Nella sezione ESAMI sono disponibili i testi e le soluzioni delle prove scritte. Le date degli appelli della sessione estiva sono pubblicati QUI.

Analisi Matematica
per i Corsi di Laurea Triennale in Informatica - a.a. 2023-24

ORARIO (2 ottobre 2023 - 12 gennaio 2024)

Martedì Mercoledì Giovedì
11-13 9-11 9-11
Aula T7 Aula T7 Aula T7



DOCENTE
Roberto Tauraso - e-mail:

ORARIO DI RICEVIMENTO
Ogni martedì in aula dopo lezione o per appuntamento da concordare via email.

ORARIO TUTORATO
Ogni martedì dalle 14 alle 16 in Aula 5 edificio PP2 (da martedì 24/10 fino a fine corso).
I tutori sono la dott.ssa Simona Persello e il dott. Tiziano Bigazzi.

LINK UTILI
Wolframalpha:
disequazione, limite, derivata, polinomio di Taylor, integrale indefinito, integrale definito, integrale improprio, somma di una serie, equazione in C, equazione differenziale lineare del primo ordine, derivate parziali, punti critici di una funzione in due variabili.
Desmos:
grafici di due funzioni, grafico di funzione e della sua retta tangente, confronto tra il grafico di sen(x) e alcuni suoi polinomi di Taylor centrati in 0.

PROGRAMMA DEL CORSO
I dettagli degli argomenti svolti si possono consultare nel diario delle lezioni.

INSIEMI NUMERICI. Numeri interi e razionali. Numeri reali e loro proprietà. Estremo superiore e inferiore e loro proprietà. Radici, potenze e logaritmi. Numeri complessi e loro proprietà. Rappresentazione cartesiana e esponenziale. Radici n-sime complesse. L'equazione di secondo grado nel campo complesso.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. Nozioni di base: dominio, immagine, grafico. Funzioni monotone e funzioni invertibili. Richiami sulle funzioni: potenze, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e loro inverse.
SUCCESSIONI. Limiti di successioni: definizione e proprietà. Il principio di induzione. Successioni monotone. Successioni infinitesime, infinite e confronti. Forme indeterminate, limiti notevoli, il numero e. Sottosuccessioni. Il teorema di Bolzano-Weierstrass.
LIMITI E CONTINUITA' PER FUNZIONI REALI. Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale. Limite di una funzione: definizione e proprietà. Infinitesimi, infiniti e confronti. Forme indeterminate, limiti notevoli. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri.
CALCOLO DIFFERENZIALE. Derivabilità e retta tangente. Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione. Estremi locali e derivate. Teorema di Rolle, del valor medio e di Cauchy. Monotonia e derivate. Teorema di de L'Hopital e applicazioni. Derivate successive; concavità e convessità. Studio del grafico di funzioni. Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti.
CALCOLO INTEGRALE Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà. Classi di funzioni integrabili. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrabilità in senso improprio. Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze.
SERIE NUMERICHE. Definizioni. Serie positive: teorema del confronto, del confronto asintotico, della radice e del rapporto. Teorema del confronto integrale per una serie. Serie geometrica, serie armonica generalizzata. Serie a segni alterni: criterio di Leibniz.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
INTRODUZIONE AL CALCOLO DIFFERENZIALE IN PIU' VARIABILI. Derivate parziali. Definizione di gradiente e equazione del piano tangente. Matrice Hessiana e formula di Taylor fino al secondo ordine. Studio della natura dei punti critici nei casi più semplici.

TESTI CONSIGLIATI
- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli
- M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli. Epsilon 1, Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill
- A. Languasco, Analisi Matematica 1, Hoepli
- B. P. Demidovich, Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Ed. Riuniti (edizione in inglese)
- S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Matematica Vol 1, Zanichelli

ESAMI
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta consiste nello svolgimento di un certo numero di esercizi. Durante la prova i cellulari devono essere spenti e non si possono usare libri, appunti e calcolatrici. Per essere ammessi alla prova orale è necessario che la prova scritta sia sufficiente.
La prova orale consiste in una discussione sugli argomenti del programma d'esame. Se anche la prova orale è sufficiente e lo studente accetta il voto finale, si verbalizza e l'esame è concluso, altrimenti è necessario rifare la prova scritta in uno degli appelli successivi.
Date degli appelli dell'anno accademico 2023-24: sessione estiva anticipata appelli I e II, sessione estiva appelli I e II, sessione autunnale appelli I e II.
Le soluzioni delle prove verranno pubblicate alla fine della corrispondente sessione d'esame.

