Spazi di Sobolev ed equazioni ellittiche e paraboliche

LIBRI DI TESTO:

[E] L.C. Evans, Partial differential equations, AMS,
[B] H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, oppure
H. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori, (traduzione italiana di una versione precedente del testo),
[S] S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni, Springer,
[CD] P. Cannarsa, T. D'Aprile, Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale, Springer.

Programma del corso

Prodotto di convoluzione e proprietà. Regolarizzazione mediante convoluzione con funzioni C_c^∞ (mollificatori). Continuità delle traslazioni in L^p. Densità di C_c^∞(Ω) in L^p(Ω). [CDA par. 4.3 e Prop. 3.49].

Compattezza in spazi di funzioni continue: teorema di Ascoli-Arzelà [CDA app. E]. Compattezza in spazi L^p: teorema di Riesz-Frechet-Kolmogorov. [CDA par. 4.2]

Derivate distribuzionali, cenni di teoria delle distribuzioni, delta di Dirac. [S par 7.1, 7.2.1]

Funzioni di Hölder [E, par. 5.1] Spazi di Sobolev, definizione, prime proprietà e completezza [E, par. 5.2]. Densità delle funzioni C^∞ (senza dim. dell'approssimabilità con funzioni regolari nella chiusura) [E, cap. 5.3.1 e 5.3.2]. Estensioni di funzioni di Sobolev [E, par. 5.4]. Tracce di funzioni di Sobolev (senza dim.) [E, par. 5.5]. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev e disuguaglianza di Morrey [E, par. 5.6]. Teorema di compattezza di Rellich-Kondrachov [E, par. 5.7].

Disuguaglianza di Poincaré (senza dim.). Proprietà dei rapporti incrementali. Funzioni lipschitziane. Derivabilità q.o. e teorema di Rademacher (senza dim.). [E, par. 5.8] Lo spazio H^-1. Proprietà di spazi dipendenti dal tempo (senza dim.) [E, par. 5.9 e appendice E.5]

Equazioni ellittiche, soluzioni deboli [E, par. 6.1]. Teorema di Lax-Milgram, stime dell'energia, esistenza di soluzioni deboli. Alternativa di Fredholm, spettro di un operatore ellittico [E, par. 6.2 e appendice D.5]. Esistenza di una base di autofunzioni [E. par. 6.5.1, teor. 1]. Regolarità delle soluzioni all'interno del dominio. Regolarità delle soluzioni fino alla frontiera (senza dim.). Regolarità successiva, derivabilità di ordine arbitrario in presenza di dati regolari [E, par. 6.3]. Principio di massimo debole, lemma di Hopf, principio di massimo forte [E, par. 6.4].

Equazione del calore: soluzione fondamentale, soluzione del problema di Cauchy e sue proprietà [E, par. 2.3.1]. Principio del massimo debole per equazioni paraboliche [E, par. 7.1.4 teor. 8 e 9]. Esistenza di soluzioni deboli per equazioni paraboliche (senza dim.) [E, par. 7.1.1 e 7.1.2 teor. 3].

Equazione delle onde in una variabile, formula di D'Alembert, proprietà delle soluzioni [E, par. 2.4.1 teor. 1]. Esistenza di soluzioni deboli per equazioni iperboliche (senza dim.) [E, par. 7.2.1. e par. 7.2.2 teor. 3] (fine della parte di 6 crediti).

Operatori chiusi in spazi di Banach [E appendice D.3]. Semigruppi di operatori, proprietà, generatori. Proprietà del risolvente di un operatore chiuso (senza dim.) [E par. 7.4.1]. Teorema di Hille-Yosida [E, par. 7.4.2]. Applicazioni: esistenza di soluzioni per equazioni paraboliche ed iperboliche [E, par. 7.4.3].

Equazioni lineari del primo ordine, esistenza delle soluzioni mediante il metodo delle caratteristiche, esempi [E, par 3.2.2. a,b]. Leggi di conservazione iperboliche, metodo delle caratteristiche, non esistenza in grande di soluzioni regolari. Soluzioni deboli, condizione di Rankine-Hugoniot, non unicità di soluzioni deboli [E, par. 3.4.1]. Metodo della viscosità evanescente, soluzioni di entropia e loro unicità (senza dim.) [E 3.4.3] (il metodo della viscosità evanescente è trattato nel caso dei sistemi in [E 11.4.2]). Il problema di Riemann [E 3.4.4].