Fondamenti della Matematica di base a.a. 2021-2022
(LM 85 bis - Facolta' di Scienze della formazione - LUMSA)
Obiettivi formativi: Conoscenza e capacita' di comprensione: La
teoria
assiomatica e l'attenzione rivolta alle definizioni costringe ad una
riflessione e una piena padronanza del linguaggio, e a un attento
ascolto.
Capacita' di applicare conoscenza e comprensione Lo studente sapra'
utilizzare alcuni aspetti della matematica per modellizzare, affrontare e
risolvere varie situazioni problematiche.
Autonomia di giudizio: lo studente sara' in grado di analizzare
criticamente una dimostrazione; di capire e valutare le difficolta' del
processo insegnamento/apprendimento in base all'argomento trattato e alla
situazione dei discenti.
Abilita' comunicative: lo studente sara' in grado di elaborare o applicare
idee, e di sostenerle con chiarezza e rigore; sollecitare, stimolare,
favorire e guidare all'interesse per il pensiero matematico.
Lo studio di alcuni elementi fondanti dell'aritmetica e della geometria
permette e induce una riflessione sulla matematica e il suo ruolo
educativo, nonche' sulle modalita' di insegnamento.
Contenuti del corso Elementi di logica. Introduzione alla geometria piana,
attraverso il libro I degli Elementi di Euclide e risultati correlati.
Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N, Z, Q, R. Algebra
geometrica e proprieta' delle operazioni. Numeri primi. Elementi di
probabilita' e statistica.
Prerequisiti: competenze matematiche acquisite nella formazione
scolastica primaria e secondaria; in particolare, operazioni tra frazioni,
operazioni tra numeri reali scritti in forma decimale, espressioni,
nomenclatura e calcolo di perimetro e area dei triangoli, del cerchio e dei principali quadrilateri piani.
Testi di riferimento:
- L.Russo, G.Pirro, E.Salciccia, Euclide: il I libro degli Elementi, Carocci Editore, collana Frecce
Per una traduzione inglese e' possibile consultare il
sito.
Per una traduzione italiana commentata dei libri 1-4 e' possibile consultare, in alternativa,
il
sito con
i commenti curati da Federigo Enriques e suoi collaboratori.
Per una traduzione italiana commentata dell'intera opera, e' possibile consultare
anche 'Gli elementi' di Euclide, curato da Frajese A., Maccioni M.
Editore: UTET Collana: Classici della scienza (1996) o il sito
http://www.scienzaatscuola.it/euclide.html.
- Dispense messe a disposizione su questo sito o sul
sito docente.
Descrizione della verifica di profitto Verifica propedeutica dei prerequisiti e
prova orale. I prerequisiti riguardano le
competenze preliminari sulle operazioni e le espressioni con frazioni e
numeri decimali.
Nel rispetto degli obiettivi formativi fissati, la prova orale si svolge nel modo seguente:
- viene verificata la sussistenza dei prerequisiti; la prova orale prosegue unicamente se tale verifica ha esito positivo;
- il docente formula al candidato/a un quesito relativo a un argomento selezionato dal candidato stesso
nella lista [file];
-il docente pone al candidato due ulteriori quesiti, su differenti ambiti del programma.
Per ogni argomento e quesito trattato, vengono richiesti un utilizzo consapevole e corretto del linguaggio tecnico correlato,
la comprensione delle motivazioni e l'individuazione sintetica degli aspetti principali,
la capacita' esporre con chiarezza e di argomentare anche tramite dimostrazioni, la capacita' di svolgere esercizi correlati
al quesito in discussione.
Per ogni argomento e quesito trattato, viene richiesto un utilizzo consapevole e corretto del linguaggio tecnico correlato,
la comprensione delle motivazioni e l'individuazione sintetica degli aspetti principali,
la capacita' esporre con chiarezza e di argomentare anche tramite dimostrazioni.
