Analisi Matematica 3

LIBRI DI TESTO:

Il riferimento principale per il corso e' il testo:

[G2] E. Giusti: Analisi Matematica 2 (terza ed.), Bollati Boringhieri, 2003.

Una piccola parte degli argomenti del corso non sono presenti su questo testo e si possono invece trovare sul primo volume:
[G1] E. Giusti: Analisi Matematica 1 (terza ed.), Bollati Boringhieri, 2002,
o sull'edizione precedente del secondo volume:
[G2a] E. Giusti: Analisi Matematica 2 (seconda ed.), Bollati Boringhieri, 1989.

In generale, qualunque testo universitario di Analisi Matematica 2 (soprattutto se del vecchio ordinamento, cioè se pubblicato prima del 2001) contiene in buona parte gli argomenti del corso, eventualmente con qualche differenza nella presentazione. Si segnalano ad esempio:
[FMS] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 2, Liguori, 1996.
[PS] C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica, Volume 2, Masson (1991), ristampato da Zanichelli (1991).

Come libri di esercizi, si suggeriscono:

E. Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica, Volume secondo, Bollati Boringhieri (1992).
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Volume II, parte prima e parte seconda, Liguori (1989).

Programma del corso

Nota: La dicitura ``dimostrazione facoltativa'' indica che la conoscenza della dimostrazione non è necessaria per il conseguimento della sufficienza (ma può concorrere al raggiungimento di un buon voto). La dicitura ``senza dimostrazione'' indica che la dimostrazione non verrà chiesta all'esame. Se non è indicato nulla, si intende che le dimostrazioni sono obbligatorie.

1) Richiami

Metrica e topologia in Rⁿ: prodotto scalare, norma,distanza, insiemi aperti, chiusi. Limiti e continuità. Insiemi compatti, teor. di Bolzano-Weierstrass, di Weierstrass e di Heine-Cantor. Insiemi connessi. [G1 Cap. 3, Par. 6.1, Par. 7.7]

(Gli argomenti di questa parte si suppongono noti dai corsi precedenti e non sono richieste le dimostrazioni; è necessaria tuttavia una sicura conoscenza di questi argomenti per la comprensione del corso).

2) Calcolo differenziale in più variabili

Derivate parziali. Gradiente. Derivate direzionali. Condizione necessaria per massimi e minimi relativi interni. Teorema di Lagrange per funzioni a valori scalari, versione debole (con la disuguaglianza) per funzioni a valori vettoriali. Differenziabilità. Implicazioni tra differenziabilità, derivabilità e continuità in un punto, esempi. Derivate direzionali per funzioni differenziabili. Piano tangente al grafico. Teorema del differenziale totale. Derivate successive, teorema di Schwarz. Derivazione di funzioni composte (dim. fac.). Formula di Taylor al secondo ordine. Condizioni necessarie e sufficienti per massimi e minimi in base alle proprietà della matrice hessiana. [G2, Cap. 11].

Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana [G2a, par. 4.4]. Funzioni omogenee, teorema di Eulero [G2a, par. 4.6]. Continuità e derivabilità di integrali dipendenti da parametro [G2, Teor. 13.4 e 13.5].

3) Integrale di Riemann e misura di Peano-Jordan

Definizione di integrale di Riemann per funzioni di più variabili limitate su insiemi limitati. Definizione di misura di Peano-Jordan per insiemi limitati. Esempi di funzioni non integrabili e di insiemi non misurabili. Caratterizzazione degli insiemi misurabili in base alla misura nulla della loro frontiera. Integrabilità delle funzioni continue su insiemi misurabili. Teorema di Fubini (dim. fac.). Cambiamento di variabili (senza dim.). Tecniche di calcolo: formula di riduzione per domini normali, coordinate polari nel piano, coordinate cilindiriche e sferiche nello spazio. Integrali impropri, definizioni ed esempi. Calcolo dell'integrale di exp(-x²) sulla retta reale. [G2, cap. 12]

4) Teorema delle funzioni implicite e di invertibilità locale

Funzioni definite implicitamente. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in due variabili. Interpretazione geometrica, curve cartesiane, punti regolari e retta tangente per una curva cartesiana. Funzioni implicite in tre variabili (senza dim.). [G2, par. 15.6]

Il teorema dell'invertibilità locale per funzioni a valori vettoriali. (dim. fac.). Il teorema delle funzioni implicite nel caso generale (dim. fac.). (Questi risultati sono dimostrati in [G2a, par 7.7] in un ordine diverso da quello seguito a lezione).

5) Curve e forme differenziali

Curve in Rⁿ. Vettore velocità. Curve regolari, retta tangente. Curve regolari a tratti. Curve equivalenti, verso (orientazione). Lunghezza di una curva. La lunghezza come estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte (senza dim.). Integrale curvilineo di funzioni. [G2 par. 15.1 e 15.2]

Forme differenziali e loro integrali curvilinei. Forme esatte, primitiva di una forma, proprietà dell'integrale di una forma esatta. Forme chiuse. Esempio di forma chiusa ma non esatta. Una forma chiusa in un dominio stellato è anche esatta. [G2 par. 16.2 e 16.3]

Omotopia tra curve, insiemi semplicemente connessi. Una forma chiusa su un insieme semplicemente connesso è anche esatta (senza dim.). [PS, par. 2.4] o [FMS, appendice al capitolo 12].

NB Le superfici, i moltiplicatori di Lagrange e le formule di Gauss-Green non fanno parte del programma di questo corso e verranno svolte ad Analisi Matematica 4.