Complementi di Geometria, a.a. 2019-2020, codice Insegnamento , corso di Laurea in Scienze e tecnologie per i media
8 CFU, 64 ore di lezione frontale.
Insegnamento erogato in modalita' convenzionale
Obiettivi formativi: -Conoscenza e comprensione: Relativamente agli argomenti trattati durante le lezioni, gli studenti sanno identificare gli argomenti chiave disciplinari, le motivazioni nella scelta delle relative tecniche.
-Capacita' di applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti sanno studiare la ricostruzione di un oggetto in 3D, conoscendone due o 3 distinti immagini 2-dimensionali piane. Conoscono e sanno determinare la matrice fondamentale nel caso di 2 proiezioni e il tensore trifocale nel caso di 3 immagini.
-Autonomia di giudizio: Gli studenti sanno analizzare e discutere le immagini e la possibilitÃ' di ricostruire gli oggetti in esse rappresentato, discutendo quando sia possibile la ricostruzione dell'oggetto. Inoltre, sanno riconoscere se il metodo utilizzato per la ricostruzione e' corretto e sanno discuterne efficacia e costi computazionali.
-Abilita' comunicative: Gli studenti espongono con chiarezza e capacitÃ' di sintesi i modelli e le tecniche utilizzate, mettendone a fuoco le principali caratteristiche
-Capacita' di apprendere: Gli studenti sanno apprendere nuove tecniche utili nelle procedure di ricostruzione delle immagini e discuterne caratteristiche e opportunita'
2)Programma: Introduzione alla Geometria della Computer Vision Spazi proiettivi in due e tre proiezioni e trasformazioni proiettive; dualità; struttura metrica e quadrica assoluto. Funzioni di costo per le trasformazioni. Computer Vision con una sola proiezione: descrizione e caratteristiche dei vari modelli (con particolare attenzione alla pinhole camera con centro finito o infinito), errori e distorsioni, tecniche di calibrazione. Computer Vision con due proiezioni (visione binoculare) e matrice fondamentale; il teorema di ricostruzione proiettiva; ricostruzione dei parametri del sistema visivo a partire dalla matrice fondamentale; geometria epipolare affine. Computer Vision con tre proiezioni: il tensore trifocale. Cenni sulla Computer Vision con N proiezioni.

Testi di riferimento Hartley-Zisserman, Multiple View geometry, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge, 2003
Faugeras-Luong, The Geometry of Multiple Images, MIT Press, Cambridge, 2001
Note del docente messe a disposizione tramite portale Teams e tramite la pagina dell'insegnamento) su Didattica Web.


Modalita' di verifica: L'insegnamento prevede (nella guida didattica) una prova scritta propedeutica e una prova orale. Tramite tali prove, sono verificate l'autonomia e la consapevolezza nell'utilizzo delle tecniche apprese, la completezza e la chiarezza espositiva, la capacità di sintesi. Nella prova scritta, lo studente risolve alcuni problemi, applicando e adattando i metodi appresi e motivando la propria strategia risolutiva. Nella prova orale, lo studente illustra e discute definizioni e tecniche apprese nell'ambito del corso, oppure espone applicazioni relative a situazioni analoghe o collegate a quelle studiate nel corso.
A motivo dell'emergenza sanitaria, le modalita' di verifica sono modificate per tutto l'arco dell'anno come segue: viene svolta solo la prova orale, nella quale il candidato discute un proprio progetto, redatto in forma scritta su argomenti concordati con il docente e reso disponibile per la lettura nei giorni precedenti la data dell'esame.
Appelli d'esame: Le date degli appelli vengono riportate nel sito del Corso di studio [ sito]

Secondo appello della sessione estive: i candidati sono convocati con il calendario seguente:
20 luglio: Padroni, Collacchi, Sumagui
28 luglio: Misciattelli, Palacio, Raule, Urbanetti.
Il calendario sara' integrato con i nominativi di eventuali ulteriori candidati.
1) MATERIALE INFORMATICO e CONNETTIVITA'
Il Dipartimento di Matematica intende fornire un supporto agli studenti dei suoi Corsi di Laurea, offrendo a coloro che ne abbiano reale bisogno computer, web-cam, connessione internet o altro materiale utile in comodato gratuito per seguire le lezioni e sostenere gli esami a distanza. Chi avesse necessita di un tale supporto, puo' richiederlo, in modo del tutto confidenziale, riempiendo il form al link link oppure consultando il sito del Dipartimento o dei Corsi di Laurea.
2) PREMI PER STUDENTI LAUREA TRIENNALE
- per l'AA 2020/21 il Dipartimento di Matematica pubblichera' un bando relativo a premi per gli iscritti ad un Corso di Laurea in STM:
-1 assegno da 1000 e 5 assegni da 400 euro per primo anno
-3 assegni da 400 euro per secondo anno
-3 assegni da 400 euro per terzo anno.
Questi premi sono in aggiunta a quelli gia' istituiti negli anni precedenti per studenti meritevoli. Informazioni dettagliate sui criteri di assegnazione saranno reperibili a breve sul sito del Dipartimento e dei Corsi di Laurea.