Le modalita' di verifica possono essere modificate a seconda dell'andamento della pandemia e alle indicazioni da parte dell'Ateneo.
E' necessaria l'iscrizione per poter sostenere l'esame.
In base al numero di candidati iscritti, accade frequentemente che
l'esame si prolunghi su piu' giorni.
Istruzioni per gli esami in modalita' telematica
I candidati ricevono per e-mail l'invito alla riunione telematica indetta su Meet per effettuare l'esame.
L'orario di convocazione rispetta l'ordine di prenotazione. La registrazione dell'esame e' vietata.
Gli studenti sono tenuti al rispetto delle linee guida dell'Ateneo relative alle fasi di esame.
I candidati posso parlare intervenendo solo quando sono interrogati.
E' sufficiente che ciascun candidato partecipi pochi minuti prima dell'orario della propria convocazione.
Ciascun candidato deve avere a disposizione
- un documento o il libretto da esibire,
- una webcam che li riprenda,
- fogli e penna (e possibilmente riga e compasso) per poter scrivere elaborando le proprie risposte,
- la possibilita' di mostrare tramite webcam quanto viene scritto sui fogli.
Non e' ammessa la consultazione di materiale didattico (tranne che per studenti che sono stati esplicitamente autorizzati).
Quando ha terminato la propria prova, il candidato e' libero di lasciare la riunione.
Dettaglio sul programma svolto
(aggiornato con il proseguire delle lezioni)
Nel primo semestre le lezioni sono accessibili anche via Meet al link meet.google.com/whx-wukj-vsm .
Alcuni argomenti sono noti agli studenti dai precedenti cicli di studio e non viene per
essi fornito materiale specifico per il ripasso.
esercizi sulle frazioni (prerequisito)
ulteriori esercizi sui prerequisiti
Introduzione alla logica matematica: dispense di logica matematica
1_Lunedi 4 ottobre:
Introduzione all'insegnamento e alla logica matematica.
2_Giovedi 7 ottobre:
Proposizioni. Elenco dei connettivi logici.
Tavole della verita'. Se e solo se e equivalenza tra proposizioni.
3_Lunedi 11 ottobre: Congiunzione e disgiunzione tra proposizioni.
Effetto della negazione su congiunzione e disgiunzione. Implicazione.
4_Giovedi 14 ottobre: Proposizioni elementari.
Proprieta' associativa e proprieta' commutativa di congiunzione e disgiunzione. Eercizi sulle tavole della verita'.
5_Lunedi 18 ottobre: Esecizi sulle tavole della verita'.
Proposizioni aperte. Quantificatori.
Proposizioni universali e particolari, affermative e negative; rappresentazione insiemistica.
6_Giovedi 21 ottobre: Sillogismi condizionali. Sillogismi categorici e loro classificazione
tramite modo e figura.
7_Lunedi 25 ottobre: Conclusione logicamente corretta in un sillogismo categorico e rappresentazione insiemistica. Esempi e esercizi.
8_Giovedi 28 ottobre: Revisione dei sillogismi condizionali e categorici.
Introduzione ai sistemi assiomatici. Necessita' diun sistema assiomatico.
Terminologia di un sistema assiomatico: oggetti primitivi, assiomi, norme comuni, definizioni,
teoremi, dimostrazioni.
9_Giovedi 4 novembre: Esempi di dimostrazioni dirette. Numeri naturali e nozione di numero successivo.
Divisione euclidea tra numeri naturali. Rappresentazione algebrica della divisione euclidea in forma a= bq+r,
come prodotto del divisore b e del quoziente q cui viene sommato il resto r.
Numeri pari e dispari.
Multiplo di un numero naturale. Divisore di un numero naturale. Il quadrato di un qualsiasi numero pari e' pari.
