Complementi di Matematica (TFA, Classi A047 e A048)

Programma e diario delle lezioni
Prima lezione Distanza nello spazio euclideo e sua invarianza per movimenti rigidi. Isometrie e loro proprieta'. Definizione di gruppo. Le isometrie formano un gruppo. Gruppo delle isometrie di un triangolo equilatero. Gruppi di trasformazione. Geometria nel senso di Klein.
Seconda lezione Geodetiche sulla sfera. Due archi di cerchio massimo si intersecano sepre in due punti antipodali. Per due punti distinti della sfera passa sempre un arco di cerchio massimo, non necessariamente unico. Biangoli e loro area. Triangoli e somma dei relativi angoli interni.
Terza lezione Gli assiomi euclidei della geometria piana. Caratterizzazione del parallelismo tra rette. Circonferenze sferiche.
Quarta lezione Criteri di congruenza tra triangoli sferici. Teorema del seno e del coseno e analogo sferico. cf. Giuseppe De Cecco, Elisabetta Mangino, Quaderni di Matematica, La Sfera in geometria e in geografia
Per l'intera opera, consultare:
http://siba-ese.unisalento.it/index.php/quadmat/issue/view/780
Quinta lezione Relazioni di equivalenza e insieme quoziente. La geometria ellittica.
Sesta lezione La distanza sul quoziente della sfera rispetto al passaggio all'opposto. Proiezione stereografica. Inversione rispetto ad una circonferenza.
Settima lezione Proprieta' dell'inversione rispetto ad una circonferenza (immagine di rette e cerchi). inversione
Ottava lezione Proprieta' dell'inversione rispetto ad una circonferenza. Cerchi invarianti. Cerchi tra loro ortogonali.
Nona lezione Il Modello del Disco di Poincare': definizione e prime proprieta': elenco degli assiomi, esistenza di una inversione rispetto ad una h-retta che muta un punto arbitrario nel centro, esistenza e unicita' di una h-retta per due punti distinti. sito David C. Royster
Decima lezione Il Modello del Disco di Poincare': esistenza e unicita' della perpendicolare ad una h-retta data e passante per un punto dato, studio della somma degli angoli interni di un h-triangolo, definizione di h-rotazione e h-circonferenza, descrizione delle h-circonferenze, definizione di parallelismo tra h-rette.
Undicesima lezione Angoli di parallelismo nel modello del Disco di Poincare' (cf pag. 104 delle dispense di C. Royster, oppure sito P.M.) . La sfera di Riemann. Le trasformazioni di Moebius (o trasformazioni lineari fratte): esempi e proprieta'.
Dodicesima lezione Una trasformazione di Moebius e' individuata dall'immagine di tre punti a due a due distinti. Definizione di birapporto di una quaterna di punti. Le trasformazioni di Moebius conservano il birapporto e trasformano ogni retta (risp. circonferenza) in una retta o una circonferenza. (cf. il video di Douglas Arnold and Jonathan Rogness (University of Minnesota) che spiega le trasformazioni di Moebius utilizzando la proiezione stereografica). Trasformazione di Moebius che manda il disco unitario nel semipiano superiore. Il modello di geometria iperbolica del semipiano superiore di Poincare'. La distanza di due punti nel semipiano superiore di Poincare'.

sito Progetto Matematica Universita' di Bologna
sito del Prof. Maccaferri

Modalita' d'esame: Soluzione, con redazione scritta e discussione orale, di esercizi relativi agli argomenti del corso.