Functional Analysis and PDEs, II parte

LIBRI DI TESTO CONSIGLIATI:

I testi di riferimento prevalenti sono:
[E] L.C. Evans, Partial differential equations, AMS, per la parte su spazi di Sobolev e PDE,
[CD] P. Cannarsa, T. D'Aprile, Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale, Springer, per la parte iniziale sulle convoluzioni e i teoremi di compattezza.

Altri utili testi di riferimento sono:
[B] H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, oppure
H. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori, (traduzione italiana di una versione precedente del testo),
[S] S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni, Springer.

Programma dettagliato del corso

Note: la dicitura "senza dim." indica che la dimostrazione non sara' chiesta. Le dimostrazioni facoltative ("dim. fac.") non sono necessarie per il raggiungimento della sufficienza; e' tuttavia apprezzato lo studio di alcune di esse, o la conoscenza approssimativa dello schema di dimostrazione. In tutti questi casi, va comunque studiato l'enunciato del teorema e le sue applicazioni.
Nei casi in cui le dimostrazioni svolte a lezione differiscono da quelle sul libro di testo, lo studente può studiare quella che preferisce.

1) Prodotto di convoluzione e proprietà. Regolarizzazione mediante convoluzione con funzioni C_c^∞ (mollificatori). Continuità delle traslazioni in L^p. Densità di C_c^∞(Ω) in L^p(Ω). [CD par. 4.3 e Prop. 3.49].
Compattezza in spazi di funzioni continue: teorema di Ascoli-Arzelà [CD app. E]. Teorema di Peano sull'esistenza di soluzioni di equazioni differenziali ordinarie (facoltativo). Compattezza in spazi L^p: teorema di Riesz-Frechet-Kolmogorov. (dim. fac.) [CD par. 4.2]

2) Derivate distribuzionali, cenni di teoria delle distribuzioni, delta di Dirac. [Salsa, par 7.1, 7.2.1]

Funzioni di Hölder [E, par. 5.1] Spazi di Sobolev, definizione, esempi, prime proprietà e completezza [E, par. 5.2]. Prodotti e composizioni tra funzioni regolari e di Sobolev [Brezis Prop IX.4, IX.5 e IX.6, E es. 17 e 18 alla fine del cap. 5]. Partizioni dell'unità (problemi 5 e 6 alla fine del capitolo 5 di [E]). Densità delle funzioni C^∞ [E, cap. 5.3, eccetto la dimostrazione del teor. 3]. Estensioni di funzioni di Sobolev [E, par. 5.4]. Tracce di funzioni di Sobolev (senza dim.) [E, par. 5.5]. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev (dim. fac.), disuguaglianza di Poincaré, disuguaglianza di Morrey (dim. fac.) e teoremi di immersione. [E, par. 5.6]. Teorema di compattezza di Rellich-Kondrachov [E, par. 5.7]. Rapporti incrementali e appartenenza a spazi di Sobolev [E, par. 5.8.2a], Funzioni lipschitziane e funzioni W^1,∞ (senza dim.). Derivabilità q.o. e teorema di Rademacher (senza dim.). [E, par. 5.8.2b, 5.8.3]. Lo spazio H^-1 [E, par. 5.9.1].

3) Equazioni ellittiche, definizione di soluzioni deboli [E, par. 6.1]. Teorema di Lax-Milgram (senza dim.), stime dell'energia, esistenza di soluzioni deboli. Operatori compatti e teoria di Fredholm (senza dim.) (E, appendice D.5]. Alternativa di Fredhom per le equazioni ellittiche, spettro di un operatore ellittico [E, par. 6.2 e appendice D.5]. Esistenza di una base di autofunzioni [E, par. 6.5.1, teor. 1]. Proprietà del primo autovalore (senza dim.) [E, par. 6.5.1, teor. 2]. Il problema di Neumann (es. 4,10 del cap. 6). Regolarità delle soluzioni all'interno del dominio (dim. fac.). Regolarità delle soluzioni fino alla frontiera (senza dim.). Regolarità successiva, derivabilità di ordine arbitrario in presenza di dati regolari (senza dim.) [E, par. 6.3].

4) Principio di massimo debole e forte per equazioni ellittiche. Lemma di Hopf (dim. fac.) [E, par. 6.4.1 e 6.4.2]. Principio di massimo debole per equazioni paraboliche [E, 7.1.4a], anche in presenza di termini di ordine zero [E, problema 8 del cap. 7]. Principio di massimo forte per equaz. paraboliche (senza dim.) [E, 7.1.4c]. Teoremi di confronto per sopra/sottosoluzioni e di unicità per soluzioni [fatto a lezione, l'idea e' quella dei Teor. 2.2.5 e 2.3.5 di E].

5) Integrazione di funzioni a valori in spazi di Banach (senza dim.) [E appendice E.5]. Operatori chiusi in spazi di Banach (senza dim.) [E appendice D.3]. Semigruppi di operatori, proprietà, generatori. Proprietà del risolvente di un operatore chiuso (senza dim.) [E par. 7.4.1]. Teorema di Hille-Yosida (senza dim.) [E, par. 7.4.2]. Applicazioni: esistenza di soluzioni per equazioni paraboliche ed iperboliche [E, par. 7.4.3].

Per approfondimenti, si possono consultare i testi:
R. Adams, Sobolev spaces, Academic Press (1975) (o l'edizione successiva: R. Adams, J. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press (2003) ).
L. Evans, R. Gariepy, Measure theory and fine properies of functions, CRC Press (1991).
D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer (1983).