Geometria 1 con elementi di storia 1 a.a. 2015-16
docente Francesca Tovena

1) obiettivi di apprendimento:
conoscenza e comprensione: apprendere le nozioni di base relative all'algebra lineare, agli spazi affini e euclidei; leggere e comprendere risultati di base relativi a tali argomenti.
capacita' di applicare conoscenza e comprensione: applicare le nozioni di algebra lineare apprese per risolvere problemi geometrici.
autonomia di giudizio: lo studente sapra' applicare l'algebra lineare nella risoluzione di alcuni problemi in geometria affine e euclidea.
abilita' comunicative: lo studente sara' in grado di esporre e argomentare la soluzione di problemi; sara' inoltre in grado di discutere e riprodurre correttamente dimostrazioni di risultati di base relativi a spazi vettoriali, spazi affini e euclidei.

2)Programma
1. Spazi vettoriali e sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Teorema di Steinitz. Basi e dimensione. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari. Immagine, nucleo e rango di una applicazione lineare. Il gruppo degli automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici e rango di una matrice. Metodo di Gauss per il calcolo del rango. Sistemi lineari. Sistemi compatibili. Teorema di Rouche'-Capelli. Primo e secondo teorema di unicita'. Sistemi dipendenti da parametri. Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Gauss di eliminazione. Sistemi ridotti e normali. Matrici e applicazioni lineari. Matrici invertibili. Matrici ortogonali. Cambiamenti di base. Determinanti, modalita' di calcolo e applicazioni. Teorema di Binet. Teorema degli orlati. Teorema di Cramer. Prodotti scalari definiti positivi. Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
2. Spazi affini. Dimensione di uno spazio affine. Vettori liberi e applicati. Sottospazi affini di uno spazio affine e loro giaciture. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine. Dipendenza e indipendenza di punti. Mutua posizione di sottospazi affini. Sistemi di sottospazi: fasci e stelle. Affinita'. Orientazione. Spazi euclidei. Riferimenti ortonormali. Prodotto vettoriale. Aree e volumi.
3. Elementi di Storia.

TESTI CONSIGLIATI C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri
Note messe a disposizione dal docente [consulta la pagina alla voce 'Files' in alto a destra].

Modalita' di verifica La prova di verifica si compone di una prova scritta propedeutica e una prova orale. La prova orale va sostenuta nella stessa sessione d'esame della prova scritta. Ai fini della prova orale, il candidato prepara una tesina relativa ai crediti di storia; essa va redatta in forma scritta, consegnata almeno quattro giorni prima della prova anche tramite posta elettronica, e portata in copia scritta in occasione della prova orale.
L'iscrizione all'esame avviene tramite totem, almeno quattro giorni prima della data dell'esame. La prima volta che ci si prenota all'esame, si ha la possibilita' di compilare un questionario di valutazione dell'insegnamento.
Risultati relativi alla prova scritta dell'appello della sessione autunnale: Riccitelli <10, Secciani 16.
Come concordato in classe, gli orali sono anticipati alle ore 9 di giovedi 23.


Dettagli per la tesina relativa al credito di storia della matematica.
Redigere in forma scritta un breve testo (indicativamente un massimo di 3 pagine). Consegnarne copia (anche via email) almeno tre giorni prima dell'orale e portarne una copia scritta in occasione della prova orale. In occasione della prova del 29 gennaio, e' possibile portarne direttamente una copia per l'orale.
Temi: (in corso di completamento)
1. La geometria sferica e i suoi assiomi.cf. A.B.Sossinsky, Geometrie file
(pag. 67-71; in particolare, Teorema 6.4.5 sui triangoli sferici)
2. Criteri di congruenza tra triangoli sferici. Teorema del seno e del coseno e analogo sferico. cf. paragrafo 2. in 'Giuseppe De Cecco, Elisabetta Mangino, Quaderni di Matematica, La Sfera in geometria e in geografia' file Per l'intera opera, consultare: http://siba-ese.unisalento.it/index.php/quadmat/issue/view/780
3. Teorema di Varignon: I punti medi di un arbitrario quadrilatero formano un parallelogramma piano. (dimostrarlo utilizzando i vettori geometrici). cf. sito
4. Teorema di Ceva e applicazioni, cf. sito
5. Teorema di Menelao e applicazioni, cf. sito
6. Teorema di Van der Waerden: Un pentagono in R^3, avente lati e angoli tra loro uguali, e' contenuto in un piano. cf. paragrafo 9.7 in A.Osterman, G.Wanner, Geometry by its history, Springer, sito
7. regione di raggiungibilita' di un braccio robotico, cf. Teorema 1.2 in J. O'Rourke, How to fold it, Cambridge University Press, sito

ESERCIZI SETTIMANALI DI TUTORATO Gli esercizi (come le dispense) sono scaricabili dalla pagina del corso su Didattica Web: consulta la pagina alla voce 'Files' in alto a destra.

