AM310 - Istituzioni di Analisi Superiore

A.A. 2013 - 2014 (II semestre)

Docente: Alfonso Sorrentino

 

AVVISI:

- [21.01.2015] Testo e Risultati della prova scritta dell’appello C. Gli orali si terranno il 26 ed il 27 gennaio.

  1. -[04.09.2014] Testo, Soluzioni e Risultati della prova scritta dell’appello X.

  2. -[04.09.2014] Registrazione per la prova orale (Appello X).

  3. -[29.07.2014] Esito della valutazione del corso da parte degli studenti [pdf].

  4. -[09.07.2014] Testo, soluzioni e risultati della prova scritta dell’appello B.

  5. -[09.07.2014] Registrazione per la prova orale (Esoneri ed Appello B).

  6. -[09.07.2014] Su richiesta di alcuni studenti, verrà concessa la possibilità di sostenere la prova orale nella sessione di Settembre; ovviamente, terrò in considerazione il maggior tempo avuto a disposizione per la preparazione.

  7. -[10.06.2014] Testo, soluzioni e risultati della prova scritta dell’appello A.

  8. -[30.05.2014] Registrazione per la prova orale (Esoneri ed Appello A)

  9. -[30.05.2014] Modificate le regole di ammissione all’orale: la votazione minima della prova scritta è stata abbassata a 15/30 (anziché 18/30).

  10. -[30.05.2014] Pubblicati i risultati del II Esonero e degli ammessi agli orali.

  11. -[20.05.2014] Il secondo esonero si terrà giovedì 29.05 ore 9:30 aula G.

  12. -[08.04.2014] Il secondo esonero si terrà mercoledì 28.05 ore 9:30 aula F.

  13. -[04.04.2014] Gli esoneri corretti potranno essere visionati durante l’orario di ricevimento.

  14. -[02.04.2014] Fino alla fine del corso, le lezioni del giovedì si terranno in aula G anziché in aula F.

  15. -[21.03.2014] Lunedì 31 marzo si terrà un’esercitazione in aula F alle ore 9.

  16. -[18.03.2014] L’esonero si terrà giovedì 3 aprile alle ore 14:30 in aula F.

  17. -[17.03.2014] Il ricevimento di martedì 18 marzo è annullato.

  18. -[06.03.2014] La lezione di martedì 11 marzo si terrà in aula 009 alle ore 9 am.

  19. -[18.02.2014] A causa delle Olimpiadi della Matematica, l’attività didattica di giovedì 20/2 è sospesa.

  20. -[17.02.2014] Non ci sarà attività didattica nelle settimane: 24-28/3 (assenza docente), 31/3-4/4 (settimana esoneri), 22-25/4 (interruzione didattica), 29/4-2/5 (assenza docente).

INFORMAZIONI GENERALI:

  1. -Orario:  Martedì (Aula F) e Giovedì 9-11 (Aula G), Mercoledì 11-13 (Aula F).


  1. -Orario di Ricevimento: Martedì 16-18 (Studio 203, Pal. C).


  1. -Email Docente: sorrentino@mat.uniroma3.it   


- Telefono: 06 5733 8227

DIARIO DELLE LEZIONI:

  1. 1.[18.02] Introduzione al corso. Cosa vuol dire “misurare” e quali sono le principali problematiche. Controesempio di Vitali (insieme non misurabile in R). Misura di Peano-Jordan in R^n: proprietà, insiemi PJ misurabili ed esempi di insiemi non PJ misurabili; problemi della misura di PJ. Legame con l’integrazione secondo Riemann: definizione (in R), esempi di funzioni integrabili secondo Riemann, esempi di funzioni non integrabili secondo Riemann; problemi dell’integrazione secondo Riemann. Definizione della misura esterna di Lebesgue in R^n.

  2. 2.[19.02] Misura esterna di Lebesgue in R^n: definizione, proprietà (monotonia e sub-additività), invarianza per traslazioni. In generale non vale additività per unioni disgiunte (controesempio di Vitali). Definizione generale di misura esterna su uno spazio qualsiasi. Definizione di algebra e sigma-algebra: proprietà ed esempi. Sigma-algebre generate da un insieme: definizione e proprietà. Sigma-algebra dei boreliani su uno spazio metrico (definizione di insiemi G_\delta, F_\sigma, G_{\delta,\sigma} e F_{\sigma,\delta}). Sigma-algebra dei boreliani di R (con metrica euclidea) e vari suoi insiemi di generatori.

