Geometria 1 con elementi di storia 1 a.a. 2016-17
docente Francesca Tovena
codocente Stefano Trapani
1) obiettivi di apprendimento:
conoscenza e comprensione: apprendere le nozioni di base relative all'algebra lineare, agli spazi affini e euclidei; leggere e comprendere risultati di base relativi a tali argomenti.
capacita' di applicare conoscenza e comprensione: risolvere sistemi lineari tramite metodi di riduzione, applicare le nozioni di algebra lineare apprese per risolvere problemi geometrici.
autonomia di giudizio: lo studente sapra' applicare l'algebra lineare nella risoluzione di alcuni problemi in geometria affine e euclidea.
abilita' comunicative: lo studente sara' in grado di esporre e argomentare la soluzione di problemi; sara' inoltre in grado di discutere e riprodurre correttamente dimostrazioni di risultati relativi a spazi vettoriali, spazi affini e euclidei.

2)Programma
1. Spazi vettoriali e sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Teorema di Steinitz. Basi e dimensione. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari. Immagine, nucleo e rango di una applicazione lineare. Il gruppo degli automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici e rango di una matrice. Metodo di Gauss per il calcolo del rango. Sistemi lineari. Sistemi compatibili. Teorema di Rouche'-Capelli. Primo e secondo teorema di unicita'. Sistemi dipendenti da parametri. Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Gauss di eliminazione. Sistemi ridotti e normali. Matrici e applicazioni lineari. Matrici invertibili. Matrici ortogonali. Cambiamenti di base. Determinanti, modalita' di calcolo e applicazioni. Teorema di Binet. Teorema degli orlati. Teorema di Cramer. Prodotti scalari definiti positivi. Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
2. Spazi affini. Dimensione di uno spazio affine. Vettori liberi e applicati. Sottospazi affini di uno spazio affine e loro giaciture. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine. Dipendenza e indipendenza di punti. Mutua posizione di sottospazi affini. Sistemi di sottospazi: fasci e stelle. Affinita'. Orientazione. Spazi euclidei. Riferimenti ortonormali. Prodotto vettoriale. Aree e volumi.
3. Elementi di Storia.

TESTI CONSIGLIATI C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri
Note messe a disposizione dal docente [consulta la pagina alla voce 'Files' in alto a destra].

Modalita' di verifica La prova di verifica si compone di una prova scritta propedeutica e una prova orale. La prova orale va sostenuta nella stessa sessione d'esame della prova scritta. Ai fini della prova orale, il candidato prepara una tesina relativa ai crediti di storia; essa va redatta in forma scritta e portata in copia scritta (da consegnare) in occasione della prova orale. Il lavoro puo' essere svolto in gruppo (e, in tal caso, nella copia consegnata vanno indicati tutti i nominativi del gruppo).
L'iscrizione all'esame avviene tramite totem, almeno quattro giorni prima della data dell'esame. La prima volta che ci si prenota all'esame, si ha la possibilita' di compilare un questionario di valutazione dell'insegnamento.

Dettagli per la tesina relativa al credito di storia della matematica.
Redigere in forma scritta un breve testo (indicativamente un massimo di 3 pagine). Consegnarne copia (anche via email) in occasione della prova orale.
Temi: (in corso di completamento)
1. Sir William Rowan Hamilton e la sua opera cf. Michael J. Crowe, A history of vector analysis, Dover Publication, capitolo 2
2. La teoria delle estensioni di Grassmann cf. Michael J. Crowe, A history of vector analysis, Dover Publication, capitolo 3 (in particolare, il paragrafo VI)

3. Teorema di Varignon: I punti medi di un arbitrario quadrilatero formano un parallelogramma piano. (dimostrarlo utilizzando i vettori geometrici). cf. sito
4. Teorema di Van der Waerden: Un pentagono in R^3, avente lati e angoli tra loro uguali, e' contenuto in un piano. cf. paragrafo 9.7 in A.Osterman, G.Wanner, Geometry by its history, Springer, sito
5. Error-Correcting codes, cf Miniature 5 in J. Matousek, Thirty-Three Miniatures, American Mathematical Society.
6.http://www.cut-the-knot.org/proofs/fords.shtml


ESERCIZI SETTIMANALI DI TUTORATO
Gli esercizi (come le dispense) sono scaricabili dalla pagina del corso su Didattica Web: consulta la pagina alla voce 'Files' in alto a destra.

