Complementi di Geometria, a.a. 2020-2021, codice Insegnamento 8067364, codice Teams eng4ifw,
corso di Laurea in Scienze e tecnologie per i media
8 CFU, 64 ore di lezione.
Insegnamento erogato in modalita' mista

Obiettivi formativi: -Conoscenza e comprensione: Relativamente agli argomenti trattati durante le lezioni, gli studenti sanno identificare gli argomenti chiave disciplinari, le motivazioni nella scelta delle relative tecniche.
-Capacita' di applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti sanno studiare la ricostruzione di un oggetto in 3D, conoscendone due o 3 distinti immagini 2-dimensionali piane. Conoscono e sanno determinare la matrice fondamentale nel caso di 2 proiezioni e il tensore trifocale nel caso di 3 immagini.
-Autonomia di giudizio: Gli studenti sanno analizzare e discutere le immagini e la possibilita' di ricostruire gli oggetti in esse rappresentato, discutendo quando sia possibile la ricostruzione dell'oggetto. Inoltre, sanno riconoscere se il metodo utilizzato per la ricostruzione e' corretto e sanno discuterne efficacia e costi computazionali.
-Abilità comunicative: Gli studenti espongono con chiarezza e capacita' di sintesi i modelli e le tecniche utilizzate, mettendone a fuoco le principali caratteristiche
-Capacità di apprendere: Gli studenti sanno apprendere nuove tecniche utili nelle procedure di ricostruzione delle immagini e discuterne caratteristiche e opportunità

Programma: Introduzione alla Geometria della Computer Vision Spazi proiettivi in due e tre proiezioni e trasformazioni proiettive; dualità; struttura metrica e quadrica assoluto. Funzioni di costo per le trasformazioni. Computer Vision con una sola proiezione: descrizione e caratteristiche dei vari modelli (con particolare attenzione alla pinhole camera con centro finito o infinito), errori e distorsioni, tecniche di calibrazione. Computer Vision con due proiezioni (visione binoculare) e matrice fondamentale; il teorema di ricostruzione proiettiva; ricostruzione dei parametri del sistema visivo a partire dalla matrice fondamentale; geometria epipolare affine. Computer Vision con tre proiezioni: il tensore trifocale. Cenni sulla Computer Vision con N proiezioni.

Testi di riferimento Hartley-Zisserman, Multiple View geometry, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge, 2003
Faugeras-Luong, The Geometry of Multiple Images, MIT Press, Cambridge, 2001
Note del docente messe a disposizione tramite portale Teams e tramite la pagina dell'insegnamento) su Didattica Web.


Modalita' di verifica: L'insegnamento prevede la preparazione di un progetto su tema concordato col docente e una prova orale. Tramite tali prove, sono verificate l'autonomia e la consapevolezza nell'utilizzo delle tecniche apprese, la completezza e la chiarezza espositiva, la capacita' di sintesi. Nel progetto, lo studente risolve alcuni problemi, applicando e, ove serve, adattando i metodi appresi nell'ambito dell'insegnamento e motivando la propria strategia risolutiva. Nella prova orale, lo studente illustra e discute il proprio progetto e risponde a quesiti correlati.
Lo studente e' pregato di concordare con il docente il tema del progetto richiedendolo via email in tempo utile.

Appelli d'esame: Le date degli appelli vengono riportate nel sito del Corso di studio [ sito]

Diario delle lezioni
Lezione1_8 marzo 2021 Presentazione dell'insegnamento e delle modalita' di esame. Definizione di macchina fotografica. Modello della pinhole camera. Proiezioni prospettiche nello spazio euclideo. Breve introduzione storica alla prospettiva. Descrizione della proiezione prospettica nel sistema di coordinate della macchina fotografica. Revisione della rappresentazione parametrica di una retta, della rappresentazione cartesiana di un piano, della ricerca dell'intersezione tra retta e piano Proiezione parallela nello spazio euclideo e teoria delle ombre. Descrizione della proiezione parallela in un sistema di riferimento adattato . Proprieta' della proiezione parallela: caratterizzazione di due punti che hanno la stessa immagine, le immagini di tre punti allineati sono a loro volta allineate.