  3. 3.[25.02] Definizione di spazio misurabile. Definizione di misura e di spazio di misura. Esempi di misure. Definizione di misura finita, di probabilità, sigma-finita, di misura concentrata su un insieme. Collegamento con il calcolo delle probabilità. Proprietà delle misure: monotonia, sub-additività, misura di unioni di insiemi crescenti (continuità dall’alto) e misura di intersezioni di insiemi decrescenti per misura finite (continuità dal basso).

  4. 4.[26.02] Lemma di Borel-Cantelli (esercizio). Insiemi di misura nulla e spazio di misura completi. Completamento di uno spazio di misura. Costruzione di misure a partire da misure esterne: costruzione della sigma-algebra degli insiemi misurabili (secondo Carathéodory) e Teorema di estensione.

  5. 5.[27.02] Costruzione della misura di Lebesgue in R^n. Sigma-algebra dei Lebesgue-misurabili e proprietà: i rettangoli sono Lebesgue misurabili, i boreliani sono Lebesgue misurabili; approssimazione (esterna) di insiemi con insiemi Lebesgue misurabili; la sigma-algebra di Lebesgue è il completamento della sigma-algebra dei Boreliani.

  6. 6.[04.03] Unicità della misura di Lebesgue come estensione del volume dei rettangoli. Regolarità della misura di Lebesgue: approssimazione (dall’esterno) con aperti, (dall’interno) con chiusi; approssimazione di insiemi di misura finita con compatti. Invarianza della misura di Lebesgue per traslazioni e comportamento rispetto a omotetie. Applicazioni lineari non-singolari e loro effetto sulla misura di insiemi Lebesgue-misurabili (solo enunciato).

  7. 7.[05.03] Esercitazione 1: correzione di alcuni esercizi del foglio 1.

  8. 8.[06.03] Costruzione dell’insieme di Cantor (triadico) C e sue proprietà: è un compatto non vuoto,  con misura nulla e totalmente disconnesso. Caratterizzazione in termini dell’espansione in base 3. Costruzione della funzione di Cantor f (la “scala del diavolo”) e sue proprietà: è continua, monotona non decrescente, ogni punto in [0,1]\C ha un intorno in cui f è costante (f è costante quasi ovunque) e f(C)=[0,1] (assegnato come esercizio, vedi foglio 3). Costruzione di un insieme Lebesgue misurabile in [0,1], ma non boreliano (assegnato come esercizio, vedi foglio 3).

  9. 9.[11.03] Definizione generale di funzione misurabile e caratterizzazione in termini dei generatori della sigma-algebra; composizione di funzioni misurabili. Funzioni misurabili a valori reali/complessi/reali estesi: Lebesgue-misurabilità e Borelianeità. Misurabilità di funzioni continue, inferiormente semicontinue e superiormente semicontinue. Misurabilità di somma di funzioni misurabili, prodotto, quoziente. Estremo inferiore/superiore di funzioni misurabili; liminf, limsup e limite di funzioni misurabili. In uno spazio di misura completo, se una funzione è quasi-ovunuqe uguale ad una fuzione misurabile, allora è misurabile.

  10. 10.[12.03] Definizione di funzione semplice. Integrale di funzioni semplici non negative e proprietà: linearità e monotonia. Costruzione di una misura a partire di una funzione semplice non-negativa (in uno spazio misura). Ogni funzione misurabili non negative è limite di una successione non-decrescente di funzioni semplici non-negative. Definizione dell’integrale di una funzione misurabile non-negativa e proprietà: linearità, monotonia. L’integrale di una funzione misurabile non-negativa è zero, se e solo se la funzione è quasi-ovunque nulla.

  11. 11.[13.03] Teorema della convergenza monotona e conseguenze (additività finita e infinita dell’integrale di funzioni misurabili non-negative). Teorema della convergenza monotona quasi ovunque. Lemma di Fatou. Integrabilità ed integrale di funzioni misurabili (non necessariamente positive): linearità e disuguaglianza triangolare (modulo integrale minore o uguale all’integrale del modulo). Prima definizione dello spazio L^1.

  12. 12.[18.03] L’integrale di due funzioni misurabili coincidono su ogni insieme misurabile se e solo se le due funzioni sono uguali quasi ovunque. Proprietà di funzioni quasi ovunque uguali ad una funzione misurabile. Definizione dello spazio e della norma L^1. Teorema della convergenza dominata ed applicazioni (integrazione di serie di funzioni).

  13. 13.[19.03] Esercitazione 2: correzione di alcuni esercizi dei fogli 2-3.

