pagina non ancora completa
Per poter sostenere l'esame orale, ogni studente deve inviare (per posta
elettronica al docente o lasciando copia cartacea nella casella della
posta) un elaborato scritto (max 3-4 pagine) nel quale viene trattato uno
degli argomenti elencati nel seguito (o un argomento collegato
all'insegnamento e concordato con il
docente). L'elaborato deve contenere la dimostrazione di almeno un
risultato (un teorema, lo svolgimento di un esercizio, ...)
Il lavoro di preparazione puo' essere svolto anche in gruppo di 2-3
persone.
Il libro a cui si fa riferimento e' : Alexander Ostermann, Gerhard Wanner,
Geometri by its history, Springer (Undergraduate texts in Mathematics,
2012)
Argomenti proposti:
Teoria delle matrici
1) Considera una matrice A di permutazione (cioè una matrice nxn ottenuta
dalla matrice identica tramite una permutazione delle righe, o una
permutazione delle colonne.
Mostra che in ogni colonna e in ogni riga di A compare un unico
coefficiente =1, mentre tutti gli altri sono nulli. Viceversa mostra che
ogni matrice con queste caratteristiche è una matrice di permutazione.
Mostra che det A = 1 oppure -1.
Mostra che A A^t = I.
2)
Decomposizione PA=LU: per una qualsiasi matrice A di tipo mxn , esistono
una matrice P di permutazione, una matrice L triangolare inferiore con
diagonale unitaria (cioe' nella diagonale tutti i coefficienti sono = 1),
una matrice a scala U di tipo mxn, tali che PA=LU.
Dimostra questo risultato e forniscine applicazioni.
cf: www.math.iit.edu/~fass/477577_Chapter_7.pdf
3) Matrici antisimmetriche e ortogonali (par 10.5 del libro di
Ostermann-Wanner)
4) Quaternioni e matrici antisimmetriche
Matrici e teoria
dei grafi (attenzione ai cambi nella terminologia di testi
differenti)
a) Si descrive un circuito elettrico attraverso
un grafo e la sua matrice
di incidenza A. Lo spazio generato dalle righe di A, lo spazio generato
dalle colonne di A, lo spazio delle soluzioni di Ax=0 e quello delle
soluzioni di A^t x = 0 hanno una naturale interpretazione. in questo
contesto. Le leggi di Kirchhoff dei potenziali e delle correnti si
scrivono in modo semplice.
testo consigliato: Gilbert Strang, Algebra lineare, Apogeo, cap. 2, par
2.5 (pag. 119-122)
b) matrice di adiacenza di un grafo
http://en.wikipedia.org/wiki/Adjacency_matrix
Determinante
Prodotto vettoriale e determinante di Gram (ad esempio, la
dimostrazione del teorema del pentagono: Un pentagono nello spazio
euclideo con angoli e lati tra loro uguali, deve essere piano.
cf. par. 9.7 e 10.3 del libro di Ostermann-Wanner
Area e volume
Teorema di Pick: area di un poligono in un reticolo (par. 9.6
del libro di Ostermann-Wanner). Se si riesce, l'esercizio 8.
Codici lineari
Gli spazi vettoriali possono essere utilizzati per trattare il
problema della trasmissione dei dati, del controllo che la
trasmissione non abbia deformato il messaggio introducendo errori e,
possibilmente, delle tecniche di ricostruzione del messaggio
originario.
Le parole di un messaggio trasmesso attravesrso
un canale possono essere identificati con vettori numerici: usando come
alfabeto un campo finito F, le parole sono n-ple ordinate di 'lettere'; se
n e' la lunghezza massima di una parola, l'insieme delle parole puo'
essere identificato con un sottoinsieme dello spazio vettoriale numerico
F^n. L'insieme delle parole e' detto codice.
(Esempio: come parole utilizza i numeri da 0 a 15, e scrivili in binario,
cioe' come polinomio nelle potenze di 2)
I casi piu' semplici sono quelli in cui il codice e' un sottospazio
vettoriale di F^n, cioe' e' chiuso per combinazioni lineari. In tal caso,
il codice e' detto lineare.
Un codice lineare C puo' essere descritto attraverso una matrice
generatrice
G (cioe' una matrice le cui righe formano una base del codice C).Una
parola c appartiene al codice C se e solo se il sistema G^t x = c e'
compatibile.
Alternativamente, il codice C puo' essere assegnato attraverso una matrice
H di controllo di parita': una parola c appartiene al codice C se e solo
se Hc=0. La matrice H viene utilizzata come controllo: quando il
messaggio viene trasmesso, puo' essere deformato nella trasmissione;
al momemto della ricezione, si controlla quindi che la parola ricevuta
sia, perlomeno, una parola del codice.
Fornire esempi di coppie di matrici G e H, in particolare quando F =
Z_2 e' il campo di ordine 2. Con un poco di piu' di lavoro, chi vuole
puo' utilizzare il metodo delle sindromi per la decodifica.
come testo, puoi
consultare il capitolo 2 di
http://www.math.cornell.edu/~web3360/eccbook2007.pdf
per i codici
autocorrettori: http://www.math.utah.edu/~carlson/ugc/ecc/ecc.pdf
Coordinate baricentriche
a) Dimostrazione che le mediane di un
triangolo nel piano euclideo si intersecano in un punto
par. 9.1 del libro di Ostermann-Wanner
Triangoli nel piano euclideo
a) Teoremi di Menelao e Ceva
par. 4.4 del libro di Ostermann-Wanner
b) esistenza di incentro, ortocentro e circocentro; loro allineamento.
par. 4.3 del libro di Ostermann-Wanner
Triangoli sferici
dimostrazione della legge dei coseni per la geometria sferica
par. 9.5 del libro di Ostermann-Wanner
http://siba-ese.unisalento.it/index.php/quadmat/article/view/8720/7976