Lezione_2 12 marzo 2021 Teorema di Talete e proprieta' delle proiezioni centrali. Inclusione dello spazio euclideo nello spazio proiettivo. Punti all'infinito e loro interpretazione come direzioni delle rette affini. Equazione parametrica di una retta proiettiva. Equazione omogenea di un piano proiettivo.
Lezione_3 15 marzo 2021 Completamento proiettivo di un piano affine nello spazio euclideo 3-dimensionale. Equazioni parametriche e omogenee dei sottospazi proiettivi. In ambiente euclideo: distanza punto piano, prodotto scalare, vettore normale a un piano.
Lezione_4 19 marzo 2021 In ambiente euclideo: passaggio tra equazione cartesiana e equazione parametrica di un piano. Prodotto vettoriale e sue proprieta'. Applicazione lineare indotta dal prodotto vettoriale. Soluzioni di un sistema omogeneo con n indeterminate e rango n-1.
Lezione_5 22 marzo 2021 Descrizione delle proiezioni parallele in ambiente proiettivo. Direzione di proiezione come nucleo della matrice di proiezione. Immagine di punti all'infinito. Descrizione delle proiezioni centrali in ambiente proiettivo. Immagine di punti all'infinito. Centro di proiezione come nucleo della proiezione. Decomposizione della matrice di proiezione. Proprieta' delle proiezioni centrali.
Lezione_6 26 marzo 2021Immagine di rette parallele in una proiezione centrale. Punti di fuga. Allineamento dei punti di fuga delle rette parallele a un piano dato. Proiezione centrale da un piano a una retta; descrizione in coordinate. Coefficienti della equazione omogenea come coordinate omogenee. Determinazione della equazione omogenea di una retta tra due punti mediante minori a segno alterno.
Lezione_7 29 marzo 2021Proiezione di un piano su una retta. Riferimenti proiettivi su una retta. Teorema fondamentale delle proiettivita' e dei riferimenti nella retta: enunciato ed esempi
Lezione_8 2 aprile 2021Dimostrazione del teorema fondamentale delle proiettivita' nella retta proiettiva. Matrice aggiunta. Quaterne proiettive di punti in una retta. Definizione di birapporto. Descrizione grafica delle proiettivita' tra rette complanari. Una proiettivita' tra due rette di un piano e' una prospettivita' se e solo se il punto di intersezione ha come immagine se stesso.
Lezione_9 8 aprile 2021Proiettivita' tra due rette complanari: asse di collineazione e proprieta' grafiche. Determinazione del birapporto. Introduzione al software Geogebra.
Lezione_10 9 aprile 2021 Utilizzo del software Geogebra per assegnare coordinate affini di piano e di retta, per determinare il punto di fuga. Analisi di una fotografia. Determinazione grafica del punto di fuga, noti i rapporti tra due segmenti consecutivi. Proiettivita' e birapporto in un fascio di rette in un piano. Quadrangolo completo e costruzione grafica di una quaterna armonica.
Lezione_11 12 aprile 2021Proiettivita', punti fissi e autovettori. Estensione della proiettivita' di una retta a rette complesse. Caratterizzazione delle involuzioni in una retta proiettiva tramite coppia di punti fissi, reali o complessi coniugati. Matrice dell'involuzione quando i punti fissi sono l'origine e il punto all'infinito. Coppie involutorie.
Lezione_12 15 aprile 2021 Caratterizzazione delle involuzioni in una retta proiettiva tramite due coppie involutorie. Dualita' nella retta proiettiva. Quadriche della retta proiettiva. Polarita' rispetto a una quadrica della retta proiettiva.
Lezione_13 16 aprile 2021 Involuzione delle rette ortogonali nel completamento di uno spazio euclideo con sistema di riferimento ortonormale (Involuzione rispetto all'assoluto). I punti fissi sono i punti ciclici. Rappresentazione della coppia dei punti ciclici tramite equazione di secondo grado. Rappresentazione del prodotto scalare in base arbitraria. Matrici ortogonali e cambi tra basi ortonormali. Similitudini. Quadriche proiettive: matrice e rango. Come cambia la matrice di una quadrica in un cambio di base.