Programma svolto nel corso di geometria 1 con elementi di storia 1

Con [AL] si intende il libro di Algebra lineare del prof. Ciliberto, che e' stato consigliato per lo studio del corso.
Prima settimana Prodotto cartesiano. Vettori numerici a coefficienti razionali o reali: operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare. Gruppi e campi. Spazi vettoriali su un campo. Spazi vettoriali numerici. Applicazioni iniettive e suriettive.
Seconda settimana Combinazioni lineari di vettori. Polinomi in una variabile a coefficienti in un campo. Applicazioni iniettive e suriettive e loro inversa destra e sinistra. Vettori applicati e vettori geometrici e la relativa struttura di spazio vettoriale. Spazio affine euclideo. Definizione di spazio affine su un campo.
Terza settimana Sottospazi vettoriali e loro chiusura rispetto alle combinazioni lineari. Esempi. L'intersezione arbitraria di sottospazi e' un sottospazio. Sistemi di equazioni lineari. Matrice completa e incompleta di un sistema lineare. Descrizione parametrica delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo e' un sottospazio vettoriale. Spazio vettoriale delle matrici. Trasposizione di una matrice. Matrici simmetriche. Traccia di una matrice quadrata. Applicazioni lineari. Sottospazio vettoriale generato da un insieme finito di vettori. Dipendenza lineare di un vettore da un insieme. Un sistema lineare con un numero finito di equazioni ammette soluzione se e solo se il termine noto appartiene al sottospazio vettoriale generato dalle colonne della matrice dei coefficienti.
Quarta settimana [Cap. 5 di AL] Matrici antisimmetriche. Sottospazio vettoriale generato da un insieme infinito di vettori. Spazi finitamente generati. Esempi di spazi f.g. e spazi non f.g. Dipendenza e indipendenza lineare. Insieme di generatori minimali/con proprieta' di unicita' di scrittura/linearmente indipendenti. Ogni sistema di generatori finito contiene un sistema di generatori linearmente indipendente. Metodo degli scarti successivi.
Quinta settimana [Cap. 6 di AL] Base di uno spazio vettoriale finitamente generato. Teorema di Steinitz. Dimensione di uno spazio vettoriale f.g.. In uno spazio f.g., ogni insieme di vettori linearmente indipendenti e' contenuto in una base. Somma e somma diretta di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann (cap. 7, par. 6). Metodo del completamento ad una base.
Sesta settimana [Cap. 7 di AL] Prodotto matrice per vettore. Rango per righe e rango per colonne. U n sistema lineare e' compatibile se e solo se matrice completa e incompleta hanno lo stesso rango per colonne. Traslazioni in uno spazio vettoriale. Teorema di struttura per lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare (Prop. 4.13, cap. 3, par. 3). Sottospazi affini e loro giacitura (dispense sui sottospazi affini).
Settima settimana Dimensione e codimensione di un sottospazio affine. Rette, piani, iperpiani affini. Sottospazio affine generato da un insieme di punti. Punti indipendenti. Intersezione e spazio congiungente di due sottospazi affini. Parallelismo tra sottospazi affini. Sottospazi affini sghembi. Formula di Grassmann affine. Riferimenti affini. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine.
Ottava settimana In ogni matrice il rango per righe coincide con il rango per colonne. Trasformazioni elementari su un insieme finito di vettori, e loro applicazioni. Sistemi lineari equivalenti. Metodo di Gauss di eliminazione. Matrici a scala.
Nona settimana Primo e secondo teorema di unicita' per sistemi lineari. Matrici ridotte e completamente ridotte. Sottomatrici. Il rango di una matrice coincide con il massimo rango di una sua sottomatrice quadrata. Prodotto tra matrici.
Decima settimana Proprieta' del prodotto tra matrici. Matrici invertibili. Matrici elementari. Una matrice quadrata e' invertibile se e solo se ha rango massimo. Matrice inversa come prodotto di matrici elementari. Calcolo della matrice inversa tramite trasformazioni elementari. Forma esplicita dell'inversa di una matrice invertibile 2x2. Applicazioni lineari. Basi di Hamel. Determinante di un endomorfismo.
Undicesima settimana Caso della moltiplicazione a sinistra per una matrice. Immagine e Nucleo di una applicazione lineare. Determinante di un endomorfismo. Immagine e antiimmmagine di sottospazi vettoriali rispetto ad una applicazione lineare. Matrice associata ad una applicazione lineare. Permutazioni e loro segno. Determinante di una matrice e sue proprieta' (definizione attraverso le permutazioni e sviluppo di Laplace rispetto a una riga o una colonna).
Dodicesima settimana Teorema fondamentale dell'algebra lineare. Cambi di base. Matrici simili. Sistemi lineari omogenei di rango n-1 e n incognite. Applicazione lineare definita su una base. Applicazioni lineari con condizioni. Matrice dei cofattori e matrice inversa. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker (o degli orlati) e sua applicazione alla determinazione delle equazioni cartesiane di un sottospazio vettoriale o affine.
Tredicesima settimana Prodotto scalare definito positivo. Esempi della geometria euclidea e del prodotto scalare standard in R^n. Decomposizione ortogonale lungo un vettore. Teorema di Cauchy Schwartz. Angoli.
Quattordicesima settimana Algoritmo di Gram Schmidt di ortonormalizzazione.Spazi euclidei. Distanza e ortogonalita'. In R^3: prodotto vettoriale e sue applicazioni.