10_Lunedi 8 novembre: Se un numero naturale a divide un numero naturale b, allora a divide ogni multiplo di b. Il quadrato di
un qualsiasi numero pari e' divisibile per 4. Il quadrato di
ogni numero dispari e' dispari. Tipologie dei passi dimostrativi. Dimostrazioni dirette e indirette.
11_Giovedi 11 novembre: multipli e divisori di un numero naturale. Esistenza del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo
di due numeri naturali.
12_Lunedi 15 novembre: massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Interpretazione geometrica del MCD.
13_Giovedi 18 novembre: proprieta' del massimo comune divisore tra due numeri naturali.
Introduzione all'algoritmo delle sottrazioni successive. Minimo comune multiplo e sue proprieta'.
Interpretazione geometrica del minimo comune multiplo.
Relazione tra MCD e mcm e il prodotto dei due numeri
14_Giovedi 25 novembre: L'algoritmo delle sottrazioni successive di Euclide per la determinazione del MCD di due numeri naturali.
15_Lunedi 29 novembre: Determininazione della identita' di Euclide-Bezout e sua interpretazione.
16_Giovedi 2 dicembre: Esempi e esercizi. Algoritmo della divisione euclidea nella Psicoaritmetica di Maria Montessori.
17_Lunedi 6 dicembre: Scrittura decimale posizionale e algoritmo della divisione euclidea. Estensione dell'algoritmo al caso di numeri reali
rappresentati in forma decimale con un numero finito di cifre decimali.
18_Giovedi 9 dicembre: moltiplicazione e divisione tra segmenti: Teorema di Talete.
19_Lunedi 13 dicembre: Triangoli simili e applicazioni del Teorema di Talete.
20_Lunedi 20 dicembre: Teorema di Pitagora per triangoli rettangoli isosceli. Numeri irrazionali.
Dimostrazione algebrica dell'irrazionalita' di radice di 2.
21_Giovedi 23 dicembre: Scrittura posizionale dei numeri naturali in base arbitraria. Algoritmi di somma e sottrazione in base arbitraria.
22_Giovedi 17 febbraio 2022: Introduzione agli Elementi di Euclide, teoria assiomatica della geometria piana, definizione di circonferenza,
triangolo, triangolo equilatero. Enunciato
e dimostrazione della Proposizione I.1.
23_Lunedi 21 febbraio: Definizione di triangolo isoscele. la Proposizione I.4 e' considerata un assioma;
enunciato e dimostrazione delle proposizioni I.2, I.3, I.5.
24_Giovedi 24 febbraio: definizione geometrica di angolo retto, perpendicolarita' tra rette.
La proposizione I.8 e' considerata un assioma; enunciato e dimestrazione delle Proposizioni I.6, I.9, I.10, I.11,
I.12, I.15.
Enunciato delle proposizioni I.7, I.8, I.13, I.14.
23_Lunedi 28 febbraio: lezione cancellata
24_Giovedi 3 marzo: lezione cancellata
25_7 marzo: Completamento dello studio del primo libro degli Elementi di Euclide. Nomenclatura relativa al cerchio.
Teorema dell'angolo al centro e alla circonferenza. Areogrammi
26_10 marzo: Definizione di numero primo. Crivello di Eratostene. Ogni numero naturale >1 ammette un fattore primo.
I numeri primi sono infiniti.
27_14 marzo: Enunciato del teorema fondamentale dell'aritmetica. Introduzione alla rappresentazione decimale dei numeri reali.
28_ 17 marzo: Frazioni decimali e rappresentazioni decimali limitate. Rappresentazioni decimali periodiche e
rappresentazione decimale dei numeri razionali
non equivalenti a frazioni decimali. Caratterizzazione di numeri irrazionali
nei termini della loro rappresentazione decimale.
29_Lunedi 21 marzo: Elementi di statistica: indagini statistiche, rappresentazione grafica dei dati,
media aritmetica, mediana, moda. Probabilita'
discreta classica: definizione ed esempi.
30_Giovedi 24 marzo:
Le lezioni sono concluse.