Lezione_13 19 aprile 2021 Caratterizzazione delle quadriche della retta proiettiva tramite determinante della matrice rappresentativa: coppia di punti reali, un punto doppio, coppia di punti complessi coniugati. Polarità associata a una quadrica. Involuzione indotta dalla quadrica non degenere. Nel piano proiettivo, una quadrica non degenere in una retta r induce una involuzione in ogni fascio di rette avente centro esterno a r
Lezione_14 22 aprile 2021 Matrice di una quadrica della retta proiettiva, in funzione delle coordinate duali dei suoi punti. Coniche. Classificazione delle coniche degeneri e determinazione della matrice di una conica degenere a partire dalle coordinate duali delle rette componenti. Proprieta' della polarita' nel piano (caso non degenere): un punto appartiene alla polare se e solo se appartiene alla conica, reciprocita', proprieta' di sezione. Intersezione tra retta e conica.
Lezione_15 23 aprile 2021 Assegnata una conica non degenere nel piano: intersezione tra retta e conica, retta tangente, retta tangente come polare di un punto sulla conica, polo di una retta (determinazione tramite sistema lineare o tramite intersezione delle polari di due sui punti). significato geometrico della polare, tangenti alla conica da un punto esterno. Polarita' indotta su una retta o su un fascio di rette. Polarita' sui fasci di rette indotta dall'assoluto. Conica duale. Proiettivita' del piano che mandano una coppia di rette in una fissata coppia di rette. Proiettivita' indotta sul piano duale.
Lezione_16 26 aprile 2021Teorema fondamentale delle proiettivita' e dei riferimenti nel piano proiettivo. Rettificazione affine: determinazione dell'immagine della retta all'infinito nota l'immagine di un parallelogramma, proiettivita' che trasforma una retta assegnata nella retta all'infinito, proiettivita' che lasciano complessivamente fissa la retta all'infinito, affinita' e traslazioni. Proiettivita' indotta da una affinita' sulla retta all'infinito
Lezione_17 30 aprile 2021 Nel completamento proiettivo di un piano euclideo: conica duale dei punti ciclici, effetto sulla conica duale indotto dalle proiettivita'. Rettificazione metrica: misura dell'angolo tra due rette e del rapporto tra due lunghezze lineari tramite la conica duale dei punti ciclici.
Lezione_18 3 maggio 2021Coniche proprie. Omogeneizzazione e disomogeneizzazione di un polinomio di secondo grado. Circonferenze. Matrice di calibrazione, coefficienti intrinseci.
Lezione_19 6 maggio 2021Descrizione della proiezione prospettica in un generico sistema ortonormale di coordinate dello spazio euclideo. Coefficienti estrinseci. Macchine fotografiche proiettive. Determinazione del centro. Caratterizzazione delle macchine proiettive finite. Matrici ortogonali 2x2 Decomposizione RQ di una matrice in dimensione 2.
Lezione_20 7 maggio 2021Rotazioni di Givens Decomposizione RQ di una matrice in dimensione 3. Discussione di un esempio di rettificazione metrica. Introduzione alla decomposizione SVD.
Lezione_21 10 maggio 2021Discussione di un esempio di macchina fotografica proiettiva finita. Significato geometrico delle righe e delle colonne della matrice di proiezione. Decomposizione SVD: analisi di alcune proprieta'.
Lezione_24 13 maggio 2021Matrici simmetriche e forme semidefinite positive. AA^t e A^tA sono matrici simmetriche semidefinite positive e hanno lo stesso rango di A. Decomposizione SVD di una matrice: esistenza e procedura di calcolo.
