. Se il codominio e' T2, il luogo di coincidenza di due funzioni continue e' chiuso.
22 novembre: Tutorato (Dott.ssa Lanini)

Nona settimana
27 novembre: Caratterizzazione degli spazi T2 tramite la chiusura della diagonale. Uno spazio e' T1 sse i punti sono chiusi. Compattificazione di Alexandroff. Ogni spazio metrizzabile e' normale. Esempi.
28 novembre: Ogni spazio regolare a base numerabile e' normale. Teorema e Lemma di Urysohn (solo enunciato). Teorema di Estensione di Tietze (solo enunciato). [cap. 9] Spazi connessi. Uno spazio e' connesso se e solo se le uniche applicazioni continue a valori in uno spazio discreto con almeno due elementi, sono le costanti. L'immagine di uno spazio connesso tramite una applicazione continua e' anch'essa connessa. Se due spazi topologici sono omeomorfi, uno e' connesso se e solo se lo e' anche l'altro. Gli intervalli chiusi e limitati di R con la topologia euclidea sono connessi.
29 novembre: Tutorato (Tovena)

Decima settimana
4 dicembre: L'unione di connessi tali che uno di essi interseca tutti gli altri e' connessa. R e' connesso. S^1 non e' omeomorfo a un intervallo chiuso e limitato di R. XxY e' connesso sse X e Y sono connessi. Componenti connesse. [cap. 12] Archi e loro composizione. Connessione per archi. Ogni spazio connesso per archi e' anche connesso. L'immagine di un connesso per archi tramite una applicazione continua e' connesso per archi. Caratterizzazione di sottoinsiemi di R connessi per archi. Ogni applicazione continua da S^n in R assume lo stesso valore su (almeno) una coppia di punti antipodali. Se una applicazione continua, suriettiva, con codominio connesse e fibre connesse, e' aperta o chiusa, allora il dominio e' connesso.
5 dicembre: [cap. 5] Topologia quoziente e sua proprieta' universale. La topologia quoziente e' la topologia piu' fine che rende continua la proiezione canonica. Se una applicazione continua e suriettiva e' aperta o chiusa, il codominio ha la topologia quoziente. Se una applicazione continua e suriettiva ha dominio compatto e codominio T2, allora il codominio ha la topologia quoziente. Rivestimento universale di S^1 e sua restrizione a [0,1] e a [0,1). Restringendo a un sottoinsieme A il dominio di una applicazione quoziente in modo che l'applicazione resti suriettiva, la restrizione e' ancora una applicazione quoziente se A e' aperto e la funzione e' aperta (analogamente, se A e' chiuso e l'applicazione e' chiusa).
6 dicembre: Tutorato (Dott.ssa Lanini)

Undicesima settimana
11 dicembre: Applicazioni suriettive e relazioni di equivalenza. Identificazioni. Teorema dei modelli. Fattorizzabilita' di una applicazione tramite il passaggio a quoziente. Struttura topologica sullo spazio proiettivo. Cilindro e toro come quoziente di un quadrato.
12 dicembre: Nastro di Moebius. Passaggio a quoziente modulo un sottospazio. Bouquet di circonferenze. Teorema 8.11: Se una applicazione quoziente ha dominio compatto T2 ed e' chiusa, allora anche il codominio e' compatto T2. [cap. 5] Azione di un gruppo. G-insiemi e G-spazi. In un G-spazio, la proiezione canonica e' aperta.
13 dicembre: Esempi di G-spazi e loro modelli: R/Z omeomorfo a S^1, S^1/<+1, -1> omeomorfo a P^1, R^n/Z^n omeomorfo a (S^1)^n. Richiami sulla connessione per archi e sulla composizione di cammini. Teorema 12.9: ogni sottoinsieme aperto non vuoto connesso e' connesso per archi.

Dodicesima settimana
18 dicembre: Tutorato (Dott.ssa Lanini)
19 dicembre: [cap. 13] Omotopia di applicazioni continue. Un'applicazione continua definita su S^1 e' omotopa a una costante se e solo se si estende con continuita' al disco. Cammini e omotopia. Spazi topologici con lo stesso tipo di omotopia. Spazi contraibili.
20 dicembre: Omotopia relativa a un sottoinsieme. [cap. 14] Cammini equivalenti. Omotopia e prodotto di cammini. [cap. 15] Cammini chiusi. Gruppo fondamentale di uno spazio topologico connesso per archi rispetto a un punto base. Il gruppo fondamentale dipende dal punto base solo a meno di isomorfismo. Morfismo tra gruppi fondamentali indotto da una applicazione continua tra spazi connessi per archi. Teorema 15.2, senza dimostrazione. Spazi topologici con lo stesso tipo di omotopia hanno gruppo fondamentale isomorfo.

Tredicesima settimana
8 gennaio: retratti, retratti di deformazione e retratti di deformazione forte. Il gruppo fondamentale di un prodotto spazi connessi p.a. e' isomorfo al prodotto dei gruppi dei fattori. Il gruppo fondamentale di S^1 e' isomorfo a Z (solo enunciato). Gruppo fondaentale del cilindro. Teorema del punto fisso di Brower.
9 gennaio: Gruppi liberi su un insieme di generatori. Numero di Lebesgue di un ricoprimento. Teorema di Seifert-Van Kampen: generatori [cap 23]
10 gennaio: Teorema di Seifert-Van Kampen: caso in cui un aperto e' semplicemente connesso. Gruppo fondamentale di S^n (n>1), degli spazi proiettivi complessi, del complementare di un insieme finito di punti in R^n (n maggioro o uguale a 3). Teorema di Seifert-Van Kampen: relazioni (senza dimostrazione, cap. 24). Gruppo fondamentale del bouquet di due circonferenze.

Quattordicesima settimana
15 gennaio: Applicazioni del Teorema di Seifert-Van Kampen al calcolo del gruppo fondamentale del toro [cap. 25]. Azione di gruppo libera e propriamente discontinua. Rivestimenti. L'applicazione quoziente R -> R/Z e' un rivestimento. Teorema 19.3 e corollario 19.4 (senza dimostrazione). Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi reali.
16 gennaio: tutorato (Lanini) Gruppo fondamentale del piano proiettivo reale applicando il Teorema di Seifert-Van Kampen; topologia di Zariski. L'azione di Z_2 su S^n (n>=1) definita dal passaggio all'antipodo e' libera e propriamente discontinua
17 gennaio: seconda prova di esonero