Geometria 1 con elementi di storia 1 -a.a.2014-15
docente Francesca Tovena

1) obiettivi di apprendimento:
conoscenza e comprensione: apprendere le nozioni di base relative all'algebra lineare, agli spazi affini e euclidei; leggere e comprendere risultati di base relativi a tali argomenti.
capacita' di applicare conoscenza e comprensione: applicare le nozioni di algebra lineare apprese per risolvere problemi geometrici.
autonomia di giudizio: lo studente sapra' applicare l'algebra lineare nella risoluzione di alcuni problemi in geometria affine e euclidea.
abilita' comunicative: lo studente sara' in grado di esporre e argomentare la soluzione di problemi; sara' inoltre in grado di discutere e riprodurre correttamente dimostrazioni di risultati di base relativi a spazi vettoriali, spazi affini e euclidei.

2)Programma
1. Spazi vettoriali e sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Teorema di Steinitz. Basi e dimensione. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari. Immagine, nucleo e rango di una applicazione lineare. Il gruppo degli automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici e rango di una matrice. Metodo di Gauss per il calcolo del rango. Sistemi lineari. Sistemi compatibili. Teorema di Rouche'-Capelli. Primo e secondo teorema di unicita'. Sistemi dipendenti da parametri. Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Gauss di eliminazione. Sistemi ridotti e normali. Matrici e applicazioni lineari. Matrici invertibili. Matrici ortogonali. Cambiamenti di base. Determinanti, modalita' di calcolo e applicazioni. Teorema di Binet. Teorema degli orlati. Teorema di Cramer. Prodotti scalari definiti positivi. Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
2. Spazi affini. Dimensione di uno spazio affine. Vettori liberi e applicati. Sottospazi affini di uno spazio affine e loro giaciture. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine. Dipendenza e indipendenza di punti. Mutua posizione di sottospazi affini. Sistemi di sottospazi: fasci e stelle. Affinita'. Orientazione. Spazi euclidei. Riferimenti ortonormali. Prodotto vettoriale. Aree e volumi.
3. Elementi di Storia.

TESTI CONSIGLIATI C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri
Note messe a disposizione dal docente.
Modalita' di verifica La prova di verifica si compone di una prova scritta propedeutica e una prova orale. La prova orale va sostenuta nella stessa sessione d'esame della prova scritta.
L'iscrizione all'esame avviene tramite totem, almeno quattro giorni prima della data dell'esame.