Lezione_25 14 maggio 2021Esempi di calcolo della decomposizione SVD. Applicazioni allo studio delle affinita'. Valori singolari e immagine di una circonferenza
Lezione_26 17 maggio 2021 Vettore dell'asse principale e punto principale di una macchina proiettiva finita. Immagine e controimmagine di un punto. Pseudo inversa di una matrice. Esempi.
Lezione_27 20 maggio 2021 Macchine fotografiche finite e profondita' dell'origine. Determinazione della matrice di calibrazione di una macchina fotografica proiettiva finita. Controimmagine di una retta.
Lezione_28 21 maggio 2021 Determinazione dell'angolo tra raggi mediante la matrice di calibrazione. Limite di proiezioni con centro finito. Effetto zoom. Macchine fotografiche proiettive con centro non finito e loro proprieta'; discussione sull'esistenza di un analogo del punto principale. Classificazione delle macchine fotografiche proiettive non finite affini: proiezioni ortografiche, proiezioni stereografiche riscalate, proiezioni prospettive deboli, macchine fotografiche affini. Caso non affine. Quadriche di P^3. Quadriche riducibili e coni. Polarita' rispetto a una quadrica non degenere. Interpretazione geometrica dell'iperpiano polare di un punto.
Lezione_29 24 maggio 2021 Intersezione retta-quadrica con enunciato del Teorema di Bézout per le rette. Polarita' delle rette. Coni e loro equazione. Equazione del cono tangente a una quadrica. Immagine del contorno apparente di una quadrica tramite una macchina fotografica.
Lezione_30 27 maggio 2021 Quadrica dell'assoluto e quadrica duale dell'assoluto. Utilizzo dei punti di fuga per la ricostruzione della scena. Decomposizione di ogni matrice simmetrica definita positiva come prodotto di una matrice triangolare superiore, con elementi positivi sulla diagonale, per la propria trasposta: formula esplicita nel caso 3x3 e dimostrazione generale.
Lezione_31 28 maggio 2021 Rettificazione metrica: misura del rapporto tra due lunghezze lineari tramite la conica duale dei punti ciclici. Nel piano: determinazione della matrice della quadrica all'infinito indotta dalla conica duale dei punti ciclici tramite coppia di rette ortogonali. Calibrazione tramite l'immagine di tre quadrati. Senza premettere una rettificazione affine, determinazione della matrice della conica duale dei punti ciclici tramite 5 coppie di rette ortogonali. Coefficienti estrinseci. Calibrazione tramite punti di fuga, per una macchina fotografica con pixel quadrati e priva di deformazione obliqua. Determinazione della matrice della macchina fotografica a partire dall'immagine: teorema fondamentale delle proiettivita', Direct Linear Transformation. Coniche non degeneri e loro equazione in un opportuno sistema di riferimento. Rappresentazione parametrica di una conica non degenere. Teorema di Steiner su coniche e proiettivita' tra fasci di rette (con dimostrazione parziale). Introduzione alla geometria epipolare.
Lezione_32 3 giugno 2021 Geometria epipolare; matrice fondamentale; determinazione della matrice fondamentale per via geometrica e per via algebrica (note le matrici delle due macchine fotografiche coinvolte). Matrice elementare. Caso parallelo.
Lezione_33 4 giugno 2021
Rettificazione. Decomposizione della matrice fondamentale nelle componenti simmetrica e antisimmetrica. Algoritmo degli 8 punti per la determinazione dei coefficienti della matrice fondamentale a partire da 8 coppie di punti corrispondenti. Caso con piani di proiezione paralleli. Classificazione delle coppie di macchine fotografiche aventi la stessa matrice fondamentale. Caratterizzazione delle matrici elementari.Teorema della ricostruzione proiettiva. Metodo di triangolazione lineare. Tre punti di vista. Ricostruzione stratificata. Ricostruzione metrica. Proiettivita' tra piani di proiezione compatibile con la matrice fondamentale.
Lezione_34 7 giugno 2021 Tre punti di vista. Tensore trifocale.
Lezione_35 10 giugno 2021 Corrispondenze. Criteri di corrispondenza tramite il tensore trifocale.
Lezione_36 11 giugno 2021 Esercizi.