Diario delle lezioni

2 marzo: Modello della pinhole camera. Proiezioni prospettiche e proiezioni parallele nello spazio euclideo. Descrizione della proiezione prospettica nel sistema di coordinate della macchina fotografica. Revisione della descrizione parametrica di una retta.
3 marzo: Descrizione della proiezione prospettica in un generico sistema ortonormale di coordinate dello spazio euclideo. Nell'ambiente dello spazio euclideo, revisione della modalita' di calcolo della distanza punto-piano, del prodotto scalare euclideo, della nozione di vettore parallelo e di vettore ortogonale a un piano, nozione di versore.
4 marzo: Proiezione prospettica in coordinate omogenee. Proprieta' delle proiezioni prospettiche.
25 marzo: Proiezione nel piano. Proiezioni parallele e loro proprieta'.
30 marzo: Macchine fotografiche proiettive finite: fattorizzazione della trasformazione di formazione dell'immagine: matrice di calibrazione, rotazioni e traslazioni, coefficienti estrinseci.
31 marzo: prodotto vettoriale e soluzione di sistemi omogenei in n+1 indeterminate e rango n. Applicazione lineare indotta dal prodotto vettoriale. Spazio proiettivo numerico. Coordinate omogenee di un punto.
1 aprile: Sottospazi proiettivi, intersezione e spazi congiungenti. Sottospazi del piano proiettivo. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio. Sottospazi dello spazio proiettivo 3-dimensionale.
6 aprile: Dualità nella retta proiettiva. Teorema fondamentale delle proiettivita' e dei riferimenti nella retta Birapporto. Polarita' rispetto a una quadrica della retta proiettiva.
7 aprile: Descrizione grafica delle proiettivita' tra rette complanari. Coniche. Polarita' rispetto a una conica. Polarita' indotta su una retta o su un fascio di rette.
8 aprile: Esercizi. Teorema fondamentale delle proiettivita' e dei riferimenti nel piano proiettivo. Inclusione del piano euclideo nel piano proiettivo. Coniche proprie. Involuzione rispetto all'assoluto.
14 aprile: Proiettivita' del piano che mandano una coppia di rette in una fissata coppia di rette. Classificazione delle affinita' del piano (isometrie- similitudini- affinita'). Caratterizzazzione tramite le matrici, determinazionedelle proprieta' delle trasformazioni e dei parametri liberi.
15 aprile: Decomposizione SVD di una matrice e sua applicazione allo studio delle affinita'. Valori singolari e immagine di una circonferenza. Rotazioni di Givens
20 aprile: Decomposizione RQ di una matrice in dimensione 2 e 3. Fattorizzazione Simiitudine-affinita'-proiettivita' delle proiettivita'. Proiettivita' indotta sul piano duale. Analisi, su esempi, della proiettivita' indotta da una affinita' sulla retta all'infinito.
21 aprile: Esercizi ed esempi di fattorizzazione RQ. Fattorizzazione Similitudine-affinita'-proiettivita' delle proiettivita'. Proiettivita' indotta sul piano duale. Proiettivita' indotta da una affinita' sulla retta all'infinito
22 aprile: Rettificazione affine: proiettivita' che trasforma una retta assegnata nella retta all'infinito, determinazione dell'immagine della retta all'infinito nota l'immagine di un parallelogramma; determinazione dell'immagine della retta all'infinito tramite rapporti di lunghezze.
27 aprile: Nel completamento proiettivo di un piano euclideo: Punti ciclici e cono proiettante i punti ciclici, conica duale dei punti ciclici, effetto sulla conica duale indotto dalle proiettivita'. Rettificazione metrica: misura dell'angolo tra due rette e del rapporto tra due lunghezze lineari tramite la conica duale dei punti ciclici.
28 aprile: Caratterizzazione delle involuzioni in una retta proiettiva tramite coppia di punti fissi, oppure tramite due coppie involutorie. Quadrangolo completo e costruzione grafica di una quaterna armonica. A seguito di una rettificazione affine, determinazione della matrice della quadrica all'infinito indotta dalla conica duale dei punti ciclici tramite coppia di rette ortogonali. Decomposizione di una matrice simmetrica 2x2 come prodotto di una matrice triangolare superiore per la sua trasposta. Senza premettere una rettificazione affine, determinazione della matrice della conica duale dei punti ciclici tramite 5 coppie di rette ortogonali.