Data Testo Svolgimento
23/1/2024
13/2/2024

DIARIO DELLE LEZIONI

Nr. Giorno Argomento Pdf
L01 Ma 3/10/23 Introduzione al corso. L'insieme dei numeri reali R. Retta orientata e descrizione dei sottoinsiemi N, Z, Q. Rappresentazione decimale dei numeri reali. I numeri decimali periodici sono razionali. sqrt(2) è irrazionale R è un campo totalmente ordinato e completo. Un esercizio sulle disequazioni.
L02 Me 4/10/23 Introduzione alle funzioni. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Funzione inversa. Funzioni crescenti e decrescenti (monotone). Funzioni pari e dispari. Funzioni reali elementari (prima parte): funzione retta, valore assoluto, funzioni potenza con esponente intero n, radici n-sime. seno, coseno e tangente, arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Grafici di f(x+a), f(x)+a, f(-x), -f(x), f(|x|), f(-|x|), |f(x)|.
L03 Gi 5/10/23 Principio di induzione con esempi. Disuguaglianza di Bernoulli. Coefficienti binomiali e loro proprietà. Sviluppo della potenza n-esima di un binomio.
   Foglio di esercizi n. 1:    Soluzioni:
L04 Ma 11/10/23 Maggiorante, minorante, massimo, minimo di un insieme. Assioma di completezza. Estremo superiore e estremo inferiore di un insieme di numeri reali. Alcuni esempi di determinazione del sup e dell'inf di un insieme di numeri reali.
L05 Me 12/10/23 Limite di una successioni di numeri reali: definizione e primi esempi. Proprietà dei limiti: unicità del limite, ogni successione con limite finito è limitata, limite di sottosuccessione, permanenza del segno, confronto e doppio confronto, limiti della somma, del prodotto e del quoziente. Il prodotto di una successione limitata e di una successione infinitesima tende a zero. Convergenza delle successioni monotone. Forme indeterminate (prima parte). Qualche esempio di calcolo di limite.
L06 Gi 13/10/23 Qualche esempio di calcolo di limite. Forme indeterminate (seconda parte). Criterio del rapporto per successioni. Ordine di infinito e confronto tra infiniti con esempi.
   Foglio di esercizi n. 2:    Soluzioni:
L07 Ma 17/10/23 Definizione del numero di Nepero e come limite della successione (1+1/n)n (e sue forme equivalenti). La funzione parte intera di x. Qualche limite notevole.
L08 Me 18/10/23 Intorni di un punto nella retta reale estesa. Punti di accumulazione di un insieme di numeri reali. Limite per funzioni reali: definizione, prime proprietà e qualche esempio. Relazione tra i limiti di funzioni e limiti di successioni: teorema ponte. Funzioni continue: definizione, esempi e prime proprietà. Limiti notevoli per x → 0 (prima parte): (1+x)1/x, (ex-1)/x, log(1+x)/x, ((1+x)a-1)/x, sen(x)/x.
L09 Gi 19/10/23 Limiti notevoli per x → 0 (seconda parte): (1-cos(x))/x2, tan(x)/x, arcsen(x)/x, arctan(x)/x. Ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi con esempi. Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi. Esempi di utilizzo del teorema degli zeri.
   Foglio di esercizi n. 3:    Soluzioni:
L10 Ma 24/10/23 Introduzione al calcolo differenziale: definizioni di rapporto incrementale, derivata, retta tangente. Ogni funzione derivabile è continua. Calcolo delle derivate delle funzioni elementari. Calcolo della derivata di una combinazione lineare di funzioni. Calcolo della derivata del prodotto di funzioni e della derivata del quoziente di due funzioni. Calcolo della derivata di una funzione composta. Esempi di calcolo di derivate.
L11 Me 25/10/23 Definizioni di punto di massimo/minimo assoluto e relativo di una funzione. Teorema di Fermat sui punti stazionari. Teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente. Teorema di Weierstrass: una funzione continua in un un intervallo chiuso e limitato ammette un punto di massimo e un punto di minimo.
L12 Gi 26/10/23 Teorema di Lagrange (o teorema del valor medio). Criterio di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo: applicazioni ed esempi.
   Foglio di esercizi n. 4:    Soluzioni:
L13 Ma 31/10/23 Asintoti: definizione e primi esempi. Definizione di funzione convessa (e concava) in un intervallo con esempi. Criteri di convessità: f' è crescente, f'' è non negativa. Definizione di punto di flesso. Il grafico di una funzione convessa (concava) e derivabile sta sopra (sotto) le sue rette tangenti. Un esempio di studio di funzione con discussione della convessità/concavità.
L14 Gi 2/11/23 Punti di discontinuità: di salto e eliminabile. Punti di non derivabilità: punto angoloso, cuspide e flesso con tangente verticale. Un primo esempio di studio del grafico di funzione.
   Foglio di esercizi n. 5:    Soluzioni:
L15 Ma 7/11/23 Teorema di Cauchy e teorema di de L'Hopital-Bernoulli. Esempi di applicazione del teorema de L'Hopital al calcolo dei limiti. Definizione di polinomio di Taylor di una funzione di ordine n centrato in x0. Polinomi di Taylor in 0 di exp(x) e log(1+x).