  14. 14.[20.03] Integrale secondo Riemann ed integrale secondo Lebesgue: una funzione limitata Riemann integrabili su [a,b] è Lebesgue misurabile ed i due integrali coincidono. Una fuzione è Riemann integrabile se e solo se l’insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura di Lebesgue nulla (senza dimostrazione). Passaggio al limite e della derivata sotto segno di integrale.  Correzione di alcuni esercizi del foglio 4.

  15. 15.[31.03] Esercitazione 3: correzione di alcuni esercizi dei fogli 3-4.

  16. 16.[08.04] Convergenza di funzioni: convergenza quasi-ovunque, in L^1, convergenza in misura. Relazioni, esempi e controesempi tra questi diversi tipi di convergenza.

  17. 17.[09.04] Convergenza quasi uniforme e Teorema di Egorov. Introduzione allo spazio di misura prodotto: rettangoli misurabili, sigma-algebra prodotto e costruzione della misura prodotto.

  18. 18.[10.04] Costruzione della misura prodotto (tramite teorema di estensione di Carathéodory) e sue proprietà: misurabilità delle sezioni di insiemi misurabili e delle sezioni di funzioni misurabili. Teorema di Tonelli per insiemi misurabili per misure \sigma-finite: misura dell’insieme come integrale della misura delle sue sezioni. Teorema di Tonelli (inizio dimostrazione).

  19. 19. [15.04] Dimostrazione del Teorema di Tonelli e del Teorema di Fubini, con controesempi. Enunciato dei Teoremi di Fubini-Tonelli per il completamento dello spazio di misura prodotto (senza dimostrazione). Definizione dello spazio L^p e della “norma” L^p. Per 0<p<1 la “norm” L^p non e’ una norma. Disuguaglianza di Hölder.

  20. 20. [16.04] Disuguaglianza di Minkowski. Definizione dello spazio L^infinito, del sup-essenzionale (norma L-infinito) e sue properietà. Estensine di Hölder e Minkowski alla norma L^infinito. Esempi di questi spazi.

  21. 21. [17.04] Relazione tra gli spazi L^p al variare di p: esempi e controesempi: spazi di misura finita; L^q contenuto in L^p+L^r (se 1<=p<q<r<=infinito); L^p intersecato L^r è contenuto in L^q (se 1<=p<q<r<=infinito).  Per 1<=p<=infinito, L^p è uno spazio di Banach.

  22. 22. [06.05] Teorema di Lusin in R^n (approssimabilità di funzioni misurabili con funzioni continue a supporto compatto). Discussione su spazi di misura (topologici) più generali in cui il teorema di Lusin vale. Densità delle funzioni continue a supporto compatto in L^p con p>=1. Il risultato non vale in L^\infty (discussione su cos’è la chiusura delle funzioni continue a supporto compatto rispetto alla norma di L^\infty).

  23. 23.[07.05] Esercitazione 4: correzione di alcuni esercizi dei fogli 5-6.

  24. 24.[08.05] Separabilità degli spazi L^p (con p>=1): le funzioni semplici con coefficienti razionali e rettangoli con vertici razionali sono dense. L^\infty non è separabile (discussione ed esempio). Le funzioni C^\infty a supporto compatto sono dense in L^p per p>=1 (enunciato: la dimostrazione è stata assegnata nel foglio di esercizi 7). Definizione di spazio pre-Hilbert, di prodotto scalare (o interno) reale o complesso. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Definizione di spazio di Hilbert: esempi e controesempi.

  25. 25.[13.05] Uguaglianza del Parallelogramma. Dimostrazione che in uno spazio di Hilbert ogni sottoinsieme convesso chiuso ammette un elemento di norma minima.  Definizione di ortogonalità. Se M è un sottospazio vettoriale chiuso, allora lo spazio di Hilbert si decompone come la somma diretta di M ed il suo ortogonale. Proprietà e definizione delle proiezioni ortogonali. I sottospazi vettoriali di dimensione finita sono chiusi.

  26. 26.[14.05] Esercitazione 5: correzione di alcuni esercizi dei fogli 5-6-7.