Dettaglio del Programma attualmente svolto nel corso di geometria 1 con elementi di storia 1

Con [AL] si intende il libro di Algebra lineare del prof. Ciliberto, che e' stato consigliato per lo studio del corso.
Prima settimana Prodotto cartesiano. Applicazioni iniettive e suriettive. Vettori numerici a coefficienti razionali o reali: operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare. Gruppi e campi. Spazi vettoriali su un campo. Spazi vettoriali numerici. Spazio vettoriale dei vettori geometrici applicati in un punto. Vettore direttore di una retta. (capitoli 1 e 2 e dispense sugli spazi affini) (per gli esercizi di tutorato (con cenni di soluzione) vedi la nota sopra).
Seconda settimana Combinazioni lineari di vettori. Parametrizzazioni e sistema di coordinate nel piano e nella retta euclidei. Corrispondenze e relazioni. Equipollenza tra vettori applicati. Spazio vettoriale dei vettori geometrici liberi. Spazio affine euclideo e sue proprieta'. Traslazioni. Punto medio di un segmento. (dispense sugli spazi affini)
Terza settimana Struttura di spazio vettoriale indotta da una biezione. Sottospazi vettoriali. Sottospazi vettoriali finitamente generati. L'intersezione di sottospazi vettoriali e' un sottospazio vettoriale. Spazi vettoriali di matrici. Sistemi di equazioni lineari omogenee e matrici associate. Un sistema e' compatibile se e solo se la colonna dei termini noti e' combinazione lineare delle colonne della matrice dei coefficienti. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo e' un sottospazio vettoriale. (capitoli 3 e 4)
Quarta settimana Teorema di struttura per le soluzioni di un sistema lineare compatibile (Prop. 4.13). Sottospazio vettoriale generato da un insieme infinito. Sottospazi non finitamente generati. Sistemi di vettori. Dipendenza lineare di un vettore da un sistema di vettori. Sistemi di generatori minimali. Sistemi di vettori linearmente indipendenti. Un sistema di generatori e' minimale se e solo se e' linearmente indipendente. (capitoli 5 e 6)
Quinta settimana Metodo degli scarti successivi. Base e riferimento di uno spazio vettoriale. Ogni sistema di generatori contiene una base. Teorema di Steinitz per spazi vettoriali finitamente generati. Dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato. Sistemi massimi di vettori linearmente indipendenti. Completamento a una base. Trasformazioni elementari su un insieme finito di vettori.
Sesta settimana Matrici a scala. Metodo di Gauss di eliminazione. Prodotto tra matrici. Rango per righe e per colonne di una matrice.
Settima settimana L'immagine di un sottospazio tramite una applicazione lineare e' ancora un sottospazio. Riferimenti in uno spazio vettoriale finitamente generato. Corrispondenza tra sottospazi indotta da un riferimento. Equazioni cartesiane di un sottospazio. Rango di una matrice. Applicazioni al calcolo della dimensione, all'estrazione di un sistema indipendente da un assegnato insieme di generatori, alla ricerca di equazioni cartesiane di un sottospazio. Somma e somma diretta di sottospazi. Formula di Grassmann.
Ottava settimana Matrici ridotte. Trasformazioni elementari come prodotto. Matrici invertibili e determinazione esplicita della matrice inversa.
Settimana di interruzione delle lezioni (21-25 novembre). La prima prova di esonero per l'insegnamento di Geometria si svolge nella mattina di lunedi 21 novembre (ore 9:15-11:15, Aula 5 edificio PP2).
Nona settimana Matrici invertibili e loro caratterizzazione tramite il rango. Calcolo dell'inversa mediante trasformazioni elementari. Determinante e sue proprieta'.
Decima settimana Sottomatrici e rango. Teorema degli orlati e sue applicazioni (cap. 15, par. 1).
Undicesima settimana Determinante di una matrice e sue modalita' di calcolo. Spazi e sottospazi affini. Riferimenti affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Sottospazio generato da punti. Sottospazi paralleli e sottospazi sghembi. Spazio congiungente e relazione di Grassmann affine.
Dodicesima settimana Nucleo, immagine e rango di una applicazione lineare. Teorema del rango (teorema 9.16). Applicazioni lineari definite su una base. [cap. 9] Matrice associata a una applicazione lineare (cap. 10, par. 4). Cambi di riferimento (cap.10, par. 5) Affinita'. Applicazioni del determinante: inversa di una matrice e espressione della soluzione nel teorema di Cramer (teorema 15.6).
Tredicesima settimana Prodotto scalare definito positivo. Esempi della geometria euclidea e del prodotto scalare standard in R^n. Decomposizione ortogonale lungo un vettore. Teorema di Cauchy Schwartz. Angoli.
Quattordicesima settimana Algoritmo di Gram Schmidt di ortonormalizzazione. Sottospazi ortogonali. Spazi euclidei. Distanza e ortogonalita', con particolare attenzione al caso dimensione 3. Prodotto vettoriale (in dimensione 3). Permutazioni e determinante. Area e volume.