29 aprile: Decomposizione di ogni matrice simmetrica definita positiva come prodotto di una matrice triangolare superiore, con elementi positivi sulla diagonale, per la propria trasposta: formula esplicita nel caso 3x3 e dimostrazione generale. Revisione dei sottospazi dello spazio proiettivo 3-dimensionale: piani, rette, punti, fascio di piani per una retta, punto come intersezione di tre piani, spazio proiettivo duale, mutua posizione di due rette. Retta come duale di una retta. Condizione di allineamento di tre punti. Condizione di complanarita' di quattro punti. Cambio di riferimento proiettivo. Teorema fondamentale delle proiettivita' e teorema fondamentale dei riferimenti nello spazio proeittivo di dimensione 3.
4 maggio: Utlilizzo di GeoGebra per determinare coordinate dei punti in una immagine e per la determinazione grafica della linea di orizzonte e della proiettivita' che permette di ricostruire le forme in un piano. Rappresentazione di una retta dello spazio proiettivo di dimensione 3 tramite matrice di Plucker o tramite coordinate di Plucker. Quadriche.
5 maggio: Determinazione del birapporto di tre punti allineati nel piano o nello spazio. Quadriche di P^3. Quadriche riducibili e coni. Polarita' rispetto a una quadrica non degenere. Interpretazione geometrica dell'iperpiano polare di un punto. Assoluto e determinazione di un angolo. Polarita' delle rette.
6 maggio: Teorema di Desargues sui triangoli prospettivi: caso piano e in dimensione 3. Interpretazione nello spazio duale dei punti fissi di una proiettivita'. Esempio di macchina fotografica proiettiva. Individuazione dell'asse e del punto principale.
11 maggio: discussione di un esempio di macchina fotografica proiettiva finita. Vettore dell'asse principale. Immagine e controimmagine di un punto. Profondita' di un punto. Coniche non degeneri e loro equazione in un opportuno sistema di riferimento.
12 maggio: Rappresentazione parametrica di una conica non degenere. Teorema di Steiner su coniche e proiettivita' tra fasci di rette. Determinazione della matrice di calibrazione di una macchina fotografica proiettiva finita.
13 maggio: Macchine fotografiche finite e profondita' dell'origine. Limite di proiezioni con centro finito. Effetto zoom.
18 maggio: Determinazione dell'angolo tra raggi mediante la matrice di calibrazione. Controimmagine di una retta. Macchine fotografiche proiettive con centro non finito e loro proprieta'; discussione sull'esistenza di un analogo del punto principale. Classificazione delle macchine fotografiche proiettive non finite affini: proiezioni ortografiche, proiezioni stereografiche riscalate, proiezioni prospettive deboli, macchine fotografiche affini. Caso non affine.
19 maggio: Coni e loro equazione. Equazione del cono tangente a una quadrica. Immagine del contorno apparente di una quadrica tramite una macchina fotografica.
20 maggio: Quadrica dell'assoluto e quadrica duale dell'assoluto. Utilizzo dei punti di fuga per la ricostruzione dela scena. Ricostruzione della scena a partire dall'immagine di tre quadrati.
25 maggio: Determinazone dlla matrice della macchina fotografica a partire dall'immagine: teorema fondamentale delle proiettivita', Direct Linear Transformation. Calibrazione tramite l'immagine di tre quadrati. Contorno apparente di una sfera rispetto a una macchina fotografica.
26 maggio: Calibrazione tramite il contorno apparente di una sfera tramite tre immagini: conica duale del contorno apparente, determinazione dei fattori di scala, immagine del centro della sfera,
27 maggio: determinazione dell'immagine dei centri, parametri di scala dei centri. Calibrazione tramite punti di fuga, per una macchina fotografica con pixel quadrati e priva di deformazione obliqua.
3 giugno: Geometria epipolare; matrice fondamentale; determinazione della matrice fondamentale per via geometrica e per via algebrica (note le matrici delle due macchine fotografiche coinvolte). Decomposizione della latrice fondamentale nelle componenfi simmetrica e antisimmetrica. Algoritmo degli 8 punti per la determinazone dei coefficienti della matrice fondamentale a partire da 8 coppie di punti corrispondenti. Caso con piani di proiezione paralleli.
8 giugno: Matrice elementare. Caso parallelo. Rettificazione. Classificazione delle coppie di macchine fotografiche aventi la stessa matrice fondamentale. Caratterizzazione delle matrici elementari.
9 giugno: Teorema della ricostruzione proiettiva. Metodo di triangolazione lineare. Tre punti di vista. Ricostruzione stratificata. Ricostruzione metrica. Proiettivita' tra piani di proiezione compatibile con la matrice fondamentale.
10 giugno: Tensore Trifocale.