  27. 27.[15.05] Definizione di sistema ortonormale e dei coefficienti di Fourier rispetto a tale sistema. Disuguaglianza di Bessel. Dato un sistema ortonormale, i coefficienti di fourier sono in l^2: questa mappa è suriettiva, ma in generale non è iniettiva. Definizione di sistema ortonormale completo e definizioni equivalenti: 1) è massimale; 2) il suo “span” (i.e. insieme delle sue combinazioni lineari finite) è denso; 3) la disuguaglianza di Bessel è un’uguaglianza (Identità di Parseval); 4) il prodotto scalare di due elementi è uguale al prodotto scalare dei loro coefficienti di Fourier in l^2. Dimostrazione che L^2([0,2\pi]) ammette un sistema ortonormale completo. Teorema di Weierstrass: i polinomi trigonometrici sono densi nello spazio delle funzioni continue in [0,2\pi] (con la norma del sup).

  28. 28.[20.05] Definizione di Spazio Duale. Teorema di Rappresentazione di Riesz. Il duale di L^p è L^q (per 1<p<infinito) [senza dimostrazione]. Discussione sul duale di L^1 e di L^\infinito (senza dimostrazione). Misure assolutamente continue.

  29. 29.[21.05] Esercitazione 6: correzione di alcuni esercizi dei fogli 8.

  30. 30.[22.05] Teorema di Radon-Nikodym (dimostrazione di Von Neumann). Lemma di ricoprimento di Vitali. Teorema di differenziazione di Lebesgue  e conseguenze.

PROGRAMMA DEL CORSO:

  1. -Introduzione alla teoria della misura astratta: Sigma-algebre, misure esterne, misure, costruzione ed esempi di misure, misura di Lebesgue, misure boreliane, misure prodotto.

  2. -Integrazione astratta: funzioni misurabili, integrale di funzioni misurabili, teoremi di convergenza (monotona e dominata), teoremi di Fubini e Tonelli. Modi di convergenza di successioni di funzioni.

  3. -Elementi di Analisi Funzionale: Spazi L^p (proprietà, disuguaglianze di Hölder e Minkowski, completezza, teorema di Lusin, ecc...); Spazi di Hilbert (definizione e proprietà, collegamenti con analisi di Fourier, ecc...).

  4. -Accenni a Misure con segno e differenziazione di misure: teorema di Lebesgue-Radon-Nikodym e differenziazione su spazi euclidei.


Programma Finale:   pdf

TESTI CONSIGLIATI:

[Fo] Gerald B. Folland, Real Analysis  (John Wiley & Sons Inc., 1999)

[Ru] Walter Rudin, Analisi Reale e Complessa  (Bollati Boringhieri, 1996)

[Ro] Halsey Royden, Real Analysis  (Pearson, 1988)

[Ta] Terence Tao, An introduction to measure theory (AMS, 2010)

[WZ] R. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral (Chapman&Hall, 1977)

ESONERI & ESAMI:


Valutazione: L’esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Per accedere alla prova orale sarà necessario aver ottenuto almeno 15/30 alla prova scritta. La prova orale, di norma, dovrà essere sostenuta nello stesso appello della prova scritta (con l’eccezione dell’appello A, per cui sarà possibile sostenere l’orale anche durante l’appello B).

Durante il corso sono previste inoltre due prove in itinere (“esoneri”), che, se valutate entrambe positivamente (ovvero ciascuna delle due prove dovrà avere una valutazione di almeno 15/30), saranno valutate come prova scritta dell’esame. La prova orale in tal caso dovrà essere sostenuta negli appelli A o B.


Calendario: (date approssimative)

I  Esonero:     3 aprile 2014 ore 14:30 (aula F)

II Esonero:    29 maggio 2014 ore 9:30 (aula G)

Appello A:      10 giugno 2014 ore 9:30 (aula F)

Appello B:      9 luglio 2014 ore 9:30 (aula G)

Appello X:      4 settembre 2014 ore 9:30

Appello C:      12 gennaio 2015 ore 9:30



PROVE SCRITTE: TESTI , SOLUZIONI & RISULTATI:


  1. -I Esonero:     Testo    Soluzioni   Risultati

  2. -II Esonero:   Testo    Soluzioni   Risultati

  3. -Appello A:     Testo    Soluzioni   Risultati

  4. -Appello B:     Testo    Soluzioni   Risultati

  5. -Appello X:     Testo    Soluzioni   Risultati

  6. -Appello C:     Testo                           Risultati


PROVE ORALI:

  1. - Prenotazione alla Prova orale

 

ESERCIZI:

[1] Foglio di esercizi n. 1

[2] Foglio di esercizi n. 2

[3] Foglio di esercizi n. 3

[4] Foglio di esercizi n. 4

[5] Foglio di esercizi n. 5

[6] Foglio di esercizi n. 6

[7] Foglio di esercizi n. 7

[8] Foglio di esercizi n. 8