L16 Me 8/11/23 Polinomi di Taylor in 0 di sin(x), cos(x), (1+x)b, arctan(x). Definizione di o-piccolo. Formula di Taylor con il resto di Peano. Qualche esempio di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo.
L17 Gi 9/11/23 Algebra degli o-piccoli . Alcuni esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo.
   Foglio di esercizi n. 6:    Soluzioni:
L18 Ma 14/11/23 Il calcolo di polinomio di Taylor senza l'uso diretto della definizione. Altri esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo. Vari esercizi svolti di calcolo differenziale.
L19 Me 15/11/23 Metodo di esaustione-compressione per il calcolo dell'area del cerchio. Definizione di funzione integrabile e di integrale definito secondo Riemann-Darboux con somme superiori e inferiori. Le funzioni continue sono integrabili. Proprietà delle funzioni integrabili: additività rispetto all'intervallo di integrazione, linearità e monotonia. Il valore assoluto di un integrale è minore o uguale dell'integrale del valore assoluto. Esempio di calcolo dell'integrale di x2 in [0,1] con la definizione.
L20 Gi 16/11/23 Definizioni di funzione primitiva. Primitive di alcune funzioni elementari. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Definizioni di funzione integrale, integrale definito e integrale indefinito. Alcuni primi esempi di calcolo.
   Foglio di esercizi n. 7:    Soluzioni:
L21 Ma 21/11/23 Tecniche di integrazione: integrazione per sostituzione e integrazione per parti. Alcuni esempi svolti di integrali indefiniti.
L22 Me 22/11/23 Algoritmo di integrazione delle funzioni razionali con riduzione a combinazione lineare di integrali di fratti semplici. Qualche esempio di applicazione dell'algoritmo.
L23 Gi 23/11/23 Vari esempi di integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali mediante sostituzioni.
   Foglio di esercizi n. 8:    Soluzioni:
L24 Ma 28/11/23 Definizione di integrale improprio su intervalli non limitati e su intervalli limitati per funzioni non limitate. Primi esempi e discussione della convergenza dell'integrale di 1/xα in (0,1] e in [1,+∞).
L25 Me 29/11/23 Teorema del confronto per gli integrali impropri di funzioni non negative. Discussione della convergenza dell'integrale di 1/(xα|log(x)|β) in (0,1/2] e in [2,+∞). Definizione di equivalenza asintotica e teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri di funzioni non negative. Alcuni esempi di discussione della convergenza di un integrale improprio.
L26 Gi 30/11/23 Esercizi vari sugli integrali impropri: esempi di discussione della convergenza e calcolo.
   Foglio di esercizi n. 9:    Soluzioni:
L27 Ma 5/12/23 Serie numeriche: definizione e primi esempi. Serie geometriche e serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza. Divergenza della serie armonica Criterio del confronto e criterio del confronto asintotico. Criterio del confronto integrale.
L28 Me 6/12/23 Vari esempi svolti di discussione della convergenza di una serie. Criterio della radice e criterio del rapporto con esempi. Cenni alle serie con termini di segno non costante. Criterio di Leibniz.
L29 Gi 7/12/23 Vari esercizi svolti sulle serie: calcolo della somma e discussione della convergenza. Il frattale di Koch e l'area sottesa (figura). Stima di asintotica di log(n!) (con cenno all'approssimazione di Stirling).
   Foglio di esercizi n. 10:    Soluzioni:
L30 Ma 12/12/23 Numeri complessi. Forma cartesiana, definizioni di somma, prodotto, coniugio, modulo. Divisione di due numeri complessi. Risoluzione di un'equazione polinomiale di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso.
L31 Me 13/12/23 Forma esponenziale di un numero complesso e formula di Eulero. Potenze di un numero complesso Radici n-esime di un numero complesso.
L32 Gi 14/12/23 Vari esempi di risoluzione di un' equazione in C. Qualche esempio di uso dei numeri complessi nel calcolo integrale reale.
   Foglio di esercizi n. 11:    Soluzioni:
L33 Ma 19/12/23 Equazioni differenziali lineari del primo ordine: fattore integrante, soluzione generale e problema di Cauchy. Alcuni esempi svolti.
L34 Me 20/12/23 Introduzione al calcolo differenziale in due o più variabili. Derivate parziali. Definizione di gradiente e equazione del piano tangente. Matrice Hessiana e formula di Taylor fino al secondo ordine. Punto di sella. Studio della natura dei punti critici.
L35 Gi 21/12/23 Svolgimento di alcuni esercizi del foglio 12.
   Foglio di esercizi n. 12:    Soluzioni:

Vacanze di Natale
L36 Ma 9/1/24 Esercizi di riepilogo - Prima parte
L37 Me 10/1/24 Esercizi di riepilogo - Seconda parte
L38 Gi 11/1/24 Esercizi di riepilogo - Terza parte