Fondamenti di Matematica a.a. 2014-15
(LM 85 bis - Facolta' di Scienze della formazione - LUMSA)

Obiettivi formativi: Conoscenza e capacita' di comprensione: La teoria assiomatica e l'attenzione rivolta alle definizioni costringe ad una riflessione e una piena padronanza del linguaggio, e a un attento ascolto.
Capacita' di applicare conoscenza e comprensione Lo studente sapra' utilizzare alcuni aspetti della matematica per modellizzare, affrontare e risolvere varie situazioni problematiche.
Autonomia di giudizio: lo studente sara' in grado di analizzare criticamente una dimostrazione; di capire e valutare le difficolta' del processo insegnamento/apprendimento in base all'argomento trattato e alla situazione dei discenti.
Abilita' comunicative: lo studente sara' in grado di elaborare o applicare idee, e di sostenerle con chiarezza e rigore; sollecitare, stimolare, favorire e guidare all'interesse per il pensiero matematico. Lo studio di alcuni elementi fondanti dell'aritmetica e della geometria permette e induce una riflessione sulla matematica e il suo ruolo educativo, nonche' sulle modalita' di insegnamento. Contenuti del corso Elementi di logica. Introduzione alla geometria piana, attraverso il libro I degli Elementi di Euclide e risultati correlati. Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici N, Z, Q, R. Algebra geometrica e proprieta' delle operazioni. Numeri primi. Elementi di probabilita' e statistica.
Prerequisiti: competenze matematiche acquisite nella formazione scolastica primaria e secondaria.
Testi di riferimento: Elementi di Euclide, Libro I (vedi ad esempio il sito http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html su Euclide). Per una traduzione italiana commentata, e' possibile consultare anche 'Gli elementi' di Euclide, Curato da Frajese A., Maccioni M. Editore: UTET Collana: Classici della scienza (1996) Dispense messe a disposizione su questo sito
Descrizione della verifica di profitto Prova scritta propedeutica e prova orale. Nella prova scritta, si verificheranno, in particolare, le competenze preliminari sulle operazioni e le espressioni con frazioni e numeri decimali. Le due prove saranno convocate nello stesso giorno. Chi ha superato la prova scritta deve sostenere la prova orale all'interno della stessa sessione. Nella prova orale, il candidato espone un argomento a scelta di logica matematica, uno di geometria, uno di aritmetica e uno di statistica e probabilita', selezionati seguendo le indicazioni generali fornite dal docente. E' necessaria la registrazione per poter sostenere l'esame. Qualora il candidato sostenga la prova orale in un appello differente dalla prova scritta, e' tenuto ad iscriversi nuovamente all'esame. In base al numero di candidati iscritti, e' possibile che l'esame si prolunghi su piu' giorni.
risultato complessivo delle prove di esercitazione.
Orario di ricevimento lunedi, ore 16-18, sala docenti di Piazza delle Vaschette. LUNEDI 11 MAGGIO NON SI SVOLGERA' RICEVIMENTO.
Orario di lezione L'insegnamento e' annuale. Le lezioni si svolgono il lunedi (14,00-16,00, Aula Traglia, Traspontina) e il giovedi (14,00-16,00, Aula 1, Vaschette).
LE LEZIONI SONO TERMINATE.

Programma svolto nel primo semestre
Introduzione al corso. Introduzione alla logica matematica. prima parte delle dispense di logica connettivi logici: congiunzione e disgiunzione. Tavole della verita'. Interpretazione insiemistica. Proposizioni aperte. Negazione. Quantificatori e loro negazione. Implicazione e coimplicazione. Contronominale di una implicazione. Tautologie.
Sillogismi condizionali e categorici: classificazione, rappresentazione insiemistica, discussione. Introduzione ai sillogismi
Teorie assiomatiche. Modalita' di dimostrazione.
Insiemi numerici: naturali, interi, razionali e reali. Operazioni negli insiemi numerici (comprese le modalita' operative di calcolo tra numeri razionali e decimali). Rappresentazione degli insiemi numerici nella linea dei numeri. La radice quadrata di 2 non e' un numero razionale. Multipli e divisori nei numeri naturali.
Teoria assiomatica della geometria piana: proposta di Euclide nel primo libro degli Elementi (note) e revisione di Hilbert. Termini primitivi (punto, linea e suoi estremi, segmento, superficie e suoi estremi, superficie piana). Definizioni di angolo e angolo rettilineo, angoli adiacenti, angolo retto e segmenti perpendicolari, circonferenza, figure piane delimitate da una poligonale chiusa non intrecciata, triangolo scaleno-isoscele-equilatero. Assiomi della geometria piana. Norme comuni.
Proposizioni I.1, I.2, I.3 e I.4 e corrispondenti modifiche degli assiomi. (note) Prop I.5, I.6, I.7, I.9, I.10, I.11, I.12.
Solo enunciato: I.13 e I.14.
Prop. I.15, I.16, I.17, I.18, I.19, I.20.
Solo enunciato: I.23, I.8, teoremi di congruenza tra triangoli (in particolare, I.26). Discussione dell'enunciato del teorema 32 (la cui dimostrazione richiede il quinto postulato). Programma attualmente svolto nel secondo semestre Proposizione I.27 e I.28: caratterizzazione del parallelismo tra rette mediante lo studio degli angoli formati con una retta trasversale comune. Proposizione I.29. Enunciato della Prop. I.30.
Proposizione I.31 (esistenza di una retta parallela ad una retta data e passante per un punto dato).
Proposizione I.32 (angolo esterno e somma degli angoli interni di un triangolo). Formula dell'area di un rettangolo, di un parallelogramma, di un triangolo (prop. da I.33 a I.46).
Duplicazione del quadrato. Teorema di Pitagora (Prop. I.47 e I.48). Applicazioni al disegno della radice di un numero naturale.
Teorema di Talete e sue applicazioni al disegno della moltiplicazione di segmenti file. Teorema dell'angolo al centro e alla circonferenza ( sito polymath.
Proprieta' delle operazioni tra numeri reali.
Per numeri naturali: Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Metodo di Euclide per il calcolo del massimo comune divisore tra due numeri naturali. file
Scrittura posizionale dei numeri naturali. Scrittura in base a e somma di numeri in base a ( Basi di numerazione , Progetto Matematica).
Numeri primi. Teorema fondamentale dell'aritmetica (senza dimostrazione dell'unicita' della scomposizione in fattori primi, (wikipedia)). I numeri primi sono infiniti. Crivello di Eratostene (wikipedia)
Principio di induzione (wikipedia, fino al principio di induzione forte escluso).
Elementi di statistica. Rappresentazione di dati tramite istogrammi e areogrammi.
Elementi di probabilita': eventi certi, possibili, impossibili. Nozione di probabilita' (per un numero finito di casi possibili).