Testi delle prove scritte di esame del corso di geometria 1 con elementi di storia 1
primo appello sessione estiva anticipata
secondo appello sessione estiva anticipata
primo appello sessione estiva
risultati appello sessione autunnale

Programma svolto nel corso di geometria 1 con elementi di storia 1

Con [AL] si intende il libro di Algebra lineare del prof. Ciliberto, che e' stato consigliato per lo studio del corso.
Prima settimana (cap. 1 [AL], con appendici 3, 4, 5)
Relazioni di equivalenza. Somma e prodotto per uno scalare in R^n. Somma e propdotto per uno scalare e nell'insieme dei vettori applicati nello spazio euclideo. Proprieta' delle operazioni introdotte. Vettori liberi.
primo incontro di tutorato
Seconda settimana (appendice 8 cap. 1 di [AL], par. 1 e 2 delle dispense sugli spazi affini)
Operazione di somme e prodotto per uno scalare nei vettori liberi. Combinazioni lineari di vettori liberi. Parallelismo tra vettori e rette/piani. Coordinate e sistemi di riferimento su rette, piani, spazio euclideo. Cambiamento di riferimento.
Gruppi commutativi e campi. Definizione ed esempi di spazio vettoriale. Prodotto di spazi vettoriali.
secondo incontro di tutorato
Terza settimana (cap. 2 e 3 di [AL], par.2 del cap. 5 di [AL])
Sottospazi vettoriali e loro caratterizzazioni. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite e' sottospazio vettoriale di K^n. L'intersezione, anche infinita, di sottospazi e' un sottospazio. L'unione di sottospazi non e', in generale, un sottospazio. Sottospazio generato da un numero finito di generatori e sua caratterizzazione come minimo sottospazio contenente i generatori. Sistemi lineari non omogenei e appartenenza di un vettore numerico al sottospazio generato da un numero finito di generatori. Sottospazi vettoriali finitamente generati. Lo spazio vettoriale dei polinomi in una variabile a coefficienti in un campo non e' finitamente generato. Sottospazio vettoriale generato da un sottoinsieme.
terzo incontro di tutorato
Quarta settimana Vettori linearmente indipendenti (cap 6: par. 1, par. 2 fino a teorema 6.11 escluso). Vettori unitari in K^n. Spazio vettoriale delle matrici e alcuni sottospazi (esempio 3.5 nel cap. 3, esempio 4.10 nel cap. 4, esempio 5.3 cap 5). Dipendenza lineare di un vettore da un sistema (par. 1 e 2 del cap. 5)
Matrici associate ad un sistema lineare (par. 3 del capitolo 4, parte precedente alla prop. 4.13). Criterio di compatibilita' dei sistemi lineari (par. 3 del cap. 5)
quarto incontro di tutorato
Quinta settimana Prodotto righe per colonne tra matrici (par 1 del cap. 10). Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare (Prop. 4.13 del cap. 4). Traslazione e sue proprieta'. (Lo studio dei capitoli di [AL] da 1 a 5 e' ora completo)
esercizi di tutorato per la quinta settimana
Sesta settimana Teorema di Steinitz. Sistema massimo di vettori linearmente indipendenti in un insieme. Caratterizzazione degli spazi vettoriali che ammettono un sistema massimo. Criterio di indipendenza lineare e metodo degli scarti successivi. Basi. Esistenza della base in uno spazio vettoriale finitamente generato. Dimensione. La dimensione di un sottospazio e' minore o uguale alla dimensione dello spazio ambiente. Sistema di riferimento e componenti di un vettore.
esercizi di tutorato per la sesta settimana
Settima settimana Rango di una matrice. [cap. 7 par. 1] Sottomatrici [cap. 7, par. 2]. Completamento di un sistema linearmente indipendente ad una base. Teorema di Rouche'-Capelli e primo teorema di unicita' per sistemi lineari. [cap. 7, par 3]
esercizi di tutorato per la settima settimana
Ottava settimana Secondo teorema di unicita' per sistemi lineari [cap. 7, par 3 e 4]. Sistemi lineari equivalenti [cap. 7, par 5] Trasformazioni elementari di prima e seconda specie [cap. 8, par 1]. Matrici completamente ridotte. Algoritmo di Gauss [cap. 8, par 2]. Riduzione di una matrice nella forma a scalini [cap. 8, par 3]. Applicazioni alla risoluzione dei sistemi lineari [cap. 8, par 4] esercizi di tutorato per la ottava settimana
Nona settimana Matrici di permutazioni e matrici elementari. [cap. 10, par. 3] Somma e somma diretta di sottospazi vettoriali [cap 7 par 6 per la definizione di somma e cap. 7, par 7]. Equazioni cartesiane e parametriche di un sottospazio. Formula di Grassmann [cap. 7, par 6].
esercizi di tutorato per la nona settimana
Decima settimana Determinante di una matrice quadrata. Sviluppo di Laplace secondo una riga o una colonna. Definizione attraverso il gruppo di permutazioni [vedi anche cap. 10, par 11 per le permutazioni e il loro segno]. Metodi di calcolo del determinante. Il determinante di una matrice e' non nullo se e solo se il rango della matrice e' massimo. Teorema di Binet. Matrice aggiunta e inversa.
[cap. 14, par. 3, par. 4 (senza dimostrazioni), par. 5 (senza dimostrazioni)] esercizi di tutorato per la decima settimana
Undicesima settimana Determinante di una matrice. Determinante e rango. Applicazioni del determinante ai sistemi lineari. Teorema di Cramer. Sistemi lineari di rango n-1 in n in cognite. Caratterizzazione del rango atttraverso i minori. Teorema degli orlati. Spazi affini (vedi dispense).[cap. 15, par. 1 e 2, appendice sulla matrice aggiunta]
esercizi di tutorato per la undicesima settimana
Dodicesima settimana Sottospazi affini e riferimenti (vedi le dispense sui sottospazi nella pagina delle dispense; in esse sono raccolti molti esercizi svolti). Definizione, intersezione e spazio congiungente, relazione di Grassmann, sottospazi paralleli e sghembi, equazioni parametriche e cartesiane.
Il tutorato e' anticipato a martedi 17, mentre nelle rimanenti giornate si svolgeranno le lezioni. La lezione di giovedi e' anticipata alle ore 11.
esercizi di ripasso
ulteriori esercizi
tredicesima settimana Applicazioni lineari. Esempi. Nucleo e immagine di un applicazione lineare. Iniettivita' e nucleo. Teorema del rango (cap. 9 di [AL]). Applicazione lineare assegnata su una base del dominio. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici (cap. 10, par. 2]. Matrice di una applicazione lineare [cap. 10, par. 4]. Composizione di funzioni lineari e prodotto di matrici. Cambi di riferimento. [cap. 10, par 5] Rango del prodotto di due matrici [cap. 10, par 6]
esercizi di tutorato per la 13-ma settimana
Quattordicesima settimana Prodotto scalare standard in R^n. Ortogonale di un sottoinsieme e sua dimensione. Prodotto scalare tra vettori dello spazio euclideo. Basi ortonormali. Proiezione di un vettore nella direzione di un altro. Procedimento per ortogonalizzare una base (Gram-Schmidt). Ortogonalita' tra rette e piani nello spazio euclideo. Prodotto estermo (o vettoriale) tra vettori dello spazio euclideo. Area e volume. esercizi di tutorato per la 14-ma settimana
altri esercizi