Spazi di Sobolev e soluzioni deboli

LIBRI DI TESTO CONSIGLIATI:

I testi di riferimento prevalenti sono:
[E] L.C. Evans, Partial differential equations, AMS, per la parte su spazi di Sobolev e PDE,
[CD] P. Cannarsa, T. D'Aprile, Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale, Springer, per la parte iniziale sulle convoluzioni e i teoremi di compattezza.

Altri utili testi di riferimento sono:
[B] H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, oppure
H. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori, (traduzione italiana di una versione precedente del testo),
[S] S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni, Springer.

Per gli argomenti conclusivi del corso si può consultare il testo:
[AP] A. Ambrosetti, G. Prodi, A primer of nonlinear analysis, Cambridge University Press

Programma dettagliato del corso

Avvertenza: all'esame è sono richieste almeno tre dimostrazioni tra quelle indicate qui sotto come ``a scelta''. Per le altre dimostrazioni con questa dicitura, è apprezzata una conoscenza di massima delle idee principali utilizate.

1) Prodotto di convoluzione e proprietà. Regolarizzazione mediante convoluzione con funzioni C_c^∞ (mollificatori). Continuità delle traslazioni in L^p. Densità di C_c^∞(Ω) in L^p(Ω). [CD par. 4.3 e Prop. 3.49].
Compattezza in spazi di funzioni continue: teorema di Ascoli-Arzelà [CD app. E]. Teorema di Peano sull'esistenza di soluzioni di equazioni differenziali ordinarie (facoltativo). Compattezza in spazi L^p: teorema di Riesz-Frechet-Kolmogorov. (dim. a scelta) [CD par. 4.2]

2) Derivate distribuzionali, cenni di teoria delle distribuzioni, delta di Dirac. [S par 7.1, 7.2.1]. Funzioni di Hölder [E, par. 5.1] Spazi di Sobolev, definizione, esempi, prime proprietà e completezza [E, par. 5.2]. Prodotti e composizioni tra funzioni regolari e di Sobolev (senza dim.) [Brezis Prop IX.4, IX.5 e IX.6, E es. 17 e 18 alla fine del cap. 5]. Partizioni dell'unità (problemi 5 e 6 alla fine del capitolo 5 di [E]). Densità delle funzioni C^∞ (dim. a scelta) [E, cap. 5.3, eccetto la dimostrazione del teor. 3]. Estensioni di funzioni di Sobolev (con cenno di dim.) [E, par. 5.4]. Tracce di funzioni di Sobolev (senza dim.) [E, par. 5.5]. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev (dim. a scelta), disuguaglianza di Poincaré, disuguaglianza di Morrey (dim. a scelta) e teoremi di immersione. [E, par. 5.6]. Teorema di compattezza di Rellich-Kondrachov [E, par. 5.7]. Rapporti incrementali e appartenenza a spazi di Sobolev (dim. fac.) [E, par. 5.8.2a], Funzioni lipschitziane e funzioni W^1,∞ (senza dim.). Derivabilità q.o. e teorema di Rademacher (senza dim.). [E, par. 5.8.2b, 5.8.3]. Lo spazio H^-1 [E, par. 5.9.1].

3) Equazioni ellittiche lineari, definizione di soluzioni deboli [E, par. 6.1]. Stime dell'energia, esistenza di soluzioni deboli. Alternativa di Fredholm per operatori ellittici, spettro di un operatore ellittico [E, par. 6.2]. Esistenza di una base di autofunzioni [E, par. 6.5.1, teor. 1]. Proprietà del primo autovalore (senza dim.) [E, par. 6.5.1, teor. 2]. Il problema di Neumann (es. 4,10 del cap. 6). (NB si suppongono noti da CAM2 il teorema di Lax-Milgram e le proprietà degli operatori compatti, la teoria di Fredholm e il teorema spettrale). Regolarità delle soluzioni all'interno del dominio. (dim. a scelta) Regolarità delle soluzioni fino alla frontiera (senza dim.). Regolarità successiva, derivabilità di ordine arbitrario in presenza di dati regolari (senza dim.) [E, par. 6.3].

4) Principio di massimo debole e forte per equazioni ellittiche, lemma di Hopf [E, par. 6.4.1 e 6.4.2]. Principio di massimo debole per equazioni paraboliche [E, 7.1.4a], anche in presenza di termini di ordine zero [E, problema 8 del cap. 7]. Principio di massimo forte per equaz. paraboliche (senza dim.) [E, 7.1.4c]. Teoremi di confronto per sopra/sottosoluzioni e di unicità per soluzioni [fatto a lezione, l'idea e' quella dei Teor. 2.2.5 e 2.3.5 di E].

5) Integrazione di funzioni a valori in spazi di Banach (senza dim.) [E appendice E.5]. Semigruppi di operatori, proprietà, generatori. Proprietà del risolvente di un operatore chiuso (senza dim.) [E par. 7.4.1]. Teorema di Hille-Yosida (dim. a scelta) [E, par. 7.4.2]. Applicazioni: esistenza di soluzioni per equazioni paraboliche ed iperboliche [E, par. 7.4.3]. (NB si suppongono noti da CAM2 i risultati principali sugli operatori chiusi, in particolare il teorema del grafico chiuso).

6) Calcolo differenziale in spazi di Banach, differenziabilità secondo Frechet e Gateaux (senza dim.) [AP, par.1.1]. Teorema di inversione locale, delle funzioni implicite e dei moltiplicatori di Lagrange (senza dim.) [AP, par. 2.1 e 2.2, E par. 8.4.1]. Criterio di differenziabilità per funzionali integrali (senza dim.) [AP, Teor. 2.9]. Il teorema del passo di montagna (senza dim.) [E, Teor. 2 del par. 8.5.1]. Soluzione dell'equazione Δ u = |u|^p-1 u con i moltiplicatori di Lagrange e con il teorema del passo di montagna [E, par. 8.5.2] nel caso di p sottocritico. Non esistenza di soluzioni nel caso sopracritico mediante l'identità di Pozahev. [E, par. 9.4.2].

Per approfondimenti, si possono consultare i testi:
R. Adams, Sobolev spaces, Academic Press (1975) (o l'edizione successiva: R. Adams, J. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press (2003) ).
L. Evans, R. Gariepy, Measure theory and fine properies of functions, CRC Press (1991).